专题08 立体图形的直观图（3大题型）-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019必修第二册）

专题08 立体图形的直观图 【题型归纳目录】 题型一：水平放置的平面图形直观图的画法 题型二：几何体的直观图画法 题型三：与直观图还原有关的计算问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：水平放置的平面图形的直观图的画法 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点诠释： 用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段． 题型一：水平放置的平面图形直观图的画法 【典例1-1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【典例1-2】如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【变式1-1】（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【变式1-2】画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【变式1-3】画水平放置的正五边形和菱形的直观图． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 题型二：几何体的直观图画法 【典例2-1】有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【典例2-2】画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【变式2-1】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【变式2-2】用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）. 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 题型三：与直观图还原有关的计算问题 【典例3-1】如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    【典例3-2】如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 【变式3-1】如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是 .    【变式3-2】如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形是 ，其面积为 ．    【变式3-3】如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 【强化训练】 1．如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 2．如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是 .    3．如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形是 ，其面积为 ．    4．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 5．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 6．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 7．（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    8．画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    9．画水平放置的正五边形和菱形的直观图． 10．有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 11．画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 12．用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 13．用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 立体图形的直观图 【题型归纳目录】 题型一：水平放置的平面图形直观图的画法 题型二：几何体的直观图画法 题型三：与直观图还原有关的计算问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：水平放置的平面图形的直观图的画法 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点诠释： 用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段． 题型一：水平放置的平面图形直观图的画法 【典例1-1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【解析】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 【典例1-2】如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【解析】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 【变式1-1】（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【解析】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变； 即可知、的对应点为、， 而、对应点位置不变，即、， 则四边形的直观图如下图示： （2）原图的面积， 直观图的面积. 【变式1-2】画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【解析】（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴， 垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图①所示． （2）画相应的轴和轴，使，在轴上截取， 在轴上截取，过点作轴的平行线， 在上沿轴正方向取点使得.连接，如图②. （3）所得四边形就是直角梯形的直观图．如图③. 【变式1-3】画水平放置的正五边形和菱形的直观图． 【解析】作出坐标系，使得， 连接交轴为，在轴上作线段， 在轴上分别作线段， 过作线段，且， 连接，即为正五边形的直观图，如图（1）所示. 如图（2）所示，在轴上作线段， 则轴上分别作出线段， 连接，即为菱形的直观图. 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 题型二：几何体的直观图画法 【典例2-1】有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【解析】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 【典例2-2】画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【解析】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形； 第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm； 第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形； 第四步，连接，得四棱台即为所求，如图： 【变式2-1】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使, . ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图. ③分别过点B、C、D作，，，且． ③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 【变式2-2】用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）. 【解析】设正六边形ABCDEF的边长为2cm，六棱锥的高为2cm，则正六边形的高为cm. ①以CF的中点O为原点，CF所在的直线为x轴，画y轴，使∠xOy＝45°，再作Oz⊥平面xOy； ②在x轴上取OC＝OF＝2cm，在y轴上分别取M、N两点，使OM＝ONcm， 过点M作AB∥x轴，且AM＝BM＝1cm， 过点N作DE∥x轴，且NE＝ND＝1cm，在z轴上取OP＝2cm； ③连结BC、DE、EF、FA、PA、PB、PC、PD、PE、PF，所得六棱锥P﹣ABCDEF即为所求. 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 题型三：与直观图还原有关的计算问题 【典例3-1】如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    【答案】 【解析】平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形， 平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1， 梯形的下底边长为平面图形的面积. 故答案为：. 【典例3-2】如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 【答案】 【解析】依题意，矩形的面积， 由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积. 故答案为： 【变式3-1】如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是 .    【答案】8 【解析】由题意，作出的图象如图，可得，，且， 故. 故答案为：8 【变式3-2】如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形是 ，其面积为 ．    【答案】 菱形 【解析】如图，在原图形中， 应有，又， 所以， 所以，故四边形是菱形． . 故答案为：菱形，. 【变式3-3】如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【解析】由题意知在直观图等腰梯形，，， 则； 将直观图复原为原图，如图示： 则， 作于，则， 故四边形的周长为． 故答案为：. 【强化训练】 1．如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 【答案】 【解析】依题意，矩形的面积， 由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积. 故答案为： 2．如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是 .    【答案】8 【解析】由题意，作出的图象如图，可得，，且， 故. 故答案为：8 3．如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形是 ，其面积为 ．    【答案】 菱形 【解析】如图，在原图形中， 应有，又， 所以， 所以，故四边形是菱形． . 故答案为：菱形，. 4．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【解析】由题意知在直观图等腰梯形，，， 则； 将直观图复原为原图，如图示： 则， 作于，则， 故四边形的周长为． 故答案为：. 5．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【解析】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 6．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【解析】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 7．（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【解析】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变； 即可知、的对应点为、， 而、对应点位置不变，即、， 则四边形的直观图如下图示： （2）原图的面积， 直观图的面积. 8．画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【解析】（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴， 垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图①所示． （2）画相应的轴和轴，使，在轴上截取， 在轴上截取，过点作轴的平行线， 在上沿轴正方向取点使得.连接，如图②. （3）所得四边形就是直角梯形的直观图．如图③. 9．画水平放置的正五边形和菱形的直观图． 【解析】作出坐标系，使得， 连接交轴为，在轴上作线段， 在轴上分别作线段， 过作线段，且， 连接，即为正五边形的直观图，如图（1）所示. 如图（2）所示，在轴上作线段， 则轴上分别作出线段， 连接，即为菱形的直观图. 10．有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【解析】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 11．画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【解析】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形； 第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm； 第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形； 第四步，连接，得四棱台即为所求，如图： 12．用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使, . ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图. ③分别过点B、C、D作，，，且． ③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 13．用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）. 【解析】设正六边形ABCDEF的边长为2cm，六棱锥的高为2cm，则正六边形的高为cm. ①以CF的中点O为原点，CF所在的直线为x轴，画y轴，使∠xOy＝45°，再作Oz⊥平面xOy； ②在x轴上取OC＝OF＝2cm，在y轴上分别取M、N两点，使OM＝ONcm， 过点M作AB∥x轴，且AM＝BM＝1cm， 过点N作DE∥x轴，且NE＝ND＝1cm，在z轴上取OP＝2cm； ③连结BC、DE、EF、FA、PA、PB、PC、PD、PE、PF，所得六棱锥P﹣ABCDEF即为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $$