精品解析：北京市通州区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

通州区2024—2025学年第一学期九年级期末质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在中，，如果，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数，根据正切的意义进行解答即可． 【详解】解：在中，，如果，， ∴， 故选：A． 2. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（　　） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°， ∴∠BAC＝∠BOC＝60°． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 3. 关于函数，，，的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 都有最低点 C. y随x增大而增大 D. 对称轴是y轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数的图象性质是解题的关键． 根据值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或最低点，从而判定B；根据函数的增减性判定C；根据函数的对称轴判定D． 【详解】解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上，故此选项不符合题意； B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点，故此选项不符合题意； C．函数与，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；函数与，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；故此选项不符合题意； D．函数的对称轴都是轴，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此求解即可． 【详解】解：连接AB，由图可知：OA=OB，AO=AB，∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=． 故选B． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，得出△ABC是等边三角形是解题的关键． 5. 如果二次函数的图象经过点，那么该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用二次函数的对称性解答即可； 【详解】二次函数的图象得对称轴是直线， ∵二次函数的图象经过点 ∴二次函数的图象必经过点， 故选：B 6. 如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，如果，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，连接，由切线的性质得，根据等腰三角形的性质得，通过外角性质可得，则，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键． 根据的正切可得，而，进而即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ， 根据题意可得：， ， 故选：A． 8. 如图，已知及外一定点P，嘉嘉同学进行了如下两步操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，则． 上述结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误． 【详解】解：如下图， 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线， 因此点A是的中点，故①正确； ∵是的直径， ， ， ∴直线都是的切线，故②正确； ∵直线都是的切线， 根据切线长定理，可知，故③正确； ， ∴， ∴， ， ∵点A是的中点， ，故④错误． 故选：C． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如图，D、E是边、上的两点，且，，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明∽，可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 10. 已知一个扇形的半径长为，圆心角为，则这个扇形的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，理解扇形面积与相应圆面积的比就是扇形圆心角占整个周角的比，列式求解即可得到答案，熟记扇形面积公式并正确理解是解决问题的关键． 【详解】解：一个扇形的半径长为，圆心角为， 这个扇形的面积为， 故答案为：． 11. 已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在______．（填内、外或上） 【答案】外 【解析】 【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据直径求出半径，即可判断出点和圆的位置关系． 【详解】解：的直径为， 的半径为， ， 故点P在外． 故答案为：外． 12. 如图，在中，，中线与高线相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形进行判定即可． 【详解】解：，为中线， 为高线， ； ， ； ； ，为中线， 为角平分线， ； 故答案为：或或或． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定表示的意思是一次函数在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可． 【详解】解：抛物线和直线交于点O和点A，且点的横坐标是3， ∴由函数图象可得的解集为， 故答案为：． 14. 图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：10． 15. 已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 16. 小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分为钝角和锐角，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∴， 在中，； 当为钝角时，则：； 当为锐角时，则：； 故答案为：或． 三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算以及零指数幂，原式分别代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，最后再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 已知二次函数． （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴； （2）请你判断点是否在此二次函数的图象上； （3）如果点，均在该抛物线上，那么______．（填：“”“”或“”） 【答案】（1）开口方向向下，对称轴为直线： （2）点在此二次函数的图象上 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，求解即可； （2）将代入函数解析式，求出值，进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【小问1详解】 解：， 函数图象开口方向向下，对称轴为直线：； 【小问2详解】 解：， 当时，， 点在此二次函数的图象上； 【小问3详解】 解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 19. 如图，在中．，是的中线，如果．．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，求角的余弦值，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握余弦的定义是解题关键．由直角三角形斜边中线的性质得出，，从而得出，由勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，． 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 20. 如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点A、B作．．和交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当．时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线和交于点O， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∵四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形， ∴，，， ∴，， ∴． 21. 如图，在中，． 求作：射线，使得． 小靖同学的作法如下： ①以点为圆心，长为半径画圆，延长交于点； ②作的角平分线交于点； ③作射线． 所以射线即为所求． 请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：连接，，点在上． 是的直径，______（______）（填推理依据） 平分，．， （______）（填推理依据）． ，．（______）（填推理依据）．． 【答案】（1）图见解析 （2），直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一 【解析】 【分析】（1）按照所给作法以及角平分线的尺规作图法补全图形即可； （2）由直径所对的圆周角是直角可得，由相等的圆周角所对的弧相等可得，由等弧所对的圆心角相等可得，由三线合一可得，然后由垂直于同一直线的两直线平行即可得出结论． 【小问1详解】 解：使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）如下： 【小问2详解】 证明：连接，， ，点在上． 是的直径，（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据） 平分，．， （等弧所对的圆心角相等）（填推理依据）． ，．（三线合一）（填推理依据）．． 故答案为：，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一． 【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），画出直线、射线、线段，直径所对的圆周角是直角，角平分线的有关计算，利用弧、弦、圆心角的关系求证，根据三线合一证明，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握基本的尺规作图方法和技巧是解题的关键． 22. 在矩形中，，点G为边上一点，，于点E， （1）求证； （2）求证E是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，进而可证明； （2）根据相似三角形的性质求出的长是解答本题的关键． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴E是的中点． 23. 某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角，打开时桌面与同一支架的夹角（桌面），已知支架，求桌面上升的高度约为多少？（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：，，，，，）． 【答案】桌面上升的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解题的关键． 做辅助线，过点作于点，交于点，由三角函数求出、的值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵， ∴，在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴桌面上升的高度约为． 24. 如图，的直径垂直弦于点 E，F是圆上一点，D是的中点，连接 交 于点 G， 连接 ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）连接，求出直径的长，即得半径，求出，由（1）知，再求出，利用勾股定理求出，根据垂径定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵直径， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆的基本性质、三角形全等的判定定理是解题的关键． 25. 如图，在中，，O是的中点，到点O的距离等于的所有点组成图形G，图形G与边交于点D，过点D作于点E． （1）依题意补全图形，判断直线与图形G的公共点个数并加以证明； （2）延长线交图形G于点F，如果，，求的长． 【答案】（1）补全图形见解析，直线与图形G（）只有一个公共点，或直线与相切，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线证明、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得图形G是以点O为圆心，为半径的圆；连接，可证直线与相切； （2）过点O作于点G．可得 ，推出四边形是矩形；根据 ，即可求解； 【小问1详解】 解：补全图形； 结论：直线与图形G（）只有一个公共点，或直线DE与相切 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点D在图形G（）上， ∴直线与图形G（）只有一个公共点． 【小问2详解】 解：过点O作于点G． ∴ ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴（舍负）， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴； （2）若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【答案】（1）此二次函数图象的对称轴是直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键． （1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得； （2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【小问1详解】 解：对于二次函数， 当时，， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴是直线． 【小问2详解】 解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 27. 在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，如果点E在线段上，求证：； （2）如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即可． （1）由旋转可知：，，进而得；根据，，可得；结合在中， ，即可求证； （2）延长到点N，使，连接可推出，，证 ，即可求证； 【小问1详解】 证明：∵线段绕点D顺时针旋转得到线段． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 证明：如图，延长到点N，使，连接 ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． （1）如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； （2）如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①作直线，根据垂径定理可知，则可得点在以为圆心，1为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心，由题意可知直线与圆相切，过点作垂直直线交于点，先证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由（1）可知，点在以为直径的圆弧上，由题意可得直线与圆弧相交或相切，分两种情况求出的值，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：①作直线， ∵点是弦的中点， ， ， ∴点在以为直径的圆上， ， ∴点在以为圆心，1为半径的圆上， ∵点在该圆上， ∴点是关于的“弦中点”， 故答案为：； ②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心， ∵直线上只存在一个关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切， 过点作垂直直线交于点， 当直线与轴交于正半轴时， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当直线与轴交于负半轴时，同理可得， 综上所述，的值为或； 【小问2详解】 解： 由（1）可知，点在以为直径的圆弧上， ∵直线上存在关于的“弦中点”， ∴直线与圆相切或相交， 过点作垂直直线交于点，当直线经过点时，m取得最大值， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ∴圆的半径为3， ，， ， ， ； 当直线经过点时，m取得最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点作 ， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：． ∴的取值范围． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，勾股定理等，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点的运动轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2024—2025学年第一学期九年级期末质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在中，，如果，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（　　） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 3. 关于函数，，，的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 都有最低点 C. y随x增大而增大 D. 对称轴是y轴 4. 如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ） A. B. C. D. 5. 如果二次函数的图象经过点，那么该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，如果，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 7. 为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知及外一定点P，嘉嘉同学进行了如下两步操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，则． 上述结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如图，D、E是边、上的两点，且，，那么___________． 10. 已知一个扇形的半径长为，圆心角为，则这个扇形的面积为____． 11. 已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在______．（填内、外或上） 12. 如图，在中，，中线与高线相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为________． 14. 图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为_____________． 15. 已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是______． 16. 小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是______． 三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 已知二次函数． （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴； （2）请你判断点是否在此二次函数的图象上； （3）如果点，均在该抛物线上，那么______．（填：“”“”或“”） 19. 如图，在中．，是的中线，如果．．求的值． 20. 如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点A、B作．．和交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当．时，求的值． 21. 如图，在中，． 求作：射线，使得． 小靖同学的作法如下： ①以点为圆心，长为半径画圆，延长交于点； ②作的角平分线交于点； ③作射线． 所以射线即为所求． 请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：连接，，点在上． 是的直径，______（______）（填推理依据） 平分，．， （______）（填推理依据）． ，．（______）（填推理依据）．． 22. 在矩形中，，点G为边上一点，，于点E， （1）求证； （2）求证E是的中点． 23. 某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角，打开时桌面与同一支架的夹角（桌面），已知支架，求桌面上升的高度约为多少？（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：，，，，，）． 24. 如图，的直径垂直弦于点 E，F是圆上一点，D是的中点，连接 交 于点 G， 连接 ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，在中，，O是的中点，到点O的距离等于的所有点组成图形G，图形G与边交于点D，过点D作于点E． （1）依题意补全图形，判断直线与图形G的公共点个数并加以证明； （2）延长线交图形G于点F，如果，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴； （2）若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 27. 在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，如果点E在线段上，求证：； （2）如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 28. 在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”． （1）如图1，已知点； ①点，，中是关于的“弦中点”的是______； ②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值； （2）如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $