第01讲 基本立体图形（6个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第01讲 基本立体图形（6个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 棱柱及其有关计算 题型二 棱锥中截面的有关计算 题型三 棱台的结构特征和分类 题型四 圆柱的展开图及最短距离问题 题型五 圆锥的展开图及最短距离问题 题型六 圆台的展开图 题型七 求球面距离 题型八 组合体的构成 知识点一 棱柱的结构特征 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下） 底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。 侧面：棱柱中除底面的各个面 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 知识点二 棱锥的结构特征： 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 知识点三 圆柱的结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示，如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体 知识点四 圆锥的结构特征 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴 底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 知识点五 棱台和圆台的结构特征 （1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台。 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面 分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分） 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分） 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。 棱台的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：棱台ABCD-A’B’C’D’ 底面是三角形，四边形，五边形----的棱台分别叫三棱台，四棱台，五棱台--- （2）圆台的结构特征：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台。 圆台的轴，底面，侧面，母线与圆锥相似 注：棱台与圆台统称为台体。 知识点六 球的结构特征 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。 球心：半圆的圆心叫做球的球心。 半径：半圆的半径叫做球的半径。 直径：半圆的直径叫做球的直径。 球的表示：用球心字母表示。如：球O 注： 1.多面体:若干个平面多边形围成的几何体 2.旋转体: 由一个平面绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体 【核心考点一 棱柱及其有关计算】 【例1】（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·山西·阶段练习）在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是 . 【例4】（23-24高一下·北京房山·期末）已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为 ． 【例5】（22-23高一·全国·随堂练习）过年了，佳怡去探望奶奶，到商店买了一盒点心，售货员为她做了一个如图①的捆扎，并在角上配了一个花结，使得点心匣很漂亮，佳怡非常高兴．售货员说，这种捆扎方式不仅显得漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如图②）用的包装绳短．你同意这种说法吗?请说明理由．      【核心考点二 棱锥中截面的有关计算】 【例1】（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【例2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3】（22-23高二下·上海·期末）已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面之和为 ． 【例4】（2024·河北邯郸·二模）在长方体中，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为 ． 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 【核心考点三 棱台的结构特征和分类】 【例1】（23-24高一下·北京大兴·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【例2】（22-23高二上·北京东城·期中）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 【例3】（23-24高一下·山东聊城·期中）五棱台的顶点数为，棱数为，面数为，则 ． 【例4】（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）在三棱台中，和的面积分别为和，若，则 ． 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）下列多面体一定是棱台吗？如何判断？ 【核心考点四 圆柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（21-22高一上·陕西渭南·期末）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 【例4】（21-22高一下·安徽六安·期末）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 【例5】（24-25高二上·上海·课前预习）圆柱的两个底面各取一点，将圆柱按这两点所在的直线剪开，并展开在一个平面上，所得的图形一定为矩形吗？ 【核心考点五 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例1】（2024·河南新乡·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·广东·开学考试）圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（    ） A．0 B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【例4】（24-25高二上·上海·期中）某圆锥的母线长为，侧面积展开图的圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ． 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，已知在圆锥中，底面半径，母线长，为母线上的一个点，且，从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点．求：    (1)绳子最短长度的平方； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)的最大值． 【核心考点六 圆台的展开图】 【例1】（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【例2】（23-24高一下·四川泸州·期末）若圆台侧面展开图扇环的圆心角为其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【例3】（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）已知圆台的上底半径为2cm，下底半径为4cm，圆台的高为cm，则侧面展开图所在扇形的圆心角为 ． 【例4】（22-23高一下·辽宁·阶段练习）已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．    【例5】（22-23高一下·全国·课后作业）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    【核心考点七 求球面距离】 【例1】（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·四川达州·期末）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海杨浦·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 【例4】（24-25高二上·上海·期中）若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【核心考点八 组合体的构成】 【例1】（23-24高三上·贵州·开学考试）已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB，AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B，C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）简单组合体 （1）定义：由柱体、锥体、台体、球等 组合而成的几何体叫作简单组合体. （2）简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体 而成；一种是由简单几何体 一部分而成， 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）简单组合体的结构特征： 现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作 ，简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体 而成，一种是由简单几何体 一部分而成． 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）指出图中三个空间几何体的构成． 【变式训练1 棱柱及其有关计算】 1．（22-23高一上·湖南长沙·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京房山·期中）长方体中，，为的中点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三上·上海·期中）日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 中，AB=3，BC=2，AA₁=1.店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中 的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）（图A中各棱的点是棱的三等分点）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为 .（） 4．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知正方体棱长为2，其内壁是十分光滑的镜面.一束光线从点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后，到达的中点，则该光线所经过的路径长为 . 5．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，将图中的正方体截去一角，得到一个三角形截面，求证：是锐角三角形．    【变式训练2 棱锥中截面的有关计算】 1．（2023高三·全国·专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则点D的运动轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·河南郑州·期中）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝2，AC＝BD＝，AD＝BC＝，E，F分别是AD，BC的中点．若过EF的中点用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面的面积为 ． 4．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    5．（2024高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 【变式训练3 棱台的结构特征和分类】 1．（23-24高一下·四川·期末）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·吉林长春·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 3．（21-22高一下·全国·课后作业）棱台的上下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 . 4．（2023高一·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是 . 5．（2022高一·全国·专题练习）根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称： (1)由6个平行四边形围成的几何体； (2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形； (3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点． 【变式训练4 圆柱的展开图及最短距离问题】 1．（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 2．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（    ） A．12 cm B． cm C．18 cm D．cm 3．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 . 5．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 【变式训练5 圆锥的展开图及最短距离问题】 1．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 2．（23-24高一下·山东·期中）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则一蚂蚁从点沿着侧面爬到点，爬行距离的最小值是 . 5．（21-22高一·全国·课后作业）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 【变式训练6 圆台的展开图】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B．6 C． D． 2．（2024·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则 . 4．（21-22高一下·黑龙江大庆·阶段练习）圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是 . 5．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，求该圆台的高.    【变式训练7 求球面距离】 1．（2024·全国·模拟预测）波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d，则d的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二·全国·竞赛）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·单元测试）已知球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且，则经过A、B两点的大圆的劣弧长为 ． 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    5．（22-23高一·全国·课后作业）设地球半径为R，在北纬的纬度圈上有A、B两点，这两点的经度差是，求这两点之间纬线的长度． 【变式训练8 组合体的构成】 1．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 2．（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.图中塔的底面是边长为的正六边形，则该塔底面的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·全国·课后作业）长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为 . 4．（21-22高三上·陕西西安·阶段练习）碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为 . 5．（2023高一·全国·专题练习）请描述如图所示的几何体是如何形成的． 1．（2023高二下·北京·学业考试）如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23高一下·河南·阶段练习）刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（    ）    A．11 B． C．9 D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 6．（2024·江苏南通·模拟预测）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 7．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    8．（2024高三·全国·专题练习）圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 . 9．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 10．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为 千米（结果保留到1千米）. 11．（22-23高一下·安徽滁州·周测）已知长方体中，，，，E，F分别为，的中点，求过D，E，F三点截得长方体的截面的周长. 12．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 13．（21-22高二·全国·课后作业）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，求昆虫爬行的最短路程. 14．（22-23高一·全国·课后作业）用厚纸按如下三个图样画好后剪下，再沿图中虚线折起来粘好，得到的分别是什么空间图形？ 15．（21-22高一·湖南·课后作业）指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 基本立体图形（6个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 棱柱及其有关计算 题型二 棱锥中截面的有关计算 题型三 棱台的结构特征和分类 题型四 圆柱的展开图及最短距离问题 题型五 圆锥的展开图及最短距离问题 题型六 圆台的展开图 题型七 求球面距离 题型八 组合体的构成 知识点一 棱柱的结构特征 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下） 底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。 侧面：棱柱中除底面的各个面 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 知识点二 棱锥的结构特征： 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 知识点三 圆柱的结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。 圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示，如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体 知识点四 圆锥的结构特征 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴 底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 知识点五 棱台和圆台的结构特征 （1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台。 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面 分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分） 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分） 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。 棱台的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：棱台ABCD-A’B’C’D’ 底面是三角形，四边形，五边形----的棱台分别叫三棱台，四棱台，五棱台--- （2）圆台的结构特征：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台。 圆台的轴，底面，侧面，母线与圆锥相似 注：棱台与圆台统称为台体。 知识点六 球的结构特征 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。 球心：半圆的圆心叫做球的球心。 半径：半圆的半径叫做球的半径。 直径：半圆的直径叫做球的直径。 球的表示：用球心字母表示。如：球O 注： 1.多面体:若干个平面多边形围成的几何体 2.旋转体: 由一个平面绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体 【核心考点一 棱柱及其有关计算】 【例1】（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 【例2】（23-24高一下·山西·阶段练习）在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平面沿翻折，使其与平面共面，结合牛吃草理论以及解三角形知识即可列式求解. 【详解】如图， 显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小． 将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则，则， 得，同理，而， 显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值， 此时． 故选：A． 【例3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】以为顶点，构造棱长为的正方体，利用对称性将转化为，再根据四点共线时取最小值完成计算. 【详解】以为顶点，构造棱长为的正方体，如下图所示： 由对称性可知，， 又因为是上的动点，是下底面上的动点，所以是直角三角形， 又因为是中点，，所以， 当取得最小值时，此时四点共线， 则， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个方面，一方面是找出关于平面的对称点，从而可将转化为；另一方面是利用四点共线去分析求解最小值，将线段和问题转化为两点间距离问题. 【例4】（23-24高一下·北京房山·期末）已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为 ． 【答案】3 【分析】根据长方体的对角线长公式计算． 【详解】长方体的对角线长为 故答案为：3 【例5】（22-23高一·全国·随堂练习）过年了，佳怡去探望奶奶，到商店买了一盒点心，售货员为她做了一个如图①的捆扎，并在角上配了一个花结，使得点心匣很漂亮，佳怡非常高兴．售货员说，这种捆扎方式不仅显得漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如图②）用的包装绳短．你同意这种说法吗?请说明理由．      【答案】见解析 【分析】计算出图①中的捆扎方式对应的包装绳与长方体的长宽高的不等式关系后故可判断售货员的说法是否正确. 【详解】    设长方体中，， 则图②中的捆扎方式对应的包装绳的长度为. 如图，在平面中，过作，垂足为， 在平面中，过作，垂足为， 由题设中图①中的捆扎方法有，，， 故， 故， 同理，， 而， 所以 ， 所以， 故图①的捆扎用的包装绳短， 故同意售货员这种说法. 【核心考点二 棱锥中截面的有关计算】 【例1】（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可． 【详解】根据两根长都为的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况： ①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条相邻， 取中点为，连接，如图所示， 由正三角形可知，， 在中，由于，即， 解得；    ②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条不相邻， 取中点为，连接 ，如图所示，    由为等腰三角形，得， 在中，，即，解得； 综上所述，的取值范围是， 故选：A． 【例3】（22-23高二下·上海·期末）已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面之和为 ． 【答案】 【分析】分别找出满足条件的截面，求出面积之和即可. 【详解】如图（1）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，是边长为1的等边三角形，.这样的截面有4个； 如图（2）： 分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面的距离相等，四边形是边长为1的正方形，，这样的截面有3个. 所以满足条件的截面的面积之和为：. 故答案为： 【例4】（2024·河北邯郸·二模）在长方体中，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】结合题意画出对应图形后，设，则有，则有，借助表示出面积，结合二次函数的性质即可得. 【详解】平面截四面体的截面如图所示， 设，则，所以四边形为平行四边形， 且， 在矩形中，，， 则 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是得到所得截面后，借助割补法表示出该截面面积，并结合二次函数的性质求解. 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 【答案】 【分析】设出截面与棱锥底面的距离，利用比例关系列方程求解. 【详解】根据题意，设截面与棱锥底面的距离为，则有，解得， 故该截面和底面的距离是. 【核心考点三 棱台的结构特征和分类】 【例1】（23-24高一下·北京大兴·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【答案】C 【分析】根据三棱台的结构特点，选出答案. 【详解】 三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥， 故选：C. 【例2】（22-23高二上·北京东城·期中）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 【答案】B 【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论． 【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥， 剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥． 故选：B 【例3】（23-24高一下·山东聊城·期中）五棱台的顶点数为，棱数为，面数为，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意，由棱台的结构特征求出、、的值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，五棱台中，，，， 则． 故答案为：2． 【例4】（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）在三棱台中，和的面积分别为和，若，则 ． 【答案】4 【分析】由题意有，，可求. 【详解】三棱台中，，，则. 故答案为：4 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）下列多面体一定是棱台吗？如何判断？ 【答案】答案见解析 【详解】都不是，第一个几何体的上下底面不平行，第二个几何体侧棱延长线没有交于一点，不符合棱台的结构特征． 注意：如果两底面的对应边平行且成比例（比值不为1），那么这个几何体是棱台． 【核心考点四 圆柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（21-22高一上·陕西渭南·期末）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，， ∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【详解】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C 【例3】（24-25高二上·上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 【答案】15 【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 因为圆柱体的底面周长为，即，且, 所以最短路程为：. 故答案为：. 【例4】（21-22高一下·安徽六安·期末）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 【答案】 【分析】利用圆柱的展开图，由勾股定理求解即可. 【详解】解：如图： 一条直角边（即圆柱体的高）长(尺)，另一条直角边长(尺)， 根据勾股定理可知葛藤的最短长度为尺. 故答案为： 【例5】（24-25高二上·上海·课前预习）圆柱的两个底面各取一点，将圆柱按这两点所在的直线剪开，并展开在一个平面上，所得的图形一定为矩形吗？ 【答案】答案见解析 【分析】利用圆柱的侧面展开图求解. 【详解】解：当两点连线不与轴的连线不平行时， 将圆柱按这两点所在的直线剪开，并展开在一个平面上，所得的图形是平行四边形. 当两点连线不与轴的连线平行时， 将圆柱按这两点所在的直线剪开，并展开在一个平面上，所得的图形是矩形. 【核心考点五 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例1】（2024·河南新乡·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的母线长为，可得到圆锥底面半径和侧面展开图的扇形弧长，根据两者关系可得，利用三角函数的单调性，结合选项验证即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径，侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长， 因此，即 又因为，故， 所以关于单调递增， 验证选项可知当时，符合题意． 故选：D 【例2】（24-25高三上·广东·开学考试）圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段，过作的垂线，垂足为，求出的长即可. 【详解】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    则该扇形半径，弧长为，圆心角， 最短路线即为扇形中的线段，, 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小， 于是为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大， 于是为下坡路段，下坡路段长. 故选：B 【例3】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    【例4】（24-25高二上·上海·期中）某圆锥的母线长为，侧面积展开图的圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，根据条件，利用弧长公式，即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，由题有，解得. 故答案为：. 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，已知在圆锥中，底面半径，母线长，为母线上的一个点，且，从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点．求：    (1)绳子最短长度的平方； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)的最大值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）将圆锥展开，求出相关的基本量，然后用表示即可； （2）过顶点作绳子的垂线，通过三角形面积相等即可表示出顶点到绳子的最短距离； （3）利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）将圆锥的侧面沿展开在平面上，如图所示，则该图为扇形， 且弧的长度就是底面圆的周长，所以． 所以．    由题意知绳子长度的最小值为展开图中的，其值为． 所以； （2）绳子最短时，在展开图中过作，垂足为，则的长度为顶点到绳子的最短距离， 在中，， 所以， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为； （3）因为在上是严格增函数，所以的最大值为 【核心考点六 圆台的展开图】 【例1】（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】为圆台母线的中点，分别为上下底面的圆心， 把圆台扩成圆锥，如图①所示， 则, 由,有, 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为， 即，如图②所示， 质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点， 则运动的最短路径为展开图弦， 所以. 故选：A. 【例2】（23-24高一下·四川泸州·期末）若圆台侧面展开图扇环的圆心角为其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，圆台的母线交于点，由已知易求得圆锥的母线，进而可求得上下底面的半径，利用直角梯形的性质可求圆台的高. 【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，设圆台的母线交于点， 为圆台的母线，且，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍， 所以，所以，所以， 由圆台侧面展开图扇环的圆心角为, 所以下底面圆的周长为，所以，所以， 在直角梯形中，易求得. 故选：C. 【例3】（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）已知圆台的上底半径为2cm，下底半径为4cm，圆台的高为cm，则侧面展开图所在扇形的圆心角为 ． 【答案】 【分析】把圆台补成圆锥，利用圆锥的轴截面进行求解即可. 【详解】把该圆台补成圆锥，圆锥的轴截面如下图所示：    过作，为垂足， 所以圆台的母线， 因为上底半径长为下底半径的一半， 所以圆锥的母线长为， 所以侧面展开图所在扇形的圆心角为， 故答案为： 【例4】（22-23高一下·辽宁·阶段练习）已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．    【答案】5 【分析】求出侧面扇环圆心角，画出圆台侧面展开图，利用勾股定理可得答案. 【详解】圆台上下底面半径分别为，，母线长为， 则圆台侧面扇环圆心角为， 圆台侧面展开图如图示，    在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为． 由题意可得A是FB的中点，因为， 所以．由为中点，可得， 所以． 故答案为：5 【例5】（22-23高一下·全国·课后作业）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    【答案】 【分析】作出圆台的展开图，设，，为最短距离，计算得到，，再根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：圆台的展开图，设，，为最短距离，    则，，解得，， 故. 故BM间细绳的最短长度为. 【核心考点七 求球面距离】 【例1】（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解. 【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为， 即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径， 则，所以甲、乙两地的球心角为， 故甲、乙两地的球面距离为. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·四川达州·期末）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球面距离的概念及弧长公式可得答案. 【详解】设球的半径为,球心为由题意，， 所以， 所以在中，由于，所以， 所以，D两点间的球面距离为. 故选：A 【例3】（24-25高二上·上海杨浦·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 【答案】135 【分析】求出纬度差，纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】上海在北纬至之间，则纬度差为度， 上海所辖区域纬线所在两平面的距离为以地球的半径为半径的圆，角度为所对应的弧长， 于是， 所以上海所辖区域纬线所在两平面的距离为. 故答案为：135 【例4】（24-25高二上·上海·期中）若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 【答案】3 【分析】求出小圆的半径，从而由勾股定理得到答案. 【详解】设小圆的半径为，则，解得， 又球的半径为5，故线段. 故答案为：3 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【答案】 【分析】利用球中截面圆的性质，结合地球经纬度的定义即可得解. 【详解】如图所示，连接.    设地球球心为，北纬圈中心为，则，. 所以. 所以. 所以两点间的纬线的长为：. 【核心考点八 组合体的构成】 【例1】（23-24高三上·贵州·开学考试）已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB，AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B，C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，设球冠的半径为R，根据几何性质可得，从而可得，根据平方公式与二倍角公式即可得的值. 【详解】设优弧BC所在圆的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图所示． 易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为2R， 由题意知，解得． 因为AB与圆弧相切于点B，所以． 在Rt△ABO中，， 又，所以． 由对称性知，，则， 所以． 故选：D. 【例2】（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）简单组合体 （1）定义：由柱体、锥体、台体、球等 组合而成的几何体叫作简单组合体. （2）简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体 而成；一种是由简单几何体 一部分而成， 【答案】 简单几何体 拼接 截去或挖去 【分析】略 【详解】略 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）简单组合体的结构特征： 现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作 ，简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体 而成，一种是由简单几何体 一部分而成． 【答案】 简单组合体 拼接 截去或挖去 【分析】略 【详解】略 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）指出图中三个空间几何体的构成． 【答案】答案见解析 【分析】由几何体的定义以及题图观察可得结果. 【详解】题图①中的空间几何体是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱柱． 题图②中的空间几何体是由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥． 题图③中的空间几何体是由一个球内部挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球. 【变式训练1 棱柱及其有关计算】 1．（22-23高一上·湖南长沙·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以圆A上的三段弧，计算即可；当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上为圆A1的，在平面B1BCC1上为圆B的，在平面DCC1D1上为圆D的，计算最后相加即可． 【详解】如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧. 分别为，则； 当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面上以为圆心，1为半径， 在平面上以B为圆心，1为半径的， 在平面上以D为圆心，1为半径的， 则.所以． 故选：C． 2．（23-24高二上·北京房山·期中）长方体中，，为的中点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接，设，表示出，，，利用勾股定理计算可得. 【详解】如图连接，设，则， ，， 因为，所以，即，解得（负值舍去）. 故选：A 3．（24-25高三上·上海·期中）日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 中，AB=3，BC=2，AA₁=1.店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中 的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）（图A中各棱的点是棱的三等分点）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为 .（） 【答案】 【分析】计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得． 【详解】易知图中绳的长度是两个长方形的周长，即为， 图中，由于绳与长方体的棱的交点是各棱相应的三等分点，因此有： ，，，， 因此绳的长度为， 两者相差， 故答案为：4. 4．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知正方体棱长为2，其内壁是十分光滑的镜面.一束光线从点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后，到达的中点，则该光线所经过的路径长为 . 【答案】 【分析】易得光线从点射出通过两次反射到达点，则其路径在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，在矩形中，过点作于点，利用相似比及勾股定理求出即可. 