精品解析：北京市东城区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

东城区2024-2025学年度第一学期期末统一检测 初三数学 2025.1 学校 班级 姓名 教育ID号 考生须知： 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题、满分100分，考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 在平面上画一个三角形，其内角和是 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 购买1张彩票，中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此并结合相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、在平面上画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故该选项不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故该选项不符合题意； C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆是必然事件，故该选项符合题意； D、购买1张彩票，中奖是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 3. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称图形的是（ ） A. 击剑 B. 田径 C. 马术 D. 赛艇 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可得到答案，熟练掌握中心对称图形的概念并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ； 故选：B． 4. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的求解步骤求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 5. 如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得，由得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：∵与分别相切， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 7. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的中心.若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作于点E， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：； 故选：D． 8. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据当和时，函数值相等，求出对称轴，可判断②；得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，可判断①；得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，可判断③；根据和时，，可判定④，进而可得出答案． 【详解】解：∵当和时， ∴函数图象抛物线对称轴为直线，故②错误； ∴为最低点，抛物线的开口向上，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，，故③正确； ∵和时，， ∴是方程，即方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的是①③④，共3个， 故选：C． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 11. 某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为__________.（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 12. 据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年全国居民人均可支配收入2021年全国居民人均可支配收入（2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 13. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点D在该量角器所在的圆上， ∴， 故答案为：55． 14. 如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理，先根据圆内接四边形的性质求得，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在圆内接四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先根据旋转性质得到，，，再利用三角形的内角和定理，结合等边对等角求得即可． 【详解】解：由旋转性质得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式表示数字，如图所示. 据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如，算筹表示的四位数是6613. （1）用3根算筹表示的两位数可以是__________（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）； （2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为__________（算筹不剩余且个位不为0）. 【答案】 ①. 21（答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】本题考查了求概率，求出所有可能的结果数及事件发生时可能的结果数，利用概率公式即可求解． （1）由题意，三根算筹可以是1与2的组合，也可以是6与1的组合，由此即可任写一个即可； （2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，62，26，71，17共7个数，其中大于60的数有4个，则可求得概率． 【详解】解：（1）三根算筹可以是1与2的组合，即12或21；也可以是6与1的组合，即16或61；4个数中任写一个； 故答案为：21（答案不唯一）； （2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，26，62,66，71，17共8个数，其中大于60的数有3个，则抽取一个数大于60的概率为； 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 18. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接，并设圆的半径为r；由垂径定理推论得，；在中，利用勾股定理建立方程即可求得半径． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为r； ∵D是中弦的中点， ∴，； ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：； 答：的半径为． 19. 已知：为的外接圆，D是边上的一点，连接． 求作：，使得点E在线段上，且． 作法： ①连接，分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点P； ②以点P为圆心，长为半径作圆，交线段于点E； ③连接，． 就是所求作的角． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵点A，B，C在上， ∴（ ）（填推理的依据）． ∵点B，O，E，C在上， ∴ ． ∴． 【答案】（1）见解析 （2）圆周角定理； 【解析】 【分析】本题考查基本作图、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． （1）根据题中作图步骤，结合垂径定理、线段垂直平分线的性质、和圆的基本性质画图即可； （2）根据圆周角定理补全证明过程即可． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 证明：连接． ∵点A，B，C在上， ∴（圆周角定理）． ∵点B，O，E，C在上， ∴． ∴． 故答案为：圆周角定理； 20. 已知二次函数. （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，的取值范围是 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后利用的性质即可得解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴二次函数的图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：且对称轴在的范围内， 当时函数值有最大值，最大值为， 当时函数值有最小值，最小值为， ∴函数值的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为． （1）点P的坐标是 ；（填写正确的选项） A. B. C. （2）画出旋转后的，并写出的坐标是 ； （3）线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数. 【答案】（1）A （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解． （1）线段，的垂直平分线的交点P即为所求； （2）根据要求作出图形，根据图形可得坐标； （3）根据旋转的性质，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，旋转中心P的坐标为， 故选：A． 【小问2详解】 解：如图，即为所求作，点坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由旋转的性质可得，，， ∴ ∴，又， ∴， 则． 22. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； （2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得从这4张书签中随机抽取2张的所有等可能的结果，再找出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果， ∴从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从这4张书签中随机抽取2张共有12种等可能的结果，其中，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果有2种， 则随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为， 答：随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 23. 已知关于x的一元二次方程（）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求代数式的值． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，求代数式的值等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）计算出一元二次方程的判别式，根据判别式的符号即可证明； （2）把方程的根2代入一元二次方程中，得到，即有，再整体代入代数式中即可求得值． 【小问1详解】 证明：关于x的一元二次方程为（） 则， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个根， ∴， 即， ∴ ． 24. 如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． （1）求该抛物线的解析式； （2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解解析式即可； （2）先将代入（1）中解析式求得y值，结合与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，， 当时，， ∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米， ∴通过隧道的车辆的限制高度为米 25. 如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由“直径所对的圆周角等于”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得．又由可得，则可得，即可得证． （2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据三角函数的定义即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ． 在中， 点P为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. （1）当时，求t的值； （2）点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，结合已知求解即可； （2）先根据已知求得，进而求得，然后根据抛物线的开口向上，得到离对称轴越远，函数值越大求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，解得， 由得抛物线的对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，则或， ∴， ∵， ∴， ∵，，又抛物线的开口向上， ∴． 27. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 解：； 证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H； ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”. （1）已知点，. ①在点，，中，点 是弦的关联点，其中 °； ②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是 ； （2）若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值. 【答案】（1）①，60； （2）最大值和最小值分别为和1 【解析】 【分析】（1）①反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意，先根据中点坐标公式求出M，再求出，根据点与圆的位置关系即可求解； ②同上作出关于点M的对称圆，连接，可求，，则，故的“关联点”在优弧上（不包括端点），若直线上存在的“关联点”，则直线与优弧上（不包括端点）有交点，当直线经过点A时，把代入，求出，当直线与相切时，记切点为H，连接，记直线与轴交于点，可求，则，过作轴交直线于点，求出点，代入，求得：，那么时，直线上存在的“关联点”； （2）先确定点C在以O为圆心为半径的圆上，对于弦，我们固定点，调整点A位置即可，同上作出关于点M对称的，则根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B），以为底边，作顶角为的等腰，由圆周角定理可得，故点C又得在以为圆心，为半径的优弧上，那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意，当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，由圆的对称性可知共线，，设，则同上可得，由，得到，解得：，则，当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，则，求得，那么，综上，弦的最大值为，最小值为1． 【小问1详解】 解：①∵点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”， ∴反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∴点在上， 同理经过计算，到的距离为均大于半径，故不符合题意， ∴点是弦的关联点， 连接， ∴，同理可求，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，60； ②同上作出关于点M的对称圆，连接， ∵，，，， 同理可求，，， ∴同理可求， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的“关联点”在优弧上（不包括端点）， ∴若直线上存在的“关联点”， 则直线与优弧上（不包括端点）有交点， 当直线经过点A时，如图： ∴把代入得：， 解得：， ∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点， 当直线与相切时，如图： 记切点为H，连接，记直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ∴， 当，， ∴， 则， ∴， 过作轴交直线于点， 则， ∵由切线得性质得到： ∴， ∴点， 代入， 求得：， ∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点， 综上所述：时，直线上存在的“关联点”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴点C在以O为圆心为半径的圆上， 对于弦，我们固定点，调整点A位置即可， 同上作出关于点M对称的， ∵点C是的“关联点”， ∴根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B）， ∵点C是的“关联点”， ∴以为底边，作顶角为的等腰， ∴由圆周角定理可得：， ∴点C又得在以为圆心，为半径的优弧上， 那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意， ∴当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，如图： 由圆的对称性可知共线，， 设，则同上可得， ∴在中，， ∵， ∴， 解得：或（舍） ∴， 当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，如图： ∴， ∴， ∴， 综上，弦的最大值为，最小值为1． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，涉及圆周角定理，解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性很强，解题的关键在于反向思考和固定变量解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东城区2024-2025学年度第一学期期末统一检测 初三数学 2025.1 学校 班级 姓名 教育ID号 考生须知： 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题、满分100分，考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 在平面上画一个三角形，其内角和是 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 购买1张彩票，中奖 2. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称图形的是（ ） A. 击剑 B. 田径 C. 马术 D. 赛艇 4. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的中心.若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式______． 11. 某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为__________.（结果精确到） 12. 据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为___． 13. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 14. 如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则__________． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则__________． 16. 古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式表示数字，如图所示. 据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如，算筹表示的四位数是6613. （1）用3根算筹表示的两位数可以是__________（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）； （2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为__________（算筹不剩余且个位不为0）. 三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解方程：． 18. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 19. 已知：为的外接圆，D是边上的一点，连接． 求作：，使得点E在线段上，且． 作法： ①连接，分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点P； ②以点P为圆心，长为半径作圆，交线段于点E； ③连接，． 就是所求作的角． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵点A，B，C在上， ∴（ ）（填推理的依据）． ∵点B，O，E，C在上， ∴ ． ∴． 20. 已知二次函数. （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，的取值范围是 . 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为． （1）点P的坐标是 ；（填写正确的选项） A. B. C. （2）画出旋转后的，并写出的坐标是 ； （3）线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数. 22. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； （2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 23. 已知关于x的一元二次方程（）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求代数式的值． 24. 如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． （1）求该抛物线的解析式； （2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 25. 如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. （1）当时，求t的值； （2）点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 27. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”. （1）已知点，. ①在点，，中，点 是弦的关联点，其中 °； ②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是 ； （2）若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $