专题09 简单几何体的表面积与体积（7大题型）-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019）

专题09 简单几何体的表面积与体积 【题型归纳目录】 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积 题型五：球的表面积与体积（外接球） 题型六：球的表面积与体积（内切球） 题型七：球的表面积与体积（棱切球） 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点诠释： 求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 【典例1-1】已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积. 【典例1-2】正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥． (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积． 【变式1-1】正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 【变式1-2】如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)与的长； (3)此三棱柱的表面积． 【变式1-3】如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围. 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 知识点诠释： 求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系． 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积 【典例2-1】已知圆锥的顶点为，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为，若的面积为. (1)求该圆锥的侧面积； (2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值. 【典例2-2】已知某圆锥的母线长与底面直径相等，表面积为. (1)求此圆锥的体积； (2)若此圆锥内有一圆柱，该圆柱的下底面在圆锥的底面上，求该圆柱侧面积的最大值. 【变式2-1】如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. (1)求此圆锥的表面积与体积； (2)试用x表示圆柱的高h； (3)当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 【变式2-2】一个圆台的母线长为，母线与轴的夹角是两底面的半径之比是． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【变式2-3】如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．（提示：本题的数据有长度单位） （1）求圆台的体积和圆台的侧面积； （2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度； 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h． 综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 【典例3-1】如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积和体积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 【典例3-2】如图所示正方体中的棱长为，连得到三棱锥 (1)求三棱锥表面积与正方体表面积之比 (2)求三棱锥的体积 【变式3-1】正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.    (1)求四棱锥的表面积 (2)求四面体的体积. 【变式3-2】已知在长方体中，，，，为棱的中点.    (1)求三棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积. 【变式3-3】如图，在正四棱台中，分别为棱上的点.已知，正四棱台的高为6. (1)求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积； (2)若某圆锥的体积与三棱台的体积相等，该圆锥的底面为的外接圆，求该圆锥的高. 【变式3-4】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.    (1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（） 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积 【典例4-1】亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 【典例4-2】如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．    (1)求这个圆台型花盆的体积； (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【变式4-1】用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为． (1)建立与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)圆锥的轴截面为正三角形，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米 【变式4-2】如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． (1)求圆柱的侧面积； (2)求三棱柱的体积． 【变式4-3】图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高. (1)求正四棱台的表面积； (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去部分与圆台的体积之比. 知识点四、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 知识点五、外接球、内切球与棱切球 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． 2、球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图（2）． 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图（3）． 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 题型五：球的表面积与体积（外接球） 【典例5-1】已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为 ． 【变式5-2】已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 题型六：球的表面积与体积（内切球） 【典例6-1】棱长为的正方体的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为 . 题型七：球的表面积与体积（棱切球） 【典例7-1】在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 【变式7-3】在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【强化训练】 1．斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 2．某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（   ） A． B． C． D． 3．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 4．若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 5．已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 7．已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 8．在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 10．（多选题）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 11．（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点A到直线的距离为定值 D．三棱锥的体积不为定值 12．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 13．已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ． 14．如图所示，一个输液瓶的圆柱部分装有药品，输液瓶直径为6cm，一位患者通过输液管进行输液，输液管内径约0.3cm，已知输液管内液体的流量速率（单位：）与管道半径（单位：cm）存在如下函数关系：，2h后输液完毕，则液面高度约为 cm．（结果保留整数，参考数据：） 15．我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 16．如图，在正四棱锥中，，，点，分别在棱，上运动，且满足，，其中，求三棱锥的最大体积. 17．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 18．如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1.    (1)在四面体中，求顶点到底面的距离； (2)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 简单几何体的表面积与体积 【题型归纳目录】 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积 题型五：球的表面积与体积（外接球） 题型六：球的表面积与体积（内切球） 题型七：球的表面积与体积（棱切球） 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点诠释： 求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 【典例1-1】已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积. 【解析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍， 不妨求的面积，取的中点为，连接； 因为是边长为2的正三角形，易知， 所以. 可得四面体的表面积为. 【典例1-2】正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥． (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积． 【解析】（1）设正六棱锥的高，底面边长， 因为正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥， 所以小棱锥的高为，底面边长， 在中，因为，所以， 于是有：， 因此大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为； （2）由（1）可知：， 已知大棱锥的侧棱， 显然在中，上的高长为， 所以， 所以， 由（1）可知：截得的棱台的侧面积为， 截得的棱台的全面积为. 【变式1-1】正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 【解析】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积. （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高. 【变式1-2】如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)与的长； (3)此三棱柱的表面积． 【解析】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形， 其对角线长为． （2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点移动到 点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线． 设，即， 在Rt中，由勾股定理得， 解得，或（舍） 所以，又因为， 所以． （3）此三棱柱的表面积． 【变式1-3】如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围. 【解析】由题可知，等边三角形的中心为，圆的半径为6， 设三棱锥的底面边长为，即等边三角形的边长为， 如图，连接，交与点，由题意可知，， 则，， 可知，即，则， ，则， 三棱锥的底面积为：， 由题可知，全等，则面积相等， 三棱锥的侧面积为： ， 所以三棱锥的表面积为：， ，，即， 所以当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是. 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 知识点诠释： 求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系． 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积 【典例2-1】已知圆锥的顶点为，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为，若的面积为. (1)求该圆锥的侧面积； (2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值. 【解析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得， 又，所以， 又因为的面积为， ∴，解得（负值舍去）， 又，所以， ∴圆锥的侧面积． （2）作出轴截面如图所示：由（1）可知， 设圆柱底面半径，即， 则圆锥的高， 所以，即圆柱的高为， 所以圆锥内接圆柱的侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为. 【典例2-2】已知某圆锥的母线长与底面直径相等，表面积为. (1)求此圆锥的体积； (2)若此圆锥内有一圆柱，该圆柱的下底面在圆锥的底面上，求该圆柱侧面积的最大值. 【解析】（1）设圆锥底面圆半径为，依题意，圆锥的母线长， 显然，解得，圆锥的高， 所以圆锥的体积. （2）设圆锥的内接圆柱的底面圆半径为，高为，则有，即， 解得， 因此圆柱的侧面积， 当且仅当时取等号，所以该圆柱侧面积的最大值为. 【变式2-1】如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. (1)求此圆锥的表面积与体积； (2)试用x表示圆柱的高h； (3)当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 【解析】（1）由，，得， 所以，， 故 ， ； （2）由相似可得，得，； （3）记圆柱得全面积为S， ， ∵，∴当时，. 【变式2-2】一个圆台的母线长为，母线与轴的夹角是两底面的半径之比是． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【解析】（1）过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形，设O，分别为的中点，连接，作于点M． 由已知可得腰长． 在中，，所以， 所以圆台的高为． （2）延长交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，可得 即， ∴，即截得此圆台的圆锥的母线长为． 【变式2-3】如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．（提示：本题的数据有长度单位） （1）求圆台的体积和圆台的侧面积； （2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度； 【解析】（1）作出圆锥的轴截面和沿OA剪开的侧面展开图，如下图 由下底面半径是5cm，上底半径为2.5cm，AB的长为10 cm，可得：cm， 所以，圆锥的高为：＝，截去小圆锥的高为． 因此圆台的体积为：， 侧面积为：． （2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为， 所以，侧面展开图的圆心角为， 在直角三角形中，可得， 所以最短时候，绳长为25cm 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h． 综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 【典例3-1】如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积和体积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 【解析】（1）由题意可知：四棱台的体积 ， 分别取中点，连接， 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则， 可得， 所以四棱台的表面积 . （2）延长交于点， 可知，则， 可得， 所以该同学还需要准备至少的水泥. 【典例3-2】如图所示正方体中的棱长为，连得到三棱锥 (1)求三棱锥表面积与正方体表面积之比 (2)求三棱锥的体积 【解析】（1）在正方体中，， 设三棱锥表面积为，则， 设正方体表面积为，则 所以 （2）. 【变式3-1】正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.    (1)求四棱锥的表面积 (2)求四面体的体积. 【解析】（1）取的中点，连接，， 所以，， 因为，所以， 所以， ， 所以四棱锥的表面积为； （2）因为，， 所以， 又M为PD上靠近P的三等分点，所以， 则. 【变式3-2】已知在长方体中，，，，为棱的中点.    (1)求三棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积. 【解析】（1）在长方体中，由，，，为棱的中点， 可得， 可得， 所以三棱锥的表面积为. （2）在长方体中，由，，，为棱的中点， 可得， 且 所以. 【变式3-3】如图，在正四棱台中，分别为棱上的点.已知，正四棱台的高为6. (1)求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积； (2)若某圆锥的体积与三棱台的体积相等，该圆锥的底面为的外接圆，求该圆锥的高. 【解析】（1）依题意可得正四棱台的体积． 三棱台的体积． 故所求几何体的体积． （2）因为为等腰直角三角形，且， 所以外接圆的半径， 所以该圆锥的底面积为． 设圆锥的高为，则， 解得，即该圆锥的高为． 【变式3-4】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.    (1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（） 【解析】（1）因为棱长为的正四面体的体积， 如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的， 所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为， 所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为. （2）因为正四面体的棱长为， 所以， 则， 所以， 所以石凳的表面积， 即石凳的表面积约为， 所以粉刷一个石凳约需要元. 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积 【典例4-1】亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 【解析】（1）因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm， 所以圆锥底面半径为cm， 所以圆锥的侧面积为 （2）由（1）可知，圆锥的体积为： ， 圆柱的体积为：， 所以几何体的体积为：. 【典例4-2】如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．    (1)求这个圆台型花盆的体积； (2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【解析】（1）圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高， 体积，所以这个圆台型花盆的体积为. （2）由（1）知，圆台型花盆的侧面积， 则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元. 【变式4-1】用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为． (1)建立与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)圆锥的轴截面为正三角形，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米 【解析】（1）根据题意，因为圆锥的表面积，， ， ，解得， 即，. （2）圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥高为h， 则，， ， 由（1）知，即， 解得， ． 【变式4-2】如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． (1)求圆柱的侧面积； (2)求三棱柱的体积． 【解析】（1）设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 【变式4-3】图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高. (1)求正四棱台的表面积； (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去部分与圆台的体积之比. 【解析】（1）如图，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形， 分别取的中点为，连接， 过点M作于H， 则， 故， 所以正四棱台的表面积为； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为10cm，下底面半径为20cm，高为30cm， 则圆台的体积为， 而正四棱台的体积为， 所以消去部分的体积为， 则削去部分与圆台的体积之比为. 知识点四、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 知识点五、外接球、内切球与棱切球 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． 2、球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图（2）． 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图（3）． 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 题型五：球的表面积与体积（外接球） 【典例5-1】已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 【典例5-2】．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理得外接圆半径满足，所以， 又因为在直三棱柱中侧棱垂直于底面，所以该三棱柱外接球的球心到平面的距离为， 所以该三棱柱外接球的半径为，体积为. 故选：B. 【变式5-1】圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】设圆柱的高为，其外接球的半径为， 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得， 由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处， 因此，所以球的表面积为. 故答案为： 【变式5-2】已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 【答案】 【解析】 设圆锥高，而母线，在中，则， 设圆锥外接球的半径为R，显然外接球的球心为O在高上， 球心O到底面圆心的距离，由，得， 因此，解得，所以长为． 故答案为：. 题型六：球的表面积与体积（内切球） 【典例6-1】棱长为的正方体的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正方体的内切球的半径是正方体棱长的一半， 所以内切球的半径，所以内切球的表面积． 故选：D． 【典例6-2】已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为， 如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径， 设内切球半径为，内切球球心为I，连接. 三角形是边长为的等边三角形， 由等面积法有，，即，解得， 故所求为. 故选：C. 【变式6-1】正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：正三棱锥的顶点S在底面投影为的中心O， 设底面边长为，侧棱长为，其内切球的半径为， 由题意可得：，解得， 由三棱锥的体积可得：，解得， 所以其内切球的表面积为. 故选：C. 【变式6-2】已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可得该圆柱的底面半径为1，高为2， 易得该圆柱的内切球的半径为1，则该圆柱的内切球的体积为． 故选：B 【变式6-3】已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，高为，内切球的半径为， 显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，， 由，整理得，而，解得，， 因此圆台的高，， 则圆台的体积， 内切球的体积，所以． 故选： C 【变式6-4】在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为 . 【答案】 【解析】当两个小球的表面积之和最大时两小球相切，且两小球均与半球形封闭容器相切， 此时设两小球的球心分别为，，半球形封闭容器的底面圆心为O， 作出过，，O的截面如图所示，连接并延长，交半圆于点A， 则A为圆与半圆的切点，设两个小球的半径为r， 得，所以，解得， 所以这两个小球的表面积之和的最大值为． 故答案为：. 题型七：球的表面积与体积（棱切球） 【典例7-1】在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：D 【典例7-2】我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 【变式7-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径， 则该球的表面积为． 故选：A． 【变式7-2】已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 【答案】A 【解析】设正方体棱长为， 因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度， 即半径； 正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径； 所以球与球的表面积之比为. 故选：A. 【变式7-3】在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中心，连接， 则平面，且与棱均相切的球的球心在上， 连接并延长交于，则为的中点，， 连接，易证， 过作，交于点， 设球的半径为，则， 由题意易求得， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而，所以， 所以， 故球的表面积为. 【强化训练】 1．斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 【答案】B 【解析】设米斗的下底面边长为分米，高为分米， 由上底面的面积为81平方分米，得上底面边长为9分米， 由侧面积为120平方分米，侧高为5分米，得平方分米，解得， 即该米斗的下底面边长为3分米，因此分米， 则该米斗的体积为立方分米， 所以该斗可以装米156升. 故选：B 2．某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意可得，解得， 所以. 该圆锥体积为 故选：B 3．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形， 所以，所以，，所以圆柱的体积为. 故选：D. 4．若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即， 解得（负舍）. 故选：B. 5．已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的高为，则母线长. 根据已知条件有，得，所以. 故圆锥的侧面积. 故选：A. 6．已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆锥的高为，如图， 由和相似，可得，所以， 所以, 则圆柱侧面积， 圆锥侧面积，所以. 故选：D． 7．已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球， 设球心为，球的半径为， 圆锥的轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图： 则，，所以， 所以为等边三角形，. 由等面积法可得，解得， 即四面体的外接球的半径为． 另正四面体可以从正方体中截得，如图： 从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 所以，所以．即的最大值为． 故选：B． 8．在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将侧面如图展开，由平面几何性质可得，当为AD的中点时，满足题意. 又如图，过A向平面BCD作垂线，垂足为O，则O为中心， 连接OC，则OC为外接圆半径，由正弦定理，. 则正四面体的高为， 又E为AD中点，所以． 故选：A． 9．（多选题）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 【答案】AC 【解析】因为正三棱台的下底面的面积为， 所以正三棱台的体积 则A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 10．（多选题）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 【答案】ACD 【解析】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为，选项A正确； 连接、和，则是直角三角形，且， 所以球的半径为， 所以圆台的体积为，故选项B错误； 圆台的表面积为，故选项C正确； 球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD． 11．（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点A到直线的距离为定值 D．三棱锥的体积不为定值 【答案】ABC 【解析】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值， 底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，所以，即，故B正确； 对于C，A到直线的距离等于A到的距离，为定值，故C正确； 对于D，的面积为，而A到平面的距离， 即A到平面的距离，为， 因此，为定值，故D错误. 故选：ABC. 12．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】因圆锥的轴载面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形， 则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高， 因此，圆锥底面圆半径， 所以圆雗的体积为. 故答案为： 13．已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ． 【答案】 【解析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，则圆柱的侧面积为， 圆锥的表面积为， 由圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等可得， 化简得，解得， 故圆锥体积． 故答案为： 14．如图所示，一个输液瓶的圆柱部分装有药品，输液瓶直径为6cm，一位患者通过输液管进行输液，输液管内径约0.3cm，已知输液管内液体的流量速率（单位：）与管道半径（单位：cm）存在如下函数关系：，2h后输液完毕，则液面高度约为 cm．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】8 【解析】输液管内液体的流量速率与管道半径的函数关系， 其中，可得，2h后输液完毕， 则经过输液管的液体总体积， 即输液瓶内药品总体积为， 根据圆柱体积可知，解得． 故答案为：8. 15．我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 【解析】（1）因为器形不同，所以不能直接用盆里的水深来代替平地水深. （2）根据题意，该盆可以视作圆台，故作出该圆台的轴截面，如图， 根据题意得：寸，寸，寸，寸． （立方寸）. （3）由（2）知寸，即水面的半径为10寸， 所以盆中水的体积为（立方寸） 因为平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，所以平地降雨量为寸． 再根据1寸约为现代的31.2毫米计算可得：（毫米） 故折算到现代的雨量约为94毫米． 16．如图，在正四棱锥中，，，点，分别在棱，上运动，且满足，，其中，求三棱锥的最大体积. 【解析】 如图，连接交于点，连接，则平面． 过点作，垂足为，则，即． 因为，所以． 由等体积法可得， ． 又因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故三棱锥的最大体积为. 17．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【解析】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以. 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为. 18．如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1.    (1)在四面体中，求顶点到底面的距离； (2)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 【解析】（1）设点到底面的距离为， 则， 即，得； （2）如图所示： 将正方体按照题设的方法截去八个“角”后 其有12个顶点，24条棱，共14个面， 其中6个面是以为边长的正方形，8个面是以为边长的正三角形， 故其表面积为； 体积为. 学科网（北京）股份有限公司 $$