【详解】如图①，光线从点射出通过两次反射到达点， 则其路径在平面内， 设光线在平面和平面内的反射点分别是， 如图②，在矩形中，，过点作于点， 则，故， 则，所以， 则， 所以，， 所以该光线所经过的路径长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：明确入射光线和反射光线是共面的，都在平面内，是解决本题的关键. 5．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，将图中的正方体截去一角，得到一个三角形截面，求证：是锐角三角形．    【答案】证明见解析 【分析】设出所有边长，借助余弦定理计算角度可得中每个角都为锐角. 【详解】设、、、、、， 由正方体性质可得两两垂直， 故， 故 ∴为锐角． 同理可证，和同样也是锐角， 因此，为锐角三角形． 【变式训练2 棱锥中截面的有关计算】 1．（2023高三·全国·专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则点D的运动轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设分析时的形状，进而确定 D的运动轨迹，即可求轨迹长度. 【详解】设方形对角线AC与BD交于O， 由题意，翻折后时，为边长为的等边三角形，此时， 若继续翻折，如下图示，    所以点D的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆心角为的圆弧， 所以点D的运动轨迹的长度为. 故选：C 2．（22-23高一下·河南郑州·期中）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱锥的侧面展开，结合侧面展开图，得到要使的周长的最小，则共线，再由正三棱锥的结构特征和数量关系，即可求解. 【详解】将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示， 因为，即， 由的周长为， 要使的周长的最小，则共线，即， 又由正三棱锥侧棱长为，是等边三角形， 所以，即虫子爬行的最短距离是. 故选：B.    3．（2024高三·全国·专题练习）在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝2，AC＝BD＝，AD＝BC＝，E，F分别是AD，BC的中点．若过EF的中点用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解析：将四面体补形为长方体易得．    【考查意图】补形法研究空间几何体的截面问题． 4．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    【答案】 【分析】根据图形推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用勾股定理求出距离即可. 【详解】如图，    沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处， 则线段的长度即为周长的最小值. 在中，，， 故，所以. 故答案为：. 5．（2024高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 【答案】作图见解析，. 【分析】设E是SC的中点，根据线面平行性质定理确定截面，然后在中利用余弦定理求，然后由三角形面积公式可得. 【详解】如图，设E是SC的中点，连DE，BD，    因为为平行四边形，所以是的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，的面积即为所求. 易知， 所以， 由，知， 又为正三角形，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以. 【变式训练3 棱台的结构特征和分类】 1．（23-24高一下·四川·期末）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把棱台还原为棱锥，利用大小棱锥的相似比可求出棱台的高. 【详解】 如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6， 如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12， 可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为； 故选：C. 2．（23-24高一下·吉林长春·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 【答案】D 【分析】利用柱、锥、台的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，在三棱锥中，， 三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形，此三棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面是非正方形的菱形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面菱形边长， 显然四个侧面都是正方形，而此几何体不是正方体，B错误； 对于C，若将两个全等的正棱台较大底面接合在一起，拼接而成的组合体， 满足有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体，但该几何体不是棱台，C错误； 对于D，在三棱锥中，底面，并且， 此三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 3．（21-22高一下·全国·课后作业）棱台的上下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 . 【答案】 【分析】由面积之比得到边长之比，结合相似得到高的比. 【详解】不妨设原棱锥为四棱锥， 设棱台的高为，截得棱台的原棱锥的高为，如图所示，即 因为四边形与四边形相似，且上下底面面积分别为4和9， 故， 由∽，故，故， 换作其他棱台答案也一样， 这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比为. 故答案为： 4．（2023高一·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是 . 【答案】①② 【分析】根据棱台的特征可判断①；根据四面体的定义可判断②；找反例可判断③. 【详解】对于①：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故①正确； 对于②：由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥，故②正确； 对于③：如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故③错误． 故答案为：①②. 5．（2022高一·全国·专题练习）根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称： (1)由6个平行四边形围成的几何体； (2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形； (3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点． 【答案】(1)四棱柱 (2)六棱锥 (3)三棱台 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义判断即可； 【详解】（1）解：由6个平行四边形围成的几何体，根据棱柱的定义可知，这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱． （2）解：由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形，根据棱锥的定义可知，这是一个六棱锥． （3）解：由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，根据棱台的定义可知这是一个三棱台； 【变式训练4 圆柱的展开图及最短距离问题】 1．（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知：，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，      可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（    ） A．12 cm B． cm C．18 cm D．cm 【答案】D 【分析】之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高，底面周长的一半的构成的直角三角形的斜边长． 【详解】如图所示，在圆柱的侧面展开图中， 的长为底面圆周长的一半，即cm， 蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程 cm. 故选：D. 3．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【详解】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 . 【答案】 【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 圆柱体的底面周长为，； 最短路程为：. 故答案为：. 5．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 【答案】详见解析. 【分析】画出圆柱侧面展开图后得到矩形，计算展开图中的距离即可得. 【详解】如图，将圆柱的侧面沿母线展开即得矩形， 其中，分别为，的中点， 在矩形中，，， 连接，则； 可知蜘蛛沿着爬行时路程最短，最短路程为. 【变式训练5 圆锥的展开图及最短距离问题】 1．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 2．（23-24高一下·山东·期中）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥与其展开图的关系计算即可. 【详解】设底面半径为， 易知圆锥展开图对应扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的母线， 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 【答案】9 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 因为的长为，所以， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的， 易知，所以， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 因为，所以. 故答案为：9 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则一蚂蚁从点沿着侧面爬到点，爬行距离的最小值是 . 【答案】 【分析】将其侧面展开，连接，则线段即为最短爬行距离，求出扇形半径和圆心角，由余弦定理求出答案. 【详解】考虑圆锥前侧面的展开图，假设展开后对应的点为，如图， 连接，则线段即为最短爬行距离， 由题意可知圆锥的母线长，底面直径为，则， 设，则，即，则， 在中，． 故答案为：. 5．（21-22高一·全国·课后作业）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角． 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则由题意可得，从而可判断出轴截面是等边三角形，进而可求得答案. 【详解】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r． 由侧面展开图恰好是一个半圆知， 所以轴截面是等边三角形， 故母线与底面直径所成角的大小是． 【变式训练6 圆台的展开图】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示， 则，，， 由，有，，， 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示， 质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦， ，，有. 故选：A 2．（2024·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的侧面展开图求得，再结合圆台的结构特征分析求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以该圆台的高为. 故选：C. 3．（2022·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则 . 【答案】2 【分析】先求得圆台的母线长，然后根据圆台的侧面积公式列方程，化简求得. 【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环， 所以圆台的母线长为， 圆台的侧面积为， 所以. 故答案为：2 4．（21-22高一下·黑龙江大庆·阶段练习）圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是 . 【答案】 【分析】利用圆台得侧面展开图，两圆半径之差即为所求 【详解】   如图所示,设圆台的上底面周长为,因为扇环的圆心角是, 所以 又, 所以. 同理. 所以 故答案为:. 5．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，求该圆台的高.    【答案】 【分析】 根据圆台的结构特征结合侧面展开图运算求解. 【详解】根据题意可知，圆台的母线长为3， 设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R， 则，，所以，， 设圆台的高为h，作出圆台的轴截面，如图所示：    则梯形的上底为2，下底为4，腰为3，高为h，所以， 故该圆台的高为. 【变式训练7 求球面距离】 1．（2024·全国·模拟预测）波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d，则d的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由于球与球相切，借助球心位置分可析求出d的取值. 【详解】如图， 记前4个球的球心依次为，，，，后4个球的球心依次为，，，， 则四面体，，，，都是边长为2的正四面体． 在正四面体中，，则这5个正四面体的高． 四面体是正四面体，其中心与正四面体的中心是同一点， 正四面体的顶点到中心的距离为， 所以四面体的高，所以． 从到的这8个点中，任意两点间的距离可能为2， 如；可能为，如；也可能为，如． 所以d的取值集合为． 故选：C 【点睛】方法点睛：设正四面体的棱长为a，外接球的半径为，内切球的半径为，则其高，外接球的球心与内切球的球心是正四面体的高上的同一个点，因此，，． 2．（2023高二·全国·竞赛）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小圆周长求出小圆半径，再根据和均为等边三角形计算即可. 【详解】设小圆半径为r，则，∴． 在中，由正弦定理得， 又由已知，所以为等边三角形，得球半径为. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·单元测试）已知球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且，则经过A、B两点的大圆的劣弧长为 ． 【答案】 【分析】由题意得大圆的半径为，，从而可利用弧长公式可求得结果. 【详解】因为球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且， 所以经过A、B两点的大圆的劣弧长为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 5．（22-23高一·全国·课后作业）设地球半径为R，在北纬的纬度圈上有A、B两点，这两点的经度差是，求这两点之间纬线的长度． 【答案】 【分析】先得北纬纬圆半径，再由弧长公式即可得结果. 【详解】地球的半径为，在北纬纬圆半径为， 由于两点的经度差是， 所以这两点间的纬线的长为：. 【变式训练8 组合体的构成】 1．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 2．（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.图中塔的底面是边长为的正六边形，则该塔底面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分成六个等边三角形，计算面积和. 【详解】因为正六边形的边长为，所以正六边形可以分成六个等边三角形， 所以面积. 故选：D. 3．（22-23高一·全国·课后作业）长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为 . 【答案】 【分析】分类讨论求解大长方体的体对角线即可. 【详解】当大长方体的长、宽、高分别为、、时， 体对角线为. 当大长方体的长、宽、高分别为、、时， 体对角线为. 当大长方体的长、宽、高分别为、、时， 体对角线为. 因为，所以大长方体对角线最长为. 故答案为： 4．（21-22高三上·陕西西安·阶段练习）碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为 . 【答案】 【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有个，正六边形有个，根据面数和棱数即可得关于的方程组，解得的值，即可求解. 【详解】根据题意， 碳（）由个顶点，有个面， 由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为， 设正五边形有个，正六边形有个， 则，解得：，所以六元环的个数为个， 故答案为： 5．（2023高一·全国·专题练习）请描述如图所示的几何体是如何形成的． 【答案】答案见解析 【分析】 根据组合体结构特征和简单几何体的分类描述即可. 【详解】 ①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体； ②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体； ③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体． 1．（2023高二下·北京·学业考试）如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据长方体的性质求解. 【详解】在长方体中，， 故选：B 2．（22-23高一下·河南·阶段练习）刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（    ）    A．11 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点，即可得到过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形，求出其周长即可得解． 【详解】如图，延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点， ∴，∵，∴，即过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形， ∵，， ∴过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为．    故选：A 3．（24-25高一下·全国·课后作业）一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【答案】D 【分析】根据棱柱，棱台和棱锥的顶点个数，结合选项得出答案即可. 【详解】对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于B，四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于C，五棱锥有6个顶点，不满足题意； 对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10个顶点，满足题意. 故选：D. 4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 5．（22-23高一下·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【答案】B 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可. 【详解】由题意可知形成如图的几何体，    该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体. 故选：B 6．（2024·江苏南通·模拟预测）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 【答案】 五/5 / 【分析】利用面面平行的性质以及基本事实，可得截面，然后截面面积为分别求解相加即可. 【详解】过作的平行线交于，交于，连接，交于，连接，则直线与直线共面，且点， 则点也在直线与直线确定的面上， 所以可得五边形为平面截该长方体所得的截面， 如图：为中点，为中点，明显有， 所以，所以为靠近的四等分点， 又，且为中点，所以 又，所以，即为靠近的三等分点， 所以， ，， ，， ， 所以，， ， 所以截面面积为. 故答案为：五；. 7．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    【答案】①③ 【分析】设，由正四棱锥的性质，易知平面，过M作//分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案. 【详解】设，显然为正四棱锥，易知平面平面，又 ，平面平面，平面，所以平面， 过M作分别交棱、于点T、L，则平面，由题意， 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可， 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作分别交棱 、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，显然四边形为正方形，对角线， 所以四边形的面积为，①正确； 如图2，过T作，过L作，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当与是完全相同的，所以，综上选①③. 故答案为：①③ 8．（2024高三·全国·专题练习）圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 . 【答案】 【分析】圆锥半侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底圆周长的一半，可求出扇形的圆心角为弧度，沿圆锥侧面移动到D，利用余弦定理可求最短距离. 【详解】 如图，沿母线剪下作出半侧面展开图，得到的是扇形， 设扇形的圆心角为弧度，则根据题意知，扇形的弧长等于圆锥底面周长的一半， 得：，即， 在中，点是的中点，由余弦定理得： ， 所以，故所求的最短距离为. 故答案为：. 9．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为（cm）. 故答案为： 10．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为 千米（结果保留到1千米）. 【答案】673 【分析】设地球球心为点，上海、台北分别为点，计算出的大小，进而可求解. 【详解】因为上海和台北在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上. 在这个大圆上，设地球球心为点，上海、台北分别为点， 由上海、台北的经纬度可知,地球半径为（千米）， 所以（千米）. 故答案为：. 11．（22-23高一下·安徽滁州·周测）已知长方体中，，，，E，F分别为，的中点，求过D，E，F三点截得长方体的截面的周长. 【答案】 【分析】利用确定平面的公理，作延长以及平行，可得截面，根据中位线以及勾股定理，可得答案. 【详解】延长EF分别交，的延长线于点M，N，连接MD，ND，分别交，于点Q，P， 连接PF，EQ，则过D，E，F三点截得长方体的平面为五边形. 过F点作，过点作，所以是的中点，是的中点.    在中，，，所以. 在中，，所以，， 则，，. 同理在中，，在中，，， 所以，，所以截面周长为. 12．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五． 【分析】（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长；（2）利用延长找公共点的方法作出截面，可得形状. 【详解】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形， 由截面作法可知，所以截面四边形的周长为. （2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五. 13．（21-22高二·全国·课后作业）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，求昆虫爬行的最短路程. 【答案】 【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 圆柱体的底面周长为，； 最短路程为：. 14．（22-23高一·全国·课后作业）用厚纸按如下三个图样画好后剪下，再沿图中虚线折起来粘好，得到的分别是什么空间图形？ 【答案】正三棱柱，圆锥，正四棱台． 【分析】根据基本几何体的展开图判断． 【详解】按图画好后剪下，沿图中虚线折起来粘好得到下列图形： 它们分别是正三棱柱，圆锥，正四棱台．      15．（21-22高一·湖南·课后作业）指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的． 【答案】答案见解析． 【分析】由组合体结合简单几何体判断． 【详解】第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，四棱台上方挖去一个长方体的组合体； 第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面），四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面（可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体），中间还挖去两个小圆柱． 学科网（北京）股份有限公司 $$