第09讲 空间的平行关系-【寒假预科讲义】2024年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第09讲 空间的平行关系 【人教A版2019】 ·模块一 空间中的平行关系 ·模块二 平行关系的相互转化及综合应用 ·模块三 课后作业 模块一 空间中的平行关系 1.直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2.直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3.平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【考点1 证明线线平行】 【例1.1】（2023下·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（    ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【变式1.1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1.2】（2023·上海·高二专题练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 【考点2 直线与平面平行的判定】 【例2.1】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例2.2】（2023下·重庆沙坪坝·高一校考期末）过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 【变式2.1】（2023下·广东广州·高一统考期末）在四棱锥中，，，则下列结论中不成立的是（    ） A．平面内任意一条直线都不与平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面平行 D．平面和平面的交线不与底面平行 【变式2.2】（2023下·浙江温州·高一统考期末）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（    ） A．   B．   C．   D．   【考点3 平面与平面平行的判定】 【例3.1】（2023下·河南信阳·高二校考阶段练习）设直线，平面，则下列条件能推出的是