精品解析：北京市海淀区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

海淀区八年级练习 数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称，班级名称，姓名． 3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束、请将本试卷交回． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 在我国传统的祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某计算机完成一次基本运算的时间约为、已知，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 9或15 6. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是的中点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 如用，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小华同学用四个边长为正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ） ①；②；③；④． A ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是________． 12 分解因式：=____. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为，．以点为圆心，线段的长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为________． 14. 方程的解为________． 15. 如图，在中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为________°． 16. 如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论： ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题共．52分，第17题4分，第18题7分，第19-21题，每小题4分，第22-23题，每小题5分，第24-25题，每小题6分，第26题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. （1）计算：； （2）已知，求的值． 19. 如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵垂直平分， ∴________（________）（填推理依据）． ∴． ∵， ∴，． ∴________． ∴． ∴． ∴点为线段的中点． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，是上一点，，，． 求证：平分． 22. 秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 23. 如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． （1）求证：垂直平分； （2）若，，，直接写出的长． 24. 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为________； （2）若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； （3）当时，判断与的大小关系，并证明． 25. 在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． （1）如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； （2）如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 26. 在平面直角坐标系中，已知点和线段，点在线段的垂直平分线上，对于给定的一个正数，若点使得是以为底边的等腰三角形，且．则称点为点关于线段的度等腰点． （1）如图1，点在轴上，，，在，，中，是点关于线段的90度等腰点的是________； （2）如图2，，，，若存在点关于线段90度等腰点，求的取值范围； （3）如图3，点，，点在轴正半轴上，满足，点为轴上的动点，若存在点关于线段的60度等腰点，直接写出点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区八年级练习 数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称，班级名称，姓名． 3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束、请将本试卷交回． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 在我国传统祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，逐一判断即可得到答案，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形在直线两旁的部分折叠后可重合是解题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；   故选：C． 2. 某计算机完成一次基本运算的时间约为、已知，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：C． 3. 六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意，得，当时计算即可． 本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 当时， ， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，计算即可． 本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，不符合题意； B. ，此选项错误，不符合题意； C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 9或15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形的周长，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 分腰长为和，根据三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是和， ∴当腰长为时，，三角形的周长为； 当腰长为时，，不能构成三角形； ∴此等腰三角形的周长为， 故选：B ． 6. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，此选项错误，不符合题意； B. ，此选项正确，符合题意； C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，是的中点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，是的中点，， ∴，， ∴， ∴故选：A． 8. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A. ，是整式乘法，不是因式分解，故本项不符合题意； B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意； C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意； D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意； 故选：C． 9. 如用，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； B.添加， 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； C.添加 在中 ∵ ∴， 故此选项正确，不符合题意； D.添加，不符合任何一定判定定理， 无法证明， 故此选项错误，不合题意； 故选：D． 10. 如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法与几何图形面积，即运用几何直观理解、解决整式的乘法与几何图形的面积之间的联系，通过几何图形之间的数量关系对整式乘法做出几何解释． 根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，计算即可． 本题考查了分式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：分式有意义． 故， 解得， 故答案为：． 12. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为，．以点为圆心，线段的长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 连接，先根据点B的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得，是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标为， ， ∵， ∴， ∴点A的坐标为， 由同圆半径相等得：， 是等腰三角形， ， ， 又点位于轴正半轴， 点的坐标为， 故答案：． 14. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． 【详解】解： 方程两边同乘，去分母得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为________°． 【答案】110 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，根据三角形的性质得和，结合题意得和，利用三角形外角和性质得即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：110． 16. 如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论： ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，交于，交于，连接，交于，交于，连接，，，由两点之间线段最短可判断①；根据轴对称的性质证明，是等边三角形，由垂线段最短可判断②、③，进而得结论． 【详解】解：作点关于的对称点， 点关于的对称点，交于，交于， 连接，交于，交于， 连接，，，， 根据轴对称的性质可得：，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 的周长， ， ， 与重合时，，即最小，故①错误；故②正确； 当时，点能在两个不同的位置取到相同的值， 分别在点两侧且关于点对称，故③正确， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题、轴对称的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质，等边三角形的性质及判定，熟知相关性质，做到数形结合是正确解决本题的关键． 三、解答题（本题共．52分，第17题4分，第18题7分，第19-21题，每小题4分，第22-23题，每小题5分，第24-25题，每小题6分，第26题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂解答即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 18. （1）计算：； （2）已知，求值． 【答案】（1）；（2）11 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，注意完全平方公式的使用． （1）先算乘方，再算乘除法即可； （2）先运用完全平方公式及多项式乘多项式的法则将式子化简，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵ ∴ 原式． 19. 如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （1）使用直尺和圆规，依小明思路作出点（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵垂直平分， ∴________（________）（填推理依据）． ∴． ∵， ∴，． ∴________． ∴． ∴． ∴点为线段的中点． 【答案】（1）见解析 （2）；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质； （1）根据题意作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （2）根据垂直平分线的性质得出，等边等角可得，进而根据等角的余角相等，可得，得出，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 作图如图所示： 【小问2详解】 证明：连接． ∵垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴点为线段的中点． 故答案为：；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，是上一点，，，． 求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】，先证明，再证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是的平分线． 22. 秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时，由此列式求解即可． 【详解】解：设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时． 23. 如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． （1）求证：垂直平分； （2）若，，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系：即可求解． 【小问1详解】 证明：∵直线分别为的垂线， ∴. ∴ 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上. ∴垂直平分. 【小问2详解】 解：在中，， 由勾股定理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 24. 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为________； （2）若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； （3）当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】（1）； （2）1，3； （3），证明过程见详解 【解析】 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ， ，解得， 故答案为：1，3； 【小问3详解】 证明： ， ，， ，， ． 25. 在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． （1）如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； （2）如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】（1）①见解析；② （2）或 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可；②延长至F，使得，连接，根据等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点P在直线右下方时，当点P在直线左下方时，方法同②相似，求证即可． 【小问1详解】 解：①补全图形如下： ②延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 当点P在直线右下方时，如图所示： 延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在直线左下方时，如图所示： 同理得：，，， ∴， 综上可得：或． 26. 在平面直角坐标系中，已知点和线段，点在线段的垂直平分线上，对于给定的一个正数，若点使得是以为底边的等腰三角形，且．则称点为点关于线段的度等腰点． （1）如图1，点在轴上，，，在，，中，是点关于线段的90度等腰点的是________； （2）如图2，，，，若存在点关于线段的90度等腰点，求的取值范围； （3）如图3，点，，点在轴正半轴上，满足，点为轴上的动点，若存在点关于线段的60度等腰点，直接写出点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】（1）， （2）的取值范围为且 （3）且 【解析】 【分析】（1）根据，，得线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q，且点B，点C到对称轴的距离为，结合点使得是以为底边的等腰三角形，得到点P在对称轴直线上，当时，得到，此时是等腰直角三角形，且，这时点P的坐标为，恰好是；当点坐标在下方时，，也符合题意；当点坐标在上方时，，不符合题意；解答即可． （2）设的中点为T，过点D作轴于点M，确定直线为线段OD的垂直平分线，求得其解析式为，确定点，都是等腰点的直角点，列式解答即可． （3）当点N与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点C作轴于点G，利用等边三角形的性质，矩形的性质，平移的思想解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴点B，点C到对称轴的距离为， ∵点使得是以为底边的等腰三角形， ∴点P在对称轴直线上， ∴点，，都在对称轴直线上， 当时， ∴，此时是等腰直角三角形，且，这时点P的坐标为，恰好是，符合题意； 点在下方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，也符合题意； 点在上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故，不符合题意； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设的中点为T，过点D作轴于点M， ∵，， ∴，，，， ∴直线为线段OD的垂直平分线， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点关于线段的90度等腰点在直线上， ∵，，设与x轴的交点为G， ∴，的垂直平分线为直线， ∴点E，点F到对称轴的距离为， ∵点使得是以为底边的等腰三角形，且点关于线段的90度等腰点， ∴点关于线段的90度等腰点在对称轴直线上，且当等腰点到x轴的距离为1时，为直角， ∴点，都是等腰点的直角点， ∴或， 解得或， ∴等腰点在点下方，在上方，包括这两点， ∴的取值范围为， ∵时，E，等腰点，F三点共线， ∴，此时不符合题意， ∴的取值范围为且． 【小问3详解】 解：当点N与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点C作轴于点G， ∵点，点在轴正半轴上，满足， ∴，，， 过点C作轴于点F， 则， ∴， 又四边形是矩形， ∴， ∵点为轴上的动点，存在点关于线段的60度等腰点， ∴是的一半， ∴， 当向上平移6个单位时，此时； 当向下平移6个单位时，此时； 根据定义得， 当时，T，N，H三点共线，不符合题意， 故， ∴且． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求解析式，平移思想的应用，对称问题，勾股定理，熟练掌握新定义，勾股定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $