专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系（10大题型）-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019）

专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系 【题型归纳目录】 题型一：平面的概念及其表示 题型二：平面的确定 题型三：截面问题 题型四：异面直线所成的角 题型五：直线与直线的位置关系 题型六：直线与平面的位置关系 题型七：平面与平面的位置关系 题型八：点线共面 题型九：三点共线 题型十：三线共点问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、平面的基本概念 1、平面的概念： “平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． 知识点诠释： （1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 2、平面的画法： 通常画平行四边形表示平面． 知识点诠释： （1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍； （2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画； 3、平面的表示法： （1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等； （2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面； （3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面； 4、点、直线、平面的位置关系： （1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； （2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； （3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 题型一：平面的概念及其表示 【典例1-1】构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【答案】D 【解析】构成空间几何体的基本元素为：点、线、面. 故选：D 【典例1-2】“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为，. 故选：D. 【变式1-1】如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 【变式1-2】用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”， 即，， 故选：A 知识点二、平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础． 1、公理1： （1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； （2）符号语言表述：，，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”． 2、公理2： （1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； （2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件． “有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义． （4）公理2的推论： ①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②过两条相交直线，有且只有一个平面； ③过两条平行直线，有且只有一个平面． （5）作用：确定一个平面的依据． 3、公理3： （1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （2）符号语言表述：且； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据． 题型二：平面的确定 【典例2-1】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分； （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分. （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分； 综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 【典例2-2】三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C 【变式2-1】空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【解析】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 【变式2-2】给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据基本事实以及推论，易知①②正确. 若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误. 若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误. 即正确的命题有2个， 故选：B. 题型三：截面问题 【典例3-1】如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【解析】如图， 连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 【典例3-2】如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，    (1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）； (2)求截面图形的面积 【解析】（1）在正方体中，画直线与的延长线分别交于点， 连接，分别与棱交于点，连接，如图1， 抹去和得过三点的正方体的截面五边形，如图2. （2）在正方体中，，，分别为棱，的中点， 由（1）及图1知，，即，，则， ，等腰底边上的高， 的面积， 由，得，即有，因此， 于是，同理， 所以截面五边形的面积. 【变式3-1】如图，正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．    【解析】在正方体中，画直线与的延长线分别交于点，如图， 画直线交棱于，与的延长线交于点，连接交分别于点， 连接，因此六边形是过点三点的正方体的截面，如图， 【变式3-2】如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 【解析】（1）取的中点，连接、、、， 则四边形即为过点、和的平面截直四棱柱所得截面； 取的中点，连接、，因为为的中点，为直四棱柱，底面为正方形， 所以且，且，所以且， 所以为平行四边形，所以， 又且，所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面. （2）在直四棱柱中，，、分别为、的中点， 所以， 所以四边形为菱形，连接，，则， 又，， 所以. 知识点三、异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 题型四：异面直线所成的角 【典例4-1】如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【答案】5 【解析】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以， 所以，所以， 故答案为：5 【典例4-2】四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是 . 【答案】 【解析】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为BC、AD的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 【变式4-1】已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为 ． 【答案】/ 【解析】连接，，交点即为正方形的中心，连接， 在中，分别为的中点， 则，又，所以即为直线和直线所成的角， 在中，，所以，即和所成角大小为. 故答案为：. 【变式4-2】在正方体中，直线与所成角的大小为 ．（用角度表示） 【答案】 【解析】如图： 连接，，易知，所以即为与所成的角或其补角， 易知为等边三角形，所以. 故答案为： 【变式4-3】如图所示，在正方体中，与所成的角为 ，与所成的角为 ． 【答案】 【解析】与是异面直线，连接，交于点，易知， 所以或其补角为与所成的角． 因为为正方形，所以， 所以与所成的角是， 因为，所以或其补角是与所成的角， 因为为正方形，所以，所以与所成的角是． 故答案为：；. 知识点四、空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 有无公共点 相交 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行 在同一平面内 没有公共点 异面 不同在任何一个平面内 没有公共点 题型五：直线与直线的位置关系 【典例5-1】如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【解析】当P位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、面，故A错误； 当P与重合时，此时、面，故B错误； 当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时，故C错误； 由正方体的特征可知四边形为平行四边形， 而平面，平面，、平面，， 故与始终异面，即D正确. 故选：D 【典例5-2】如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正方体的性质易知当为的中点时，此时， 而，所以共面， 则、在平面上，故A不符题意； 同上，，即共面， 易知平面，而平面，故B符合题意； 当重合时，易知，则四边形是平行四边形， 则此时，故C不符合题意； 同上当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B 【变式5-1】在正方体中，为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线异面的共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】D 【解析】 如图与直线异面的直线为，，，，，，，，共8条． 故选：D 【变式5-2】垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．选项A，B，C均有可能 【答案】D 【解析】 可以参考正方体里的线线关系，更好理解题目； 同时垂直于直线,,,直线与直线异面， 所以选项A，B，C均有可能， 故选：D. 知识点五、直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 题型六：直线与平面的位置关系 【典例6-1】（多选题）已知空间中的平面，直线、、以及点A、B、C、D，则以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．在空间中，四边形ABCD满足，则四边形ABCD是菱形 B．若，则 C．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对A：构造正四面体，则空间四边形中，满足， 但四边形不是菱形，故A错误； 对B：因为，所以有或与相交．若，则有，故B错误； 对C：、异面，，则直线和的位置关系是相交或异面，故C错误； 对D：，同理，根据基本事实1，直线，即.故D正确. 故选：ABC 【典例6-2】（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若直线与平面不平行，则l与相交 B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内 C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行 D．如果是异面直线，，，则，是异面直线 【答案】BD 【解析】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误； 对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交， 故直线在平面无交点或仅有个交点，故B正确； 对C，若直线与平面相交， 直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，则故C错误； 对D，如果是异面直线，，则异面， 则是异面直线，故D正确. 故选：BD 【变式6-1】（多选题）下列选项中，正确是（    ） A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线必平行 C．垂直于同一条直线的两条直线必平行 D．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【答案】BD 【解析】对于如果两个平面平行，那么这两个平面内的两条直线平行或者异面，故不正确； 对于根据平行的传递性，平行于同一条直线的两条直线必平行，故正确； 对于垂直于同一条直线的两条直线平行或相交或异面，故不正确； 对于根据平行的性质，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故正确. 故选： 【变式6-2】（多选题）已知点平面，点平面，则下列说法错误的是（    ） A．平面内所有的直线与直线异面 B．平面内存在一条直线与直线平行 C．平面内存在无数条直线与直线垂直 D．有且只有一个过直线的平面与平面垂直 【答案】ABD 【解析】当平面内的直线过点时，该直线与直线相交，故A错误； 假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，显然不成立，故B错误； 过点可以在平面内作与垂直的直线，所以平面内存在无数条直线与直线垂直，故C正确； 当直线与平面垂直时，有无数个过直线的平面与平面垂直，故D错误. .故选：ABD. 知识点六、平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 无公共点 两平面相交 有无数个公共点，这些点在一条直线上 题型七：平面与平面的位置关系 【典例7-1】已知平面，和直线a，b，且，，，则与的位置关系是 ； 【答案】或与相交 【解析】由，，，得或与相交，如图所示: 故答案为: 或与相交. 【典例7-2】若点,则平面与平面α的位置关系是 ． 【答案】相交 【解析】∵点，即平面与平面有公共点，且不重合， ∴平面与平面的位置关系是相交． 故答案为:相交 【变式7-1】两条直线无公共点，则这两条直线平行或异面，若两个平面不相交，则这两个平面的位置关系为 ． 【答案】平行 【解析】因为两个平面不相交，所以这两个平面没有公共点， 所以，这两个平面平行． 故答案为：平行 【变式7-2】如图，在棱长为的正方体中，设过点的平面与平面的交线为，则 ． 【答案】 【解析】如图，设，连接， 因为， 所以，又易知， 所以， 故． 故答案为： 知识点七、点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． 1、证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）． 2、证明点线共面的常用方法： （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 题型八：点线共面 【典例8-1】在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【解析】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【典例8-2】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 【解析】证明：因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， 所以， 所以， 所以四点E，F，G，H共面. 【变式8-1】如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【解析】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 【变式8-2】如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； 【解析】连接，，因为、分别是、的中点， 所以， 又、分别是、上的点，且，， ，， 、、、四点共面. 知识点八、证明三点共线问题 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． 1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． 2、证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 题型九：三点共线 【典例9-1】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【解析】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 【典例9-2】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【解析】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【变式9-1】如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.    (1)求证：； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【解析】（1）、分别是、的中点， ， ，， . （2）因为， ，平面， 所以平面，同理平面. 所以是平面与平面的公共点， 又平面平面， 所以，所以三点共线 【变式9-2】在长方体中，是和的交点，与平面交于点.    (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 【解析】（1）因为平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 即三点共线. （2）连接，则与相似， 所以， 所以， 在中，作，交于点，则， 所以. 知识点九、证明三线共点问题 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． 1、证明三线共点的依据是公理3． 2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 题型十：三线共点问题 【典例10-1】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【解析】（1）如图，连结. ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【典例10-2】如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【解析】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 【变式10-1】如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）连接，如图： 分别是的中点，，， 且， ∴四边形为平行四边形，， 在中，分别是的中点，，， 且四点共面， 设，平面，平面，平面，平面， 平面平面， 三条直线相交于同一点； （2），三棱锥的高为， 点是棱的中点，， 点分别是棱的中点，，， ． ． 【变式10-2】（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面； （2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.    【解析】（1）证明：设直线与，分别交于点， 如图1， 因为，所以确定一个平面，记为平面， 因为点直线，点直线，所以，， 所以直线，即平面，所以过，，有且只有一个平面； （2）在空间四边形中，连接， 因为分别为的中点，则，且， 又由，则，且， 故，且，故四边形为梯形，与交于一点， 设与交于点，如图2， 由于平面，点在平面内，同理点在平面内， 又因为平面平面， 所以点在直线上， 故直线相交于一点. 【变式10-3】如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【解析】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 【强化训练】 1．已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当点位于位置时，证明与直线相交，A错误； 对于D，当点位于位置时，证明与直线相交，D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形， 所以也为的中点， 因为，所以四点共面， 所以与共面，B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，C正确； 故选：C. 2．已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【解析】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 3．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【解析】对于①，分别连接， 在长方体中，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以，，则，所以四点共面. 对于②，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得，， 故平面，平面，所以六点共面. 对于③，连接，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以， ， 故，所以四点共面. 对于④，连接，因为平面，平面，且不过点， 所以为异面直线， 所以四点不共面. 故选：A. 4．如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【答案】D 【解析】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D 5．不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】四点中任意三个点都不共线时，确定的平面的个数最多， 结合三棱锥的结构特征可知，确定个平面. 故选：B． 6．在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【答案】A 【解析】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 7．在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故， ，故，由勾股定理得， ， 同理可得， 又，故， 故平面截该四棱柱所得截面的周长为. 故选：A 8．直线，，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 【答案】C 【解析】两条平行直线确定一个平面，所以经过直线，，直线，，直线，的平面各有一个， 故直线，，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有共3个． 故选：C 9．（多选题）下列命题中正确的有（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．空间内三点确定一个平面 C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】AC 【解析】对于A选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故A正确； 对于B选项，要强调该三点不在同一直线上，故B错误； 对于C选项，两条直线的交点同时在两个平面上，所以交点只可能在两个平面的交线上，故C正确； 对于D选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D错误. 故选：AC. 10．（多选题）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 11．（多选题）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【答案】AB 【解析】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB 12．两个平面把空间最多分成 个部分. 【答案】4 【解析】空间中两个平面的位置关系是平行或相交， 若两个平面平行，则可将空间分成3部分， 若两个平面相交，可将空间分成4部分， 所以两个平面可以将空间最多分成 4个部分. 故答案为：4． 13．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点P和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点P画直线l，则l满足 .（选出正确的结论） ①；②l与直线相交；③l与直线相交. 【答案】②③ 【解析】在四棱台中，侧棱的延长线交于一点，令此点为， 由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线、直线都相交，①错误，②③正确. 故答案为：②③ 14．在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为 ． 【答案】18 【解析】取的中点，连接， 因为为的中点，所以‖，， 因为‖，，所以‖，， 所以四点共面，即过三点的截面为梯形， 因为正方体的棱长为4， 所以， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故答案为：18 15．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【解析】（1）如图，连结. ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 16．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【解析】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 17．如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【解析】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 18．如图，正方体中，，点分别是棱的中点. (1)根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明； (2)求多面体的表面积和体积. 【解析】（1）几何体是三棱台，证明如下： 因为点分别是棱的中点，连接，所以， 且，因此四边形是梯形. 延长相交于点，因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面. 因为平面平面，所以， 所以直线相交于同一个点. 所以几何体是三棱锥， 由于平面平面，因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体是三棱台. （2）因为，所以， 在等腰梯形中，，高， 所以. 又因为，， 所以三棱台的表面积是. 因为三棱台的高， 所以棱台的体积 . 19．如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）连接，如图： 分别是的中点，，， 且， ∴四边形为平行四边形，， 在中，分别是的中点，，， 且四点共面， 设，平面，平面，平面，平面， 平面平面， 三条直线相交于同一点； （2），三棱锥的高为， 点是棱的中点，， 点分别是棱的中点，，， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系 【题型归纳目录】 题型一：平面的概念及其表示 题型二：平面的确定 题型三：截面问题 题型四：异面直线所成的角 题型五：直线与直线的位置关系 题型六：直线与平面的位置关系 题型七：平面与平面的位置关系 题型八：点线共面 题型九：三点共线 题型十：三线共点问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、平面的基本概念 1、平面的概念： “平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． 知识点诠释： （1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 2、平面的画法： 通常画平行四边形表示平面． 知识点诠释： （1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍； （2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画； 3、平面的表示法： （1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等； （2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面； （3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面； 4、点、直线、平面的位置关系： （1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； （2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； （3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 题型一：平面的概念及其表示 【典例1-1】构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【典例1-2】“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点二、平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础． 1、公理1： （1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； （2）符号语言表述：，，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”． 2、公理2： （1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； （2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件． “有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义． （4）公理2的推论： ①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②过两条相交直线，有且只有一个平面； ③过两条平行直线，有且只有一个平面． （5）作用：确定一个平面的依据． 3、公理3： （1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （2）符号语言表述：且； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据． 题型二：平面的确定 【典例2-1】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【变式2-2】给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：截面问题 【典例3-1】如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【典例3-2】如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，    (1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）； (2)求截面图形的面积 【变式3-1】如图，正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．    【变式3-2】如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 知识点三、异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 题型四：异面直线所成的角 【典例4-1】如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【典例4-2】四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是 . 【变式4-1】已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为 ． 【变式4-2】在正方体中，直线与所成角的大小为 ．（用角度表示） 【变式4-3】如图所示，在正方体中，与所成的角为 ，与所成的角为 ． 知识点四、空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 有无公共点 相交 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行 在同一平面内 没有公共点 异面 不同在任何一个平面内 没有公共点 题型五：直线与直线的位置关系 【典例5-1】如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【典例5-2】如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】在正方体中，为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线异面的共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【变式5-2】垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．选项A，B，C均有可能 知识点五、直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 题型六：直线与平面的位置关系 【典例6-1】（多选题）已知空间中的平面，直线、、以及点A、B、C、D，则以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．在空间中，四边形ABCD满足，则四边形ABCD是菱形 B．若，则 C．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线 D．若，则 【典例6-2】（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若直线与平面不平行，则l与相交 B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内 C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行 D．如果是异面直线，，，则，是异面直线 【变式6-1】（多选题）下列选项中，正确是（    ） A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线必平行 C．垂直于同一条直线的两条直线必平行 D．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【变式6-2】（多选题）已知点平面，点平面，则下列说法错误的是（    ） A．平面内所有的直线与直线异面 B．平面内存在一条直线与直线平行 C．平面内存在无数条直线与直线垂直 D．有且只有一个过直线的平面与平面垂直 知识点六、平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 无公共点 两平面相交 有无数个公共点，这些点在一条直线上 题型七：平面与平面的位置关系 【典例7-1】已知平面，和直线a，b，且，，，则与的位置关系是 ； 【典例7-2】若点,则平面与平面α的位置关系是 ． 【变式7-1】两条直线无公共点，则这两条直线平行或异面，若两个平面不相交，则这两个平面的位置关系为 ． 【变式7-2】如图，在棱长为的正方体中，设过点的平面与平面的交线为，则 ． 知识点七、点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． 1、证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）． 2、证明点线共面的常用方法： （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 题型八：点线共面 【典例8-1】在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【典例8-2】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 【变式8-1】如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【变式8-2】如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； 知识点八、证明三点共线问题 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． 1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． 2、证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 题型九：三点共线 【典例9-1】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【典例9-2】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【变式9-1】如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.    (1)求证：； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【变式9-2】在长方体中，是和的交点，与平面交于点.    (1)证明：三点共线. (2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积. 知识点九、证明三线共点问题 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． 1、证明三线共点的依据是公理3． 2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 题型十：三线共点问题 【典例10-1】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【典例10-2】如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【变式10-1】如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 【变式10-2】（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面； （2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.    【变式10-3】如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【强化训练】 1．已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 3．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 4．如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 5．不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 6．在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 7．在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 8．直线，，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 9．（多选题）下列命题中正确的有（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．空间内三点确定一个平面 C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 10．（多选题）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 12．两个平面把空间最多分成 个部分. 13．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点P和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点P画直线l，则l满足 .（选出正确的结论） ①；②l与直线相交；③l与直线相交. 14．在棱长为的正方体中，若为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为 ． 15．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 16．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 17．如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 18．如图，正方体中，，点分别是棱的中点. (1)根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明； (2)求多面体的表面积和体积. 19．如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$