精品解析：辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷

2024～2025学年度（上）联合体高二期末检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：人教B版选择性必修第一册，选择性必修第二册第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 10 3. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 5. 已知圆与圆外切，则（ ） A. B. C. D. 6. 小武是1993年12月18日出生，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（ ） A. 2760 B. 3180 C. 3200 D. 3360 7. 在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ） A B. C. D. 8. 设椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，直线的斜率为，并交椭圆于另一点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，若，则实数可能的取值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量的夹角的余弦值为 D. 若向量（为实数），则 11. 设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O： 交于，两点，若，则下列选项正确的是（ ） A. 曲线的离心率为 B. 圆心到双曲线的渐近线的距离为 C. 所在直线方程为 D. 直线被双曲线的渐近线截得的线段长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于______． 13. 如图，平行六面体中，，，，，则的长为______． 14. 近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． （1）每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ （2）每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 16. 已知圆的方程为． （1）求实数取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 17. 在的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数及系数； （2）奇数项二项式系数和； （3）求系数绝对值最大的项． 18. 如图，长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，已知抛物线：（）上的点到焦点的距离的最小值为1，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为线段上的动点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． （1）求抛物线的方程； （2）证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度（上）联合体高二期末检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：人教B版选择性必修第一册，选择性必修第二册第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆标准方程可得顶点坐标，再由两点间距离公式可得. 【详解】由椭圆，可得， 则，，所以有． 故选：D. 2. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，取即可计算求得常数项. 【详解】因展开式的通项为：， 使，解得，故展开式的常数项为． 故选：B. 3. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断双曲线焦点位置，写出，利用离心率列出方程，求解即得. 【详解】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，， 因，，，， 则，解得，符合题意． 故选：A. 4. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得. 【详解】因，，共面，可设（）， 即， ，解得． 故选：C. 5. 已知圆与圆外切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据外切可得圆心距为半径之和，故可求参数的值. 【详解】由圆与圆外切，可得，即，． 故选：C. 6. 小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（ ） A. 2760 B. 3180 C. 3200 D. 3360 【答案】D 【解析】 【分析】先将8个数字进行全排列，再利用定序倍缩法除以重复的情况即可. 【详解】先将这8个数字进行全排列，有种情况， 而这8个数字中有三个1和两个9，可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法， 所以一共可以组成个六位数，即可以设置的不同密码的个数为． 故选：D． 7. 在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用面面角的向量法即可求解. 【详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，故，， 设平面的一个法向量为， 所以有，即，取故， 平面的一个法向量为，， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故选：D. 8. 设椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，直线的斜率为，并交椭圆于另一点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆基本性质结合两点间斜率公式求得即可得解. 【详解】，则，，即椭圆方程为， 设，，，且，即， ， . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，若，则实数可能的取值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两直线垂直的判断方法列出方程，解之即得实数的值. 【详解】由，可得，解得或1． 故选：BC. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量的夹角的余弦值为 D. 若向量（为实数），则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标，利用向量共线，夹角的计算公式即可判断A,C;利用向量模长公式和空间向量基本定理即可判断B,D. 【详解】对于A，由，可知与不共线，故A错误； 对于B，由，，可得，故B正确； 对于C，因，故，故C正确； 对于D，由且，可得，，故,故D错误． 故选：BC. 11. 设为双曲线右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O： 交于，两点，若，则下列选项正确的是（ ） A. 曲线的离心率为 B. 圆心到双曲线的渐近线的距离为 C. 所在直线方程为 D. 直线被双曲线的渐近线截得的线段长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 先根据题意写出圆M的方程，与圆O联立，结合得到a，c的关系，即得到离心率、渐近线和所在直线的方程，判断AC正确，再利用点到直线的距离公式计算B错误，联立渐近线和直线，计算D正确即可. 【详解】依题意，以为直径的圆M：，与圆O： 联立得， ，故由知，垂直x轴，也是圆M的一条直径，过圆心，即，故，即，故A正确； 由知，双曲线的渐近线为， 圆心到双曲线的渐近线的距离为，故B错误； ，垂直x轴，故所在直线方程为，故C正确； 由代入双曲线的渐近线得，故截得的线段长为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于联立两圆的方程得到双曲线中a，b，c的关系，才能结合离心率公式和距离公式等突破难点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于______． 【答案】8 【解析】 【分析】由二项式的二项式系数和为列方程，计算即得. 【详解】依题意，解得． 故答案为：8. 13. 如图，平行六面体中，，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】选择为空间一组基，将用基向量表示，再利用向量数量积的运算律即可求得的长. 【详解】平行六面体中，，，， ， 如图，，则 ． ． 故答案为：. 14. 近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】 先考虑区域所种农作物的种数，然后依次分析区域、区域所种农作物的种数，对区域与区域所种农作物的颜色是否相同进行分类讨论，确定区域所种农作物的种数，利用分类加法和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择. ①若区域和区域所种的农作物颜色相同，则区域有种选择； ②若区域和区域所种的农作物颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择. 综上所述，共有种不同的种法. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法： （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． （1）每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ （2）每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 【答案】（1）70种 （2）150种 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合组合数的计算即可求解； （2）根据分类加法和分布乘法计数原理结合组合数的计算即可求解． 【小问1详解】 由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种． 【小问2详解】 分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种， 则符合题意的有； 第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种， 则符合题意的有； 第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种， 则符合题意的有． 故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种． 16. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 17. 在的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数及系数； （2）奇数项的二项式系数和； （3）求系数绝对值最大的项． 【答案】（1）二项式系数为，第3项的系数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【小问1详解】 二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； 【小问2详解】 奇数项的二项式系数和； 【小问3详解】 设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 18. 如图，在长方体中，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【小问1详解】 由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 如图，已知抛物线：（）上的点到焦点的距离的最小值为1，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为线段上的动点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． （1）求抛物线的方程； （2）证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的性质即可求解； （2）利用判别式求出切线的斜率，求出切点的坐标以及直线的方程，表示出，的坐标，即可证明为定值. 【小问1详解】 抛物线：（）的焦点坐标为， 因为此抛物线上到焦点距离最近的点就是坐标原点， 所以，，所以抛物线方程为； 【小问2详解】 证明：设直线：， 由可得， 则，解得， 则，解得， 不妨令直线：，直线：， 则，， 设，，设直线：， 由可得， 由， 可得或（舍）， 则，直线：． 由解得即， 故 为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $