精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年九年级上学期数学阳光调研测试卷

苏州市2025年阳光指标学业水平调研卷 九年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项 1．答题前，学生务必将学校，班级，姓名，调研号等信息填写在答题卡相应的位置上； 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，93，92，95，95．这组数据的中位数是（ ） A. 90 B. 92 C. 93 D. 95 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，上有三点A，B，C，连接，已知，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 对称轴直线 D. 与x轴有两个交点 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值不可能是（ ） A. 6 B. 3 C. 0 D. 6. 四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知，求________． 10. 甲、乙两人在相同条件下均进行10次射击．若甲射击成绩的平均数是8环，方差是1环；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.2环，则__________的成绩比较稳定．（填“甲”或“乙”） 11. 如图，一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分，若红色部分扇形的圆心角度数为，黄色部分扇形的圆心角度数为．转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是__________． 12. 圆锥的底面半径是4，母线长是6，则这个圆锥的侧面积为__________（结果保留）． 13. 已知点在线段上，且．若，则的长为__________． 14. 如图1是苏州园林中的拱门，可抽象为如图2所示的图形．已知长度为，拱门的最高点C到直线的距离为，则拱门所在圆的半径为__________． 15. 对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数有且只有一个“三倍数”，则c的值为__________． 16. 如图，中，C，E分别是边，上的点，连接，，交点为D．若，，，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，的顶点坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，将按相似比2：1放大，得到． （1）在图中画出（不要求写出画法）； （2）的面积为__________． 20. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对20名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．10小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． （1）条形统计图中错误的是__________选项的人数，正确的应该是__________人； （2）这20名同学每天睡眠时间的众数是__________小时； （3）请计算这20名同学每天平均睡眠时间． 21. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 22. 一个不透明的袋子里装有三个分别标注字母A，B，C的小球，它们的大小、质地完全相同，先从袋子里随机摸出一个小球，然后将其放回袋子，搅匀后再从袋子中随机摸出一个小球． （1）第一次摸到小球A的概率为__________； （2）求两次摸到的是同一个小球的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽时，水面距桥孔顶部．因降暴雨水位上升了到达位置．建立平面直角坐标系，如图1所示． （1）求此时水面宽度（结果保留根号）； （2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为，宽为（横断面如图2所示）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 24. 图1是一盏台灯照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 25. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F． （1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离； （2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点． 26. 二次函数的图象如图所示，将它绕顶点旋转后，再沿直线向右上方平移（顶点在直线上），得到二次函数的图象．设二次函数的图象与x轴交于点B，C，顶点A的横坐标为． （1）顶点A的纵坐标为__________（用含n的代数式表示）； （2）若，求线段的长； （3）若的长为4，求n的值． 27. （1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2025年阳光指标学业水平调研卷 九年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项 1．答题前，学生务必将学校，班级，姓名，调研号等信息填写在答题卡相应的位置上； 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，93，92，95，95．这组数据的中位数是（ ） A. 90 B. 92 C. 93 D. 95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，将数据重新排列，再根据中位数的定义即可得解． 【详解】解：将这组数据重新排列为：90，92，93，95，95， 故这组数据的中位数是93， 故选：C． 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键． 根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：C． 3. 如图，上有三点A，B，C，连接，已知，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 4. 对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 与x轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数解析式的性质是解题的关键． 直接利用二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．二次函数的图像，开口向上，故此选项错误，不符合题意； B． 顶点坐标是，故此选项正确，符合题意； C． 对称轴是直线，故此选项错误，不符合题意； D． 二次函数的图象与x轴没有交点，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值不可能是（ ） A. 6 B. 3 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意可得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴m的值不可能是， 故选：A． 6. 四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴关于对称轴的对称点为， 当时，随的增大而减小， ， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①由勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质即可判定①；②如图：连接，然后说明，即可判定②；③先证明四边形是矩形，然后求得为定值，即可判定③；④设，则，，则，再运用二次函数的性质求得x的取值范围即可判定④． 【详解】解：①如图： ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且相似比为，即①正确； ②如图：连接， ∵，点H是线段的中点， ∴， ∴点D，E，C，F在同一个圆的圆周上，即②正确； ③由②可得：， ∴点H在的垂直平分线上， 如图：过点H分别作，，垂足分别是M、N， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴的面积不随线段长度的增大而增大，即③错误； ④由①可知，且相似比为， 设，则，， ∴， 当面积大于9，即， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 当时，解得：或， ∴的x的取值范围为：， ∴，即④正确； 综上，正确的有①②④共3个． 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知，求________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．将所求分式拆分为两个分式之和，并代入已知条件计算即可． 详解】解： ， ． 故答案 ：． 10. 甲、乙两人在相同条件下均进行10次射击．若甲射击成绩的平均数是8环，方差是1环；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.2环，则__________的成绩比较稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握方差的含义是解题的关键：方差是反映一组数据的波动大小的量，方差越大，则这组数据的离散程度越大，稳定性越差；反之，则这组数据的离散程度越小，稳定性越好． 比较两人的方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴甲的成绩比较稳定， 故答案为：甲． 11. 如图，一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分，若红色部分扇形的圆心角度数为，黄色部分扇形的圆心角度数为．转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 求出蓝色区域占整个圆的几分之几即可． 【详解】解：蓝色区域所在的圆心角度数为：， ∴蓝色区域所占整个圆的，即转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是． 故答案为：． 12. 圆锥的底面半径是4，母线长是6，则这个圆锥的侧面积为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积的计算方法是解题的关键． 根据圆锥的底面求出底面圆的周长，从而得到圆锥侧面展开图形的弧长，然后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是4， ∴圆锥的底面圆的周长为：， 即圆锥侧面展开图形的弧长为， 又∵母线长是6， ∴圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 13. 已知点在线段上，且．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解一元二次方程，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 设，则，根据，则，化简整理得，再解这个一元二次方程即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴或(不符合题意，舍去)， 故答案为：． 14. 如图1是苏州园林中的拱门，可抽象为如图2所示的图形．已知长度为，拱门的最高点C到直线的距离为，则拱门所在圆的半径为__________． 【答案】1.3 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由垂径定理可得，设拱门所在圆的半径为，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 由题意可得：， ∴， 设拱门所在圆的半径为，则， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 15. 对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数有且只有一个“三倍数”，则c的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，新定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与方程的关系解答． 先设二次函数的三倍点为，然后即可得到方程，再根据二次函数有且只有一个“三倍数”，可知方程有两个相等的实数根，从而可以求得的值． 【详解】解：设二次函数的三倍点为， 则， ， ， ∵二次函数有且只有一个“三倍数”， ， 解得：， 故答案为：2． 16. 如图，中，C，E分别是边，上的点，连接，，交点为D．若，，，则线段的长为__________． 【答案】7.5## 【解析】 【分析】过点作于，于点，过点作于点，过点作于点，可证得是等边三角形，于是可得，，，再根据勾股定理求出，在中，求出，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、，在中，求出、，在中，设，则，在中，得出，表示出，列方程即可求出，进而求出、，然后证明，根据相似三角形的性质即可求出，再证明，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，于点，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ，， ∴，， 在中，，，， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，设， 则， 在中，， ， ， 解得：， ， ， 在和中， ， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点并正确做出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数，解答本题的关键是记熟一些特殊角的三角函数值； 熟记特殊角的锐角三角函数值，把这些函数值代入所求的代数式即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 19. 如图，的顶点坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，将按相似比2：1放大，得到． （1）在图中画出（不要求写出画法）； （2）的面积为__________． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】此题考查了画位似图形，利用网格求三角形的面积，熟练掌握位似图形的画法是解题的关键： （1）根据位似图形的性质画出图形； （2）利用割补法求出面积． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：， 故答案为6． 20. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对20名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．10小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． （1）条形统计图中错误的是__________选项的人数，正确的应该是__________人； （2）这20名同学每天睡眠时间的众数是__________小时； （3）请计算这20名同学每天的平均睡眠时间． 【答案】（1）D，2 （2）8 （3）这20名同学每人每天的睡眠时间约是8.3小时 【解析】 【分析】本题考查了扇形与条形统计图，众数和平均数，正确掌握相关性质内容是解题关键． （1）根据扇形统计图和总人数求出各选项人数，即可求解； （2）根据众数的概念求解即可； （3）根据平均数的计算方法求解即可． 【小问1详解】 A选项人数为（人），B选项人数为（人），C选项人数为（人），D选项人数为（人）， ∴条形统计图中错误的是D选项的人数，正确的应该是2人； 【小问2详解】 由条形统计图可得，B选项的人数最多 ∴这20名同学每天睡眠时间的众数是8小时； 【小问3详解】 （小时） ∴这20名同学每人每天的睡眠时间约是8.3小时． 21. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 【答案】20％ 【解析】 【分析】如果设平均每月增长的百分率是x，那么10月份的利润是2500（1+x）元，11月份的利润是2500（1+x）2元，而此时利润是3600元，根据11月份的利润不变，列出方程． 【详解】设平均每月增长的百分率是x， 依题意，得2500（1+x）2=3600， 解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 所以平均每月增长的百分率应该是20%． 22. 一个不透明的袋子里装有三个分别标注字母A，B，C的小球，它们的大小、质地完全相同，先从袋子里随机摸出一个小球，然后将其放回袋子，搅匀后再从袋子中随机摸出一个小球． （1）第一次摸到小球A的概率为__________； （2）求两次摸到的是同一个小球的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图成为解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画树状图确定所有等可能结果数以及两次摸到的是同一个小球的结果数，再运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：第一次摸到小球A的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图：画出树状图如下： 由上图知，共有9种等可能的结果，其中两次恰好摸到同一个小球的情况有3种， 则P（两次摸到同一个小球）； 答：两次摸到同一个小球的概率为． 23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽时，水面距桥孔顶部．因降暴雨水位上升了到达位置．建立平面直角坐标系，如图1所示． （1）求此时水面的宽度（结果保留根号）； （2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为，宽为（横断面如图2所示）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 【答案】（1）此时水面宽度为米 （2）暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过，理由见解析 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）由题意设抛物线型拱桥的解析式为：，由题意可知此抛物线过点，，由此即可求出抛物线的解析式，把代入所得解析式，解此对应的x的值，即可求得此时水面的宽； （2）由题意在（1）中所得的解析式中，求出当时对应的y的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设函数解析式为，，， 把点B坐标代入得：， 解得：，即； 当时，，解得：， 故此时水面宽度为米． 【小问2详解】 解：当时，． ， 暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过． 24. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 25. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F． （1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离； （2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点． 【答案】（1）3．24． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证△ACB∽△ADE，得出，代入求出DE=6，AE=10，过O作OQ⊥EF于Q，证△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可． （2）连接EG，求出EG⊥CD，求出CF=ED，根据等腰三角形三线合一的性质求出即可． 【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3， ∴由勾股定理得：AC=4． ∵AB=5，BD=3， ∴AD=8． ∵∠ACB=90°，DE⊥AD， ∴∠ACB=∠ADE． ∵∠A=∠A， ∴△ACB∽△ADE． ∴， 即．∴DE=6，AE=10． ∴⊙O的半径为3． 过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO=∠ADE=90°， ∵∠QEO=∠AED， ∴△EQO∽△EDA． ∴，即． ∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF的距离是2.4． （2）证明：连接EG， ∵AE=10，AC=4， ∴CE=6． ∴CE=DE=6． ∵DE为直径， ∴∠EGD=90°． ∴EG⊥CD． ∴点G为CD的中点． 26. 二次函数的图象如图所示，将它绕顶点旋转后，再沿直线向右上方平移（顶点在直线上），得到二次函数的图象．设二次函数的图象与x轴交于点B，C，顶点A的横坐标为． （1）顶点A的纵坐标为__________（用含n的代数式表示）； （2）若，求线段的长； （3）若的长为4，求n的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、解直角三角形等知识点，掌握把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题成为解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解即可； （2）如图：A点作轴于H点，连接，利用正切的定义得到，即，则求出n得到A点坐标，然后利用勾股定理计算出的长即可； （3）先把二次函数函数的解析式可设为，再解方程得到，所以，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵点A在直线上，而顶点A的横坐标为n， ∴顶点A的纵坐标为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图：A点作轴于H点，连接， ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴，解得：， 经检验为原方程的解， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：二次函数图象绕顶点旋转后所得抛物线解析式为， 而二次函数的图象顶点， ∴二次函数函数的解析式可设为， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴，解得， 经检验为原方程的解，即n的值为9． 27. （1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）①，证明见解析；②，证明见解析 （2）11 【解析】 【分析】（1）①利用翻折的性质得：，，点A、D都在线段的垂直平分线上，即可得出结论； ②延长交于H，设，则，可求得，所以．再证明，得即可； （2）过点作交于点，交延长线于点，连接交于点，通过证明得到，，得到的长，再利用全等三角形判定得到，得出，最后利用面积公式，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）①，证明如下： 由翻折的性质得：，， 点A、D都在线段的垂直平分线上， ； ②，证明如下： 延长交于H，如图， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）如图，过点作交于点，交延长线于点，连接交于点， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 将绕着点E顺时针旋转得到， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积为11． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形应用三角函数，利用相似三角形的性质和勾股定理求线段长度是解题的关键，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $