2025年中考数学一轮复习专题：相似三角形（学生版+教师版）

相似三角形　 考情透析 考情透析 中考考点 考查频率 新课标要求 相似三角形的性质与判定 ★★★ 了解相似三角形的判定定理. 了解相似三角形判定定理的证明. 了解相似三角形的性质定理. 相似三角形的应用 ★★★ 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度较大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考查，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考查.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长之间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考生在复习的时候给予加倍的重视! 关键知识 一、相似图形及比例线段 1．相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形． 2．相似多边形 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形． 特征：对应角相等，对应边成比例． 3．比例线段的定义 在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或a∶b＝c∶d），那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 4．比例线段的性质 （1）基本性质：＝ ad＝bc； （2）合比性质：＝ ＝； （3）等比性质： 若＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么＝． 5．黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 二、相似三角形 1．定义 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． 2．判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）两角对应相等，两三角形相似； （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4）三边对应成比例，两三角形相似； （5）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 3．性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 平行线分线段成比例 （2024·哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若：：，，则的长为(    ) A. B. C. D. 1.如图，在四边形中，，，，，则线段的长为　　 A．5 B．6 C．8 D．10 2.如图，在中，，，，，则的长为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 3.如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则　　 A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4 4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是　　 A． B． C． D． 相似三角形的性质 （2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为：，则这两个三角形面积的比是(   ) A. ： B. ： C. ： D. ： 1.如图，，若，，那么　　 A． B． C． D． 2.如图，，，，则的长为　　 A． B． C． D． 3.两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是　　 A． B． C． D． 4.如图，，若，，，则的长是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 相似三角形的判定 （2024·山东省滨州·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上添加一个条件使∽，则这个条件可以是           写出一种情况即可 1.如图，在与中，，要使与相似，还需满足下列条件中的　　 A． B． C． D． 2.如图，在中，，，平分，，连接交于点，则图中与相似的三角形有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3.如图，已知点是的边上的一点，根据下列条件，可以得到的是　　 A． B． C． D． 4.如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是　　 A．平分 B． C． D． 相似三角形的判定与性质 （2024·山东省德州·中考真题）如图，中，，，垂足为，平分，分别交，于点，若：：，则：为(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 1.如图，点是的边上的一点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 2.如图，点是平行四边形边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 3.如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 4.如图，在中，，，延长到点，使得，若点是的中点，则的长为　　 A．2 B．1 C．3 D．4 相似三角形的应用 （2024·江苏省镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点处沿水平直线前进到达点处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 1.图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图2中的数据可得的值为　　 A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08 2.如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，，拉杆，，米，则两梯杆跨度、之间距离为　　 A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D． 米 3.一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时，相关数据如图（单位：．从图2闭合状态到图3打开状态，点，之间的距离减少了　　 A． B． C． D． 4.如图，某同学在处看见河对岸有一大树，想测得与的距离，他先从向正西走90米到达的正南方处，再回到向正南走30米到处，再从处向正东走到处，使得，、三点恰好在一条直线上，测得米，则与的距离为　　 A．112.5米 B．120米 C．135米 D．150米 作图-相似变换 （2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 1如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针方向旋转后得到的△； （2）连接，的度数为 　45　； （3）以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将缩小得到△，画出△，直接写出点的坐标． 2.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）请画出绕点逆时针方向旋转后得到的图形△（点，，的对应点分别为点，，； （2）请画一个格点△，使△△，且相似比为2． 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似三角形　 考情透析 考情透析 中考考点 考查频率 新课标要求 相似三角形的性质与判定 ★★★ 了解相似三角形的判定定理. 了解相似三角形判定定理的证明. 了解相似三角形的性质定理. 相似三角形的应用 ★★★ 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度较大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考查，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考查.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长之间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考生在复习的时候给予加倍的重视! 关键知识 一、相似图形及比例线段 1．相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形． 2．相似多边形 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形． 特征：对应角相等，对应边成比例． 3．比例线段的定义 在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或a∶b＝c∶d），那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 4．比例线段的性质 （1）基本性质：＝ ad＝bc； （2）合比性质：＝ ＝； （3）等比性质： 若＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么＝． 5．黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 二、相似三角形 1．定义 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． 2．判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）两角对应相等，两三角形相似； （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4）三边对应成比例，两三角形相似； （5）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 3．性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 平行线分线段成比例 （2024·哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若：：，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：在四边形中，，， ， ， 即， 解得， 故选：． 根据平行线分线段成比例即可解答． 本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 1.如图，在四边形中，，，，，则线段的长为　　 A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】 【解析】解：， ， ，，， ， ， ． 故选：． 2.如图，在中，，，，，则的长为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】解：， ，即， 解得：， ； 故选：． 3.如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则　　 A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4 【答案】 【解析】解：， ，即， 解得，， 故选：． 4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， 则，即， 解得：， ． 故选：． 相似三角形的性质 （2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为：，则这两个三角形面积的比是(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】D  【解析】解：若两个相似三角形的相似比为：， 则这两个三角形面积的比是：， 故选：． 根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 1.如图，，若，，那么　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：，， ． 在中， ，， 即， ． 故选：． 2.如图，，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：， ， ， ， 或（不符合题意，舍去） ， ． 故选：． 3.两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：两个相似三角形的相似比是， 其面积之比是， 故选：． 4.如图，，若，，，则的长是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解析】解：， ，即， 解得． 故选：． 相似三角形的判定 （2024·山东省滨州·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上添加一个条件使∽，则这个条件可以是           写出一种情况即可 【答案】答案不唯一  【解析】解：， 添加条件：答案不唯一，判定∽， 故答案为：答案不唯一． 由相似三角形的判定方法，即可得到答案． 本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.如图，在与中，，要使与相似，还需满足下列条件中的　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：，， ． 故选：． 2.如图，在中，，，平分，，连接交于点，则图中与相似的三角形有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】 【解析】解：， ． ，，平分， ，， ． 有5个三角形与相似， 故选：． 3.如图，已知点是的边上的一点，根据下列条件，可以得到的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：当， 又， ， 即时，可以得到． 故选：． 4.如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是　　 A．平分 B． C． D． 【答案】 【解析】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或是的平分线； ②； 故选：． 相似三角形的判定与性质 （2024·山东省德州·中考真题）如图，中，，，垂足为，平分，分别交，于点，若：：，则：为(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】A  【解析】解：：：， 设，， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， 故选：． 设，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 1.如图，点是的边上的一点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：，， ，，，，， ， 选项、、正确，错误； 故选：． 2.如图，点是平行四边形边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：根据题意知：，， ，，， ，，中的结论正确，中结论错误， 故选：． 3.如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 4.如图，在中，，，延长到点，使得，若点是的中点，则的长为　　 A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】 【解析】解：点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 相似三角形的应用 （2024·江苏省镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点处沿水平直线前进到达点处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D  【解析】解：设返回过程中小杰身高为， 由， 得， 由， 得． 故选：． 设返回过程中小杰身高为，由，得，即可得答案． 本题主要考查了相似三角形性质的应用，解题关键是正确列比例式． 1.图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图2中的数据可得的值为　　 A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08 【答案】 【解析】解：， ， ， ， ， 故选：． 2.如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，，拉杆，，米，则两梯杆跨度、之间距离为　　 A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D． 米 【答案】 【解析】解：， ， ，米， ， ， 即两梯杆跨度、之间距离为2.1米， 故选：． 3.一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时，相关数据如图（单位：．从图2闭合状态到图3打开状态，点，之间的距离减少了　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：连接，如图所示： 由题意得，，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：． 4.如图，某同学在处看见河对岸有一大树，想测得与的距离，他先从向正西走90米到达的正南方处，再回到向正南走30米到处，再从处向正东走到处，使得，、三点恰好在一条直线上，测得米，则与的距离为　　 A．112.5米 B．120米 C．135米 D．150米 【答案】 【解析】解：由题意可得：，， 则， 故， ，，， ， ． 答：与的距离为． 故选：． 作图-相似变换 （2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：与是位似图形，点的对应点为， 与的位似比为， 点的对应点的坐标为，即， 故选：． 1如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针方向旋转后得到的△； （2）连接，的度数为 ； （3）以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将缩小得到△，画出△，直接写出点的坐标． 【答案】（1）△见解答； （2）45； （3）△见解答，． 【解析】解：（1）如图，△即为所求； （2），且，； 故答案为：45； （3）如图，△即为所求，． 2.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）请画出绕点逆时针方向旋转后得到的图形△（点，，的对应点分别为点，，； （2）请画一个格点△，使△△，且相似比为2． 【答案】（1）（2）作图见解析部分． 【解析】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求． 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$