第四章 因式分解 专题四 因式分解——添项拆项法 训练 2024-2025学年浙教版七年级数学下册

专题四 因式分解——添项拆项法 知识梳理 因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等。一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。 【例1】将 添上一项，使它成为 的形式，则可以添的项为 。 【例2】对于二次三项式 可以直接用公式法分解为( 的形式；但对于二次三项式 就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式 中先加上一项a²，使其成为完全平方式，再减去a² 这项，使整个式子的值不变。于是有 像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添项法。 请用上述方法把 分解因式。 【例3】在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。先阅读，再分解因式：x⁴ )。 (1)按照这种方法把多项式 分解因式； (2)分解因式： 【例4】请用两种方法对多项式 进行因式分解。(拆添项算一种方法) 【例5】阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等。一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题。 例如：分解因式： 解：原式： 第1步：拆项法，将 拆成 和 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组； 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)； 第4步：提公因式法(整体)； 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底。 (1)请你试一试分解因式： (2)请你试一试在实数范围内分解因式： 【例6】王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题。 例：若 求m和n 的值。 解： ,即: ∴m+n=0,n-3=0, ∴m=-3,n=3。 为什么要对2n² 进行拆项呢? 聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题。相信你也能很好地解决下面的两个问题，请写出你的解题过程。 (1)若 求x³的值； (2)已知a、b、c是等腰△ABC的三边长,且满足 求此三角形的周长。 【例7】添项、拆项分组法因式分解： 答案 【例1】解:若16x²;是平方项， 则 所以，可添加±8x； 若16x² 是乘积二倍项， 则 所以,可添加64x⁴, 综上所述，所添加的项为±8x或64x⁴。 故答案为:±8x或64x⁴。 【例2】解: =(m-3)²-1 =(m-3+1)(m-3-1) =(m-2)(m-4)。 【例3】解:(1)x⁴+4y⁴ 【例4】解：方法一 方法二： 【例5】解: =x(x-1)(x+1)-6(x-1) =(x-1)(x+3)(x-2); 【例6】解: 则 ∴x-2y=0,y+1=0, 解得,x=-2,y=-1, (a-5)²+(b-6)²=0, ∴a-5=0,b-6=0,解得,a=5,b=6, 当5是腰长时,三角形的周长=5+5+6=16, 当6是腰长时,三角形的周长=5+6+6=17, ∴此三角形的周长为16 或17。 【例7】解:( =(a-1)[a(a+1)-8] 学科网（北京）股份有限公司 $$