精品解析：2024年浙江省杭州市建德市初中选拔招生数学试卷

2024年建德市初中选拔招生数学试卷问卷 一、选择题：（共5题，每题4分，共20分） 1. 已知a是方程的一个实数根，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由a是方程的一个实数根，则有，显然，通过变形得，因为，所以，由此可判断直线不经过的象限，通过因式分解对方程进行整理得出的取值范围，是解题的关键． 【详解】解：由a是方程的一个实数根，则有，显然， 通过变形得， 因为， 所以， ， 故随着的增大而增大，且交轴于负半轴，故不经过第二象限， 故选：B． 2. 如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．解决本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质． 如图，为路灯的高，设，先证明，得到①，再证明，得到②，则，可解得，所以，，然后证明，得到，再利用比例性质求出即可． 【详解】解：如图，为路灯高，设， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 由①②得即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 即：标杆的影长为． 故选C． 3. 如果正整数x、y、z满足，则（ ） A. 72 B. 78 C. 82 D. 93 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，不等式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，，， ， （当且仅当时取等号）， x、y、z均为正整数， ， ，， ， A选项符合题意， 故选：A． 4. 如图，设、、为三角形ABC的三条高，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定求出，根据相似三角形的性质得出，根据相似三角形的判定得出，得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：∵、、为三角形ABC的三条高， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能求出是解答此题的关键． 5. 一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（ ） A. 97 B. 95 C. 64 D. 65 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握． 如果一个数是杨梅数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是杨梅数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“杨梅数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“杨梅数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是“杨梅数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“杨梅数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“杨梅数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“杨梅数”， 此后，每连续四个数中有三个“杨梅数”． ，， 64是第46个“杨梅数”， 65是第47个“杨梅数”． 故选∶D． 二、填空题（共6题，每题6分，共36分） 6. 用一个平面去截一个正方体，可以得到的几边形：_________ ． 【答案】三角形、四边形、五边形和六边形 【解析】 【分析】此题主要考查了正方体的特点，分别画出截面为三角形、四边形、五边形，理解题意，分别准确地画出图形是解决问题的关键． 根据正方体的特点，及截面的形状为三角形、四边形、五边形分别画出图形即可． 【详解】解：第一：沿上底的对角线斜切至棱的中点，得到的截面三角形；如图所示： 第二：沿上底的对角线直切至下底的对角线，得到的截面为四边形；如图所示： 第三：沿上底相邻两边上的点、至下底顶点，得到的截面为五边形；如图所示： ； 第三：截面是六边形，如图所示： 故答案：三角形，四边形，五边形和六边形． 7. 实数、满足，记，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将x2-2x-4y=5转化为y=，再代入t=x-2y中，转化为关于x的二次函数，再求最大值即可． 【详解】把x2-2x-4y=5转化为y=，再将t=x-2y代入得： t=x-2() t=x-, 则t的最大值为：. 故答案是：. 【点睛】考查了二次函数的最值，解题的关键是将题中的函数转化为关于x的二次函数，再求最值即可． 8. 如果，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值、勾股定理，在直角三角形中构造出是解题的关键． 作，使得，，设，则，利用勾股定理得到，作交于点，则，，设，在中，利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：作，使得，， 设，则， ∴， 作交于点，如图： 则，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 9. 设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则_________．（结果用含p的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】由条件可以知道是完全平方数，设，，，从而是平方数，设为，则，p是奇质数，，则，可以得到代入就可以求出k值． 【详解】解：设，，， 从而是平方数，设为，，则， ∵p是质数，， ∴， 解得： ∴， ∴（负值舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数和无理数的意义的运用，完全平方公式，质数的性质，二次根式的性质及对相关概念的理解． 10. 如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长至点，，，使得，，顺次连接，，，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至点，，，使得，顺次连接，，，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，则其面积________． 【答案】2476099 【解析】 【分析】本题的关键是作辅助线，连接，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的倍的规律，利用规律求延长第n次后的面积． 【详解】解：连接，根据，得到：， 因而若过点B，作与边上的高，则高线的比是， 因而面积的比是，则的面积是的面积的2倍， 设的面积是a，则的面积是， 同理可以得到的面积是面积的2倍，是， 则的面积是， 同理和的面积都是， 的面积是， 即的面积是的面积的19倍， 同理的面积是的面积的19倍， 即的面积是19，的面积192， 依此类推，的面积是． 11. 如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形边角关系和解不等式，三角形的两边之和大于第三边，解本题的关键是列出和两个不等式，对这两个式子的化简是解本题的难点．由已知和均为三角形数，得出和，联立两式，可得，再由，得出，即可得出结论． 【详解】解： 为三角形数， ，． ， 为三角形数， ． ． ． 两边同时乘以，得， 即． 化简得：， 两边除以，得． ． ， ． ． 故答案为：. 三、解答题（64分） 12. 如图，为的切线，为的割线，于点．证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了圆切线的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，，由切线的性质得到，然后证明出，得到，推出，然后，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，、、、四点共圆，然后证明出，得到． 【详解】证明：连接，，． ∵为的切线， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 同理可证， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴、、、四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． （1）求k关于n的表达式； （2）若n为正整数，求k的取值范围． 【答案】（1） （2），且（n为正整数） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系得到 ，，再由得到，，则，据此可得答案； （2）根据，结合n为正整数进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个正实数根，， ∴ ，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴，且（n为正整数）． 14. 已知a，b，c为三个非负数，且满足3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1. (1)求c的取值范围． (2)设S＝3a＋b－7c，求S的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) S的最大值为－，最小值为－. 【解析】 【详解】试题分析：（1）把c看作已知数，分别用c表示出a和b，让a≥0，b≥0列式求值即可； （2）求得S用c表示的形式，根据c的取值范围代入可得S的最大值和最小值． 试题解析：(1)根据题意，得 解得 ∵a≥0，b≥0，c≥0， ∴ ∴≤c≤. (2)S＝3a＋b－7c＝3(7c－3)＋(7－11c)－7c＝3c－2. ∵≤c≤， ∴≤3c≤， ∴－≤3c－2≤－， ∴S的最大值为－，最小值为－. 15. 已知：如图，在半径为4的中，、是两条直径，M为的中点，的延长线交于点E，且．连接，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据直角所对的圆周角是直角，得出，设，连接、，利用相似三角形的性质，得到，进而得到一元二次方程，求解即可； （2）证明为等腰三角形，过E作，得到，再利用正弦求解即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵M为的中点， ∴，， 如图，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴为等腰三角形 如图，过E作，垂足为F，则， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+和直线l2：y＝﹣x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C． （1）求△ABC面积； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF+OP的最小值； （3）将△OBC沿直线l1平移，平移后记为△O1B1C1，直线O1B1交l2于点M，直线B1C1交x轴于点N，当△B1MN为等腰三角形时，请直接写出点C1的横坐标． 【答案】（1）2；（2）；（3）C1的横坐标为：或或或4． 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出A，C点的坐标，S△ABC＝×AC×OB． （2）作C点关于直线AB的对称点C′（﹣1，2），连接C'E交直线l1于F，作二、四象限的角平分线l3，过点P作PQ⊥l3于Q，则PQ＝OP，可得PF+OP＝FP+PQ，推出当F，P，Q三点共线时最小，即过F作PQ⊥l3于Q交y轴于P，作FG∥OB交直线l3于G．求出FQ即可； （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【详解】解：（1）由题意知：b＝ ∴直线l2：y＝﹣x+ 当y＝0时，x＝1 ∴C（1，0）3 ∵直线l1：y＝ ∴当y＝0时，＝0， ∴x＝﹣3 ∴A（﹣3，0） ∴S△ABC＝×[1﹣（﹣3）]×＝2； （2）在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2＝32+（）2＝12 在Rt△BOC中，BC2＝OC2+OB2＝12+（）2＝4 ∵在△ABC中，AB2+BC2＝12+4＝16＝AC2 ∴△ABC是直角三角形，∴AB⊥BC 作C点关于直线AB的对称点C′（﹣1，2），连接C'E交直线l1于F， ∵C'（﹣1，2） E（5，0） ∴直线C'E：y＝﹣x+ 解得： ∴F（1，） 作二、四象限的角平分线l3，过点P作PQ⊥l3于Q， 则PQ＝OP， ∴PF+OP＝FP+PQ， 当F，P，Q三点共线时最小，即过F作PQ⊥l3于Q交y轴于P，作FG∥OB交直线l3于G． 此时△FQG为等腰直角三角形，斜边FG＝， ∴PF+OP的最小值为：FQ＝FG＝ （3）①如图2中，当B1M＝B1N时， ∵点C1中直线y＝x﹣上运动，设C1（m，m﹣），B1O1交x轴于E，则EB1＝m﹣＝m， OE＝＝m，MB1＝NB1＝2OE＝m， ∴M（m﹣1，+m+m）， 把点M坐标代入直线y＝﹣x+，得到： +m+m＝﹣（m﹣1）+， 解得m＝． ②如图3中当MN＝MB1时，同法可得M（m﹣1，m）， 把点M代入y＝﹣x+得到，m＝﹣（m﹣1）+， 解得，m＝． ③如图4中，当B1M＝B1N时，同法可得M（m﹣1，+m﹣m）， 把点M代入y＝﹣x+得到，﹣m﹣m＝﹣（m﹣1）+， 解得m＝． ④如图5中，当NM＝NB1时，同法可得M（m﹣1，m）， 把点M代入y＝﹣x+得到，＝﹣（m﹣1）+， 解得m=4，4＝）， 综上所述，C1的横坐标为：或或或4． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，注意数形结合思想和分类讨论思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年建德市初中选拔招生数学试卷问卷 一、选择题：（共5题，每题4分，共20分） 1. 已知a是方程的一个实数根，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（ ） A. B. C. D. 3 如果正整数x、y、z满足，则（ ） A. 72 B. 78 C. 82 D. 93 4. 如图，设、、为三角形ABC的三条高，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4 5. 一个正整数若能表示成两个正整数平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（ ） A. 97 B. 95 C. 64 D. 65 二、填空题（共6题，每题6分，共36分） 6. 用一个平面去截一个正方体，可以得到的几边形：_________ ． 7. 实数、满足，记，则的最大值为________． 8. 如果，则__________． 9. 设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则_________．（结果用含p的代数式表示） 10. 如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长至点，，，使得，，顺次连接，，，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至点，，，使得，顺次连接，，，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，则其面积________． 11. 如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且，则的取值范围是____________． 三、解答题（64分） 12. 如图，为的切线，为的割线，于点．证明：． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． （1）求k关于n的表达式； （2）若n为正整数，求k的取值范围． 14. 已知a，b，c为三个非负数，且满足3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1. (1)求c取值范围． (2)设S＝3a＋b－7c，求S的最大值和最小值． 15. 已知：如图，在半径为4的中，、是两条直径，M为的中点，的延长线交于点E，且．连接，． （1）求的长； （2）求值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+和直线l2：y＝﹣x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C． （1）求△ABC的面积； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF+OP的最小值； （3）将△OBC沿直线l1平移，平移后记为△O1B1C1，直线O1B1交l2于点M，直线B1C1交x轴于点N，当△B1MN为等腰三角形时，请直接写出点C1横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $