湖南省长沙市周南教育联盟2024—2025学年八年级上学期期末数学试卷

周南教育联盟2024年下学期八年级期末素质诊断试卷 数学 （考试范围：八上全册） 本试卷共25小题，满分120分，考试用时120分钟。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的。 1．下列图形中是轴对称图形的是（ )。 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】理解掌握轴对称定义即可解题、 【详解】定义：如果一个平面图形存在一条直线（称为对称轴），使得图形上的任意一点关于这条直线都有一个对应点也在图形上，并且这两点与对称轴的距离相等且位于对称轴的两侧，那么这个图形被称为轴对称图形。 故答案选B. 【点睛】本题卡考查轴对称图形的含义，熟练掌握它的3个特性是解题关键。 2．已知一根头发的直径约为0.000000007m，数值0.000000007用科学记数法可表示为（ )。 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用小数科学记数法；a×10－n即可解题，审题要仔细，位数不能出错。 【详解】根据小数科学记数法；a×10－n，a≥1，-n为负整数，所以0.000000007＝7×10－9。 故答案选B。 【点睛】本题考查科学记数法中的小数记数，理解掌握公式且做题仔细致是保证正确的关键。 3．下面各组线段中，能组成三角形的是（ )。 A.2，3，4 B.4，4，8 C.5，4，10 D.6，7，14 【答案】A 【分析】三角形成立的条件为较短两边之和大于第三边，较长两边之差小于第三边，满足该条件即可。 【详解】A：2＋3＝5＞4，4－3＝1＜2，满足三角形成立的条件，符合题意： B：4＋4＝8，不满足三角形成立的条件，不符合题意： C：5＋4＝9＜10，不满足三角形成立的条件，不符合题意： D：6＋7＜14，不满足三角形成立的条件，不符合题意： 故答案选A。 【点睛】本题为三角形基础知识的考查，熟练掌握三角形基础定理即可解决问题。 4．下列运算正确的是（ )。 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用整式的相关运算法则即可解题。 【详解】A：和不是同类项，无法直接计算结果，只可以进行因式分解，不正确； B：，同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以不正确； C： ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以不正确； D：，幂的乘方，偶数次方时，底数负数变正数，指数相乘，故正确。 故答案选D。 【点睛】本题考查整式运算的进本运算法则，为基础题型，要求熟练掌握并应用。 5．若分式的值等于0，则x的值为（ )。 A.±1 B.0 C -1 D.1 【答案】D 【分析】分式的值为0，即分子为0，但注意分母不能为0，因此令x2－1＝0，x＋1≠0，解出结果即可解题。 【详解】由题意： x2－1＝0 x＝±1 又x＋1≠0 x≠-1 所以x＝1 故答案选D。 【点睛】本题考查分式值为0的情况，解题时一定不能忽略分母不为0的情况。 6．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ )。 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据因式分解的特点即可解题。 【详解】A选项是整式乘法运算，不符合题意； B选项因式分解错误，，所以不符合题意； C选项已是最简形式，不能再叫进行因式分解，所以不符合题意； D选项因式分解正确，符合题意。 故答案选D。 【点睛】本题考啥因式分解的特点，一是运算结果一定是乘积形式，其次最终结果是最简形式，最后化简前后是相等的，熟练掌握相应的因式分解方法是解题关键。 7．如图所示，P为∠AOB平分线上的点， PD⊥OA于D，PD=3cm，则点P到OB的距离为（ )。 A.5cm B.4cm C. 3cm D.2cm 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可解题。 【详解】∵P为∠AOB平分线上的点。PD⊥OA且PD=3cm ∴点P到OB的距离＝PD=3cm ∴点P到OB的距离为3cm。 【点睛】本题考查角平分线的性质2，熟记定理，并能与图形相结合即可解决此类问题。 8．一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的边数为（ ） A.4 B. 5 C.6 D.7 【答案】B 【分析】利用多边形内角和公式即可求解。 【详解】由题意：（n－2）÷180＝540° n＝5 故答案选B。 【点睛】本题考查多边形内角和与边数的关系，理解掌握公式是解题关键。 9．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】设规定时间为x天，则慢马所用时间为（x＋1）天，快马所用时间为（x－3）天，根据速度＝路程÷时间，快马的速度是慢马的2倍，即可列出方程。 【详解】慢马的速度＝ 快马的速度＝ 又快马的速度是慢马的2倍 所以 故答案选B。 【点睛】本题考查分式方程的应用中的行程问题，理解题意，掌握行程问题的三要素并理解它们之间的关系，可轻松解决此类问题。 10．如图，AD，AE，AF分别是△ARC的中线、角甲分线、高，下列各式中错误的是（ ） A、BC=2CD B. C. D.AE＝CE 【答案】D 【分析】根据三角形中线、角甲分线、高的性质即可解题， 【详解】由三角形中线性质可知，AD是BC边上的中线，所以BD＝DC＝BC，所以A选项正确； 由三角形的角平分线性质可知，AE是∠BAC的角平分线，所以，所以B选项正确； 由三角形的高线性质可知，AF是BC边上的高，所以AF⊥BC，所以 ，所以C选项正确； 根据排除法，D选项是错误的。 故答案选D。 【点睛】本题考查三角形“三线”的性质，熟练掌握其性质定理，做到数形结合，可有效解决此类问题。 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分式化成最简分式为 。 【答案】 【分析】根据分式的运算法则进行化简求值即可。 【详解】根据同底数幂除法运算法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，即＝ 故答案为： 【点睛】本题考查分式的计算功底，熟练掌握相应的运算法则即可解决问题。 12． 已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 。 【答案】40°或100° 【分析】利用等腰三角形的性质，分两种情况，当这个内角就是顶角，即顶角＝40°；当这个内角是底角时，顶角＝180°-2×40°＝100°。 【详解】当这个内角就是顶角，即顶角＝40°；当这个内角是底角时，顶角＝180°-2×40°＝100°。 故答案为：40°或100° 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形两底角相等，题干没有明确内角是顶角还是底角时就需要分类讨论，在等腰三角形中这类情况经常出现，需要特别注意。 13． “三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=PH，不用测量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 （用字母表示）. 【答案】SSS 【分析】由题意DE=DF，EH=PH，再由图形可知DH为公共边，由此可以判定三角形全等， 【详解】在△DEH与△DFH中 ∴△DEH≌△DFH（SSS） 故答案为：SSS 【点睛】本题考查三角形全等的判定定理——“SSS”定理，即有三组对应边对应相等的两个三角形全等，熟练掌握判定定理并能与图形相结合是解决问题的前提。 14． 如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，若DE＝5，则 。 【答案】10 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案。 【详解】∵AD⊥BC ∴△ADC是直角三角形 ∵E是AC的中点，DE＝5 ∴AC＝2DE＝10 故答案为：10 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟记定理即可解决问题。 15． 已知是完全平方式，则k＝ 。 【答案】±6 【分析】由题意可知，符合完全平方公式，对照将原式变形即可得出结果。 【详解】（x±3）2=x2±6x+9，对照 ∴k＝±6 故答案为：±6 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟记并理解公式特点是解决问题的关键。 16． 代数式，则的值是 。 【答案】－4 【分析】利用整体代入法即可解决问题。 【详解】 10-4a2+2b =10-2(2a2-b) =10-2×7 =－4 故答案为：－4 【点睛】本题考查整式运算中的整体代入法，根据题干特点整体代入即可求解，难度不大，重在解题方法的掌握。 三、解答题：本题共9小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．因式分解（6分）： 【答案】(1) （2） 【分析】利用因式分解的方法即可求解。 【详解】 （1） 解原式= 解原式 故答案为：(1) （2） 【点睛】本题考查了因式分解方法中的提公因式法和公式法。公式法中的完全平方公式和平方差公式均有考到，因此基础公式的理解与掌握是解决此类问题的关键。 18．计算（8分）： 【答案】（1） （2） 【分析】根据整式运算法则即可解决问题。 【详解】 解原式 解原式 故答案为：（1）；（2） 【点睛】本题考查了幂的运算、0指数次幂、倒数、积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握其运算规则是解决此类问题的要诀。 19．解下列分式方程（8分）： (1) 【答案】（1）x=1 （2） 【分析】根据解分式方程的步骤即可解决问题。 【详解】 （1） 解：4x=x+3 4x-x=3 3x=3 x=1 经检验x=1是原方程的解。 解： 经检验是原方程的解。 故答案为：（1）x=1 （2） 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母②求解整式方程③检验根的合理性，熟练掌握是解决此类问题的关键。 20．（6分）化简求值：其中x=1. 【答案】1 【分析】根据分式的运算法则即可求解，注意的是必须先化简在求值。 【详解】 解原式 把x=1代入其中得： 原式1 故答案为：1 【点睛】本题考查了分式的化简求值，对于这类题型，一定要先化简再求值，否则无效做答， 21．（8分）在如图所示的坐标系中，ΔABC的三个顶点的坐标分别为A（1,2），B（4,1），C（2，-2）． （1）请写出ΔABC关于x轴对称的点A1，B1，C1的坐标； （2）请在坐标系中作出ΔABC关于y轴对称的ΔA2B2C2 （3）计算ΔABC的面积。 【答案】（1）如图所示：A1（1，－2），B1（4，－1），C1（2，2） （2） 如图所示，ΔA2B2C2即为所求； （3)ΔABC的面积=5.5 【分析】（1）根据关于X轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）来确定A1，B1，C1的坐标。 （2）依据关于Y轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数）在坐标系中作出。 （3）利用割补法，用矩形面积减去三个三角形面积来计算的面积。 【详解】（1）对于点A，关于X轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数－2，所以A1（1，－2）。 同理可得B1（4，－1），C1（2，2）。 （2）对于点A，关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数－1，得到A2（－1，2），同理可得B2（－4，1），C2（－2，－2），然后根据这三个点的坐标在坐标系中作出ΔA2B2C2。 （3）ΔABC的面积=3×4-1×4÷2-2×3÷2-3×1÷2=5.5. 故答案为：（1）如图所示：A1（1，－2），B1（4，－1），C1（2，2） （2）如图所示，ΔA2B2C2即为所求； （3)ΔABC的面积=5.5 【点睛】本题考查了轴对称在坐标轴中的图形变换，掌握关于X轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）,关于Y轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数）以及利用割补法求面积是解决问题的关键。 22．（8分）如图，在ΔABC中， AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F. （1）求证：AD是线段CE的垂直平分线： （2）若 ，AD=10，求DF的长， 【答案】（1）见详解；（2）2.5 【分析】（1）根据已知，可先证明△AED≌△ACD (AAS)，从而等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明所求， （2） ，结合（1）可得， ,又AD=10，所以DC＝5，所以DF=2.5 【详解】（1）证明：∵DE⊥AB ∴∠AED = 90° ∵∠ACB = 90° ∴∠AED = ∠ACB = 90° ∵AD平分∠BAC ∴∠DAE=∠DAC 在△AED和△ACDde中 ∠AED=∠ACB = 90° ∠DAE=∠DAC AD=AD ∴△AED≌△ACD (AAS) ∴AE=AC，DE=DC ∴AD是线段 CE 的垂直平分线 （2）由题意∵ ∴ 又AD=10 ∴ ∴ 故答案为.：（1）见详解；（2）2.5 【点睛】本题为三角形的证明与计算题，考查了全等三角形的判定和与性质，线段垂直平分线的证明，以及直角三角形30°特殊角的性质，熟练掌握这些知识点，做到数形结合，是解决问题的关键。 23．（8分）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同，请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A种家电每件进价为500元，B种家电每件进价为600元 (2)有三种购买方案，分别是购进 A种家电65件，B 种家电35件;购进 A种家电66件，B种家电34件:购进A种家电67件，B种家电33件。 【分析】(1)根据“用1万元购进A种家电的件数与用 1.2万元购进B种家电的件数相同”这一条件，设出 A种家电进价，可表示出B种家电进价，再根据件数相同列出方程求解进价。 (2)设购进A种家电的数量，根据总金额不超过53500元以及A种家电不超过67件列出不等式组，求出 A种家电数量的取值范围，进而得出购买方案. 【详解】解：（1）设A种家电每件进价为x元，则B种家电每件进价为（x+100)元。 解得：X=500 B种家电每件进价为500+100=600（元） 答:A种家电每件进价为500元，B种家电每件进价为600元 (2) 设购进A种家电m件，则购进B种家电（100-m)件 解得： 所以m的值可以为65，66，67。 所以有三种购买方案，分别是购进 A种家电65件，B 种家电35件; 购进 A种家电66件，B种家电34件: 购进A种家电67件，B种家电33件。 故答案为：(1)A种家电每件进价为500元，B种家电每件进价为600元 (2)有三种购买方案，分别是购进 A种家电65件，B 种家电35件;购进 A种家电66件，B种家电34件:购进A种家电67件，B种家电33件。 【点睛】本题为分式方程的应用题型，与一元一次不等式组相结合，解题的关键是找准等量关系，列出方程组与不等式组，并正确计算，难度适中，需要掌握。 24．（10分）在·△ABC中，，点D是AC上一点，AD=AB，点E是AB上一点，AE=CD。 （1）如图1，求证：△BDE是等腰三角形。 （2）如图2，过点E作EF⊥AC于点F，求证：ED平分∠FEB． （3）如图3，延长ED、BC交于点G，求证：点C在DG的垂直平分线上． 【答案】见详解 【分析】 （1） 证明△AED≌△CDB(SAS)，得出ED＝BD即可证明; （2） 过点D作DH//BC，根据两直线平行内错角相等得出∠HDB＝∠DBC，由（1）得△AED≌△CDB，从而得出∠ADE＝∠DBC，再根据△BDE是等腰三角形，运用等腰三角形三线合一得出∠BDH＝∠EDH，从而得出∠FDE＝∠EDH，再根据EF⊥AC，即可证明△FDE≌△EDH(AAS)，根据全等三角形对应角相等即可证明; （3）由（2）∠DEB＝∠DEF，再根据等量代换得出∠FDE＝∠G，从而证得∠CDG＝∠G，即可证明。 【详解】 （1） 证明；∵AB＝CB，∠ABC＝90° ∴∠A＝∠C＝(180°－∠ABC)÷2＝45° ∵AD＝AB ∴AD＝BC ∵AE＝CD ∴△AED≌△CDB(SAS) ∴ED=BD ∴△BDE是等腰三角形 （2） 过点D作DH // BC，如下图所示； ∴∠HDB＝∠DBC ∵△AED≌△CDB(SAS) ∴∠ADE＝∠DBC，∠FDE＝∠BDH ∵△BDE是等腰三角形 ∴∠BDH＝∠EDH，∠FDE＝∠EDH ∵EF⊥AC ∴△FDE≌△EDH(AAS) ∴∠FED＝∠DEB ∴ED平分∠FEB （3）由(2)∠DEB＝∠DEF 在Rt△DEF中，∠FDE+∠FED =90° 在Rt△EBG中，∠G +∠BED = 90° ∴∠FDE＝∠G ∵∠FDE＝∠CDG ∴∠CDG＝∠G ∴点C在DG的垂直平分线上。 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质“三线合一”和判定，线段垂直平分线的判定以及角平分线的判定，解题的关键是证三角形全等，作出适合的辅助线。 25．（10分）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如；如图1可以得到（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式： （2）如图3，现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； （3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若a+b+c=8，ab+bc+ac=22的值。 【答案】（1）（x＋y）（x＋3y）＝x²＋4xy＋3y² （2） 画图不唯一，画图正确即可，如下图； （3）20 【分析】（1）由图中大矩形的面积＝中间的各图片的面积的和，就可得出代数式： （2） 面积为，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a，b的长方形使用5次，依此即可求解： （3）根据正方形面积，可得等式（a＋b＋c）²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc，进行变形化简带值计算即可求解. 【详解】（1）由题意可知，如下图； （x＋y）（x＋3y）＝x²＋4xy＋3y² （2） 画图不唯一，画图正确即可，如下图； （3）由图4可知，正方形面积＝（a＋b＋c）²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc， ∴a²＋b²＋c² ＝（a＋b＋c）²－（2ab＋2ac＋2bc） ＝8²－2×22 ＝20 【点睛】本题考查的是因式分解的应用与几何的综合题，此题的立意源于课本公式的几何推导，因此需要加深对课本知识的巩固熟练与理解。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周南教育联盟2024年下学期八年级期末素质诊断试卷 数学 （考试范围：八上全册） 本试卷共25小题，满分120分，考试用时120分钟。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的。 1．下列图形中是轴对称图形的是（ )。 A. B. C. D. 2．已知一根头发的直径约为0.000000007m，数值0.000000007用科学记数法可表示为（ )。 A. B. C. D. 3．下面各组线段中，能组成三角形的是（ )。 A.2，3，4 B.4，4，8 C.5，4，10 D.6，7，14 4．下列运算正确的是（ )。 A. B. C. D. 5．若分式的值等于0，则x的值为（ )。 A.±1 B.0 C -1 D.1 6．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ )。 A. B. C. D. 7．如图所示，P为∠AOB平分线上的点， PD⊥OA于D，PD=3cm，则点P到OB的距离为（ )。 A.5cm B.4cm C. 3cm D.2cm 8．一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的边数为（ ） A.4 B. 5 C.6 D.7 9．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 10．如图，AD，AE，AF分别是△ARC的中线、角甲分线、高，下列各式中错误的是（ ） A、BC=2CD B. C. D.AE＝CE 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分式化成最简分式为 。 12． 已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 。 13． “三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=PH，不用测量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 （用字母表示）. 14． 如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，若DE＝5，则 。 15． 已知是完全平方式，则k＝ 。 16． 代数式，则的值是 。 第10题 第13题 第14题 三、解答题：本题共9小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．因式分解（6分）： 18．计算（8分）： 19．解下列分式方程（8分）： (1) 20．（6分）化简求值：其中x=1. 21．（8分）在如图所示的坐标系中，ΔABC的三个顶点的坐标分别为A（1,2），B（4,1），C（2，-2）． （1）请写出ΔABC关于x轴对称的点A1，B1，C1的坐标； （2）请在坐标系中作出ΔABC关于y轴对称的ΔA2B2C2 （3）计算ΔABC的面积。 22．（8分）如图，在ΔABC中， AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F. （1）求证：AD是线段CE的垂直平分线： （2）若 ，AD=10，求DF的长， 23．（8分）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同，请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ 24．（10分）在·△ABC中，，点D是AC上一点，AD=AB，点E是AB上一点，AE=CD。 （1）如图1，求证：△BDE是等腰三角形。 （2）如图2，过点E作EF⊥AC于点F，求证：ED平分∠FEB． （3）如图3，延长ED、BC交于点G，求证：点C在DG的垂直平分线上． 25．（10分）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如；如图1可以得到（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式： （2）如图3，现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； （3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若a+b+c=8，ab+bc+ac=22的值。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$