精品解析：吉林省吉林市第二中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度上学期期末考试 高一数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前、先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（ ） A. 1rad B. 4rad C. 3rad D. 2rad 4. 某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为（ ） A. 18吨 B. 20吨 C. 22吨 D. 24吨 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 8 D. 10 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知“”是“”充分不必要条件，则a的值可能为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则函数的值域为 B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 11. 已知函数（），则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，为奇函数 D. 当时，函数的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：“，”的否定是__________. 13. 若函数为上的奇函数，则实数__________. 14. 已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 16. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 17. 已知函数，其中. （1）若函数最大值是最小值的5倍，求m的值； （2）当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…，若，求的值. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 已知函数，. （1）若函数有两个零点，求实数取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求函数在区间上的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末考试 高一数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前、先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 3. 已知扇形周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（ ） A. 1rad B. 4rad C. 3rad D. 2rad 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形所对圆心角为，根据弧长公式得到方程，解得即可. 【详解】设扇形所对圆心角为，依题意可得，解得， 即该扇形所对圆心角的弧度是rad. 故选：D 4. 某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为（ ） A. 18吨 B. 20吨 C. 22吨 D. 24吨 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意可以判断出职工小王10月份的用水量超过15吨，再依据超过部分按每吨5元收费求出超出部分的吨数，最后两者相加即可得出结果. 【详解】小王10月份的实际用水量为（吨）. 故选：B. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算有，换元得，利用二次函数求最小值. 【详解】， 令，则有， 当时，，所以的最小值为. 故选：A. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合二倍角的余弦公式解二次方程得，然后根据同角三角函数关系求得，最后利用二倍角正切公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得或（舍去）. 因为，所以，， 所以. 故选：C. 8. 已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断当时函数的单调性，即可得到当时也单调递增，结合对数函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】当时，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增且， 所以当时，也单调递增， 则，解得，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义判定即可. 详解】由得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，选项A、B、C中数值符合. 故选：ABC. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则函数的值域为 B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由函数的图象，可得，且， 所以，又，所以，所以， 又由， 则，可得， 因为，可得，所以. 对于A：由，则，所以， 即函数的值域为，故A正确； 对于B：因为， 所以点是函数的图象的对称中心，故B正确； 对于C：当，则，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故C错误； 对于D：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数（），则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，为奇函数 D. 当时，函数的图象关于点中心对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数型复合函数的单调性判断A，根据指数函数的性质及不等式的性质判断B，计算，即可判断C、D. 【详解】函数的定义域为， 因为在定义域上单调递增且，在上单调递增， 所以在上单调递增，故A正确； 因为，所以，，所以， 即， 当时，函数的值域为，故B错误； 当时，， 则， 所以为不是奇函数，故C错误； 当时，， 则， 所以函数的图象关于点中心对称，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：“，”的否定是__________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题：“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故答案为：，. 13. 若函数为上的奇函数，则实数__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由函数奇偶性，利用，求出，再验证，即可求出结果. 【详解】因为为上的奇函数， 所以，此时， 所以，即函数奇函数， 所以满足题意. 故答案为：. 14. 已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分和两个范围分别证明a≤0时符合题意. 【详解】由题易知，即， 所以， 又， 所以. 下证时，在上最大值为3. 当时，，; 当，若，即， 则，满足; 若，即， 此时， 而，满足; 因此，符合题意. 【点睛】本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a≤0，然后分类讨论证明a≤0时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）逆用两角差的正弦公式计算即可； （2）逆用两角和的余弦公式计算即可； （3）由，再逆用两角和的正切公式求解即可. 【小问1详解】 由公式，得. 【小问2详解】 由公式，得. 【小问3详解】 由公式及， 得. 16. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【小问1详解】 因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即或， 解得或. 【小问2详解】 因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 综上可得：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 17. 已知函数，其中. （1）若函数的最大值是最小值的5倍，求m的值； （2）当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，在结合正弦函数的性质求出的最值，即可得到关于m方程，解出即可； （2）依题意可得，令，求出，即可求出，，从而得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时，， 当时，， 由，解得. 【小问2详解】 当时，， 又函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…， 令，有，则或， 可得或， 取，可得，， 又由，即，解得． 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得不等式的解集为，分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围； （2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 即关于的不等式的解集为， 当时，恒成立； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值范围为； 【小问2详解】 不等式，即， 当时，则； 当时，不等式可化为，解得或，即不等式的解集为； 当时，不等式即，则； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式可化为，解得，即不等式解集为； 综上可得：当或时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数，. （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求函数在区间上的最值. 【答案】（1）；（2）；（3）最大值为，最小值为0 【解析】 【分析】 （1）由，易知是函数的一个零点，可知有解，进而可求出的范围； （2）原不等式可化为，分，和两种情况，分别讨论，可求出实数a的取值范围； （3），当时，令，可将转化为二次函数，可求出最大值与最小值；当时，令，可将转化为二次函数，进而可求的取值范围，综合两种情况，可求得的最大值与最小值. 【详解】（1）由， 由，可知是函数的一个零点， 若函数有两个零点，只需要（）有解， 因为，所以，可得且. 故若函数有两个零点，则实数a的取值范围为. （2）若不等式恒成立，有，可化为. ①当时，显然原不等式恒成立； ②当时，，原不等式可化为， 因为，所以； ③当时，，原不等式可化为， 因为，所以. 由上知，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为. （3）， ①当时，令，则可化为， 令，二次函数的对称轴为， 故在区间上单调递增，可得的最小值为，的最大值为； ②当时，令，则可化为， 令，二次函数的对称轴为， 故函数在区间单调递减， 由，，得. 因为， 所以函数在上的最大值为，最小值为0． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$