第六章 平面向量及其应用单元综合测试卷-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版）

第六章 平面向量及其应用单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（    ） A． B． C．3 D．7 2．向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 3．在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 4．下面命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 8．已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量 则（    ） A． B．与向量共线的单位向量是 C． D．向量在向量上的投影向量是 10．在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则 . 13．设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数 . 14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 16．（15分） 如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设. (1)用表示向量； (2)若，求. 17．（15分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 18．（17分） 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 19．（17分） 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．    (1)求向量，的仿射坐标； (2)当时，求； (3)设，若对恒成立，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】B 【解析】因向量在向量上的投影向量是，则， 故，于是. 故选：B. 2．向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【解析】. 故选：C. 3．在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 4．下面命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误. 故选：C 5．已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 6．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 7．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 8．已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】正的边长为2，则其内切圆半径， 以正的中心为原点，边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， ， 而，因此， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量 则（    ） A． B．与向量共线的单位向量是 C． D．向量在向量上的投影向量是 【答案】CD 【解析】因为，， 所以，则，故A错误； 又，则与向量共线的单位向量为， 即或，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为，， 所以向量在向量上的投影向量是，故D正确. 故选：CD 10．在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【解析】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 11．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【解析】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则 . 【答案】 【解析】由题意知，， 由，得. 故答案为： 13．设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数 . 【答案】 【解析】， ， 由三点共线，则有，解得. 故答案为：. 14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【解析】（1）依题意，向量， ， . （2）由于， 所以. 16．（15分） 如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设. (1)用表示向量； (2)若，求. 【解析】（1）， ， ； （2）， ， 又， 所以， ， 所以. 17．（15分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）由题设，整理可得， 所以，，故. （2）由题意，又， 所以，故的周长为. 18．（17分） 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 【解析】（1）解法一：由向量的线性运算法则可得①，②， 因为为线段中点，则，由题意可得， ①②得，整理得：， 则 解法二：因为①， ②， 将②代入①得. （2）由与交于点，设③， 设，可得，即④， 由③④得，消去得，所以，即. （3）由题意，可设， 代入中并整理可得. 又，故，可得. 因为，且函数在上单调递减，所以， ， 因为函数在单调递减， 所以，，， 所以的取值范围为. 19．（17分） 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．    (1)求向量，的仿射坐标； (2)当时，求； (3)设，若对恒成立，求的最大值． 【解析】（1）由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． （2）当时，，，， 所以， ， ， 所以． （3）， ，     ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$