精品解析：河南省洛阳市西工区2024-2025学年上学期质量检测九年级数学试卷

西工区2024-2025学年第一学期质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷包含I、II两卷．第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为亿元．若把增长率记作．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线化为顶点式为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是( ) A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B. 点火后24 s火箭落于地面 C. 点火后10 s的升空高度为139 m D. 火箭升空的最大高度为145 m 10. 将等腰直角和矩形按如图所示的方式组合放置，，，，现将组合图形绕点O逆时针旋转．则点E旋转后的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 13. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 14. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作正方形．当正方形的面积为18时，点A的坐标为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 18. 如图，E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转得到． （1）请用尺规作图作出旋转后的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，，求正方形的面积． 19. 如图，抛物线与直线交于，两点，抛物线与轴的另一个交点为A． （1） ， ， ． （2）关于的不等式的解集为 ． （3）求的面积． 20. 某水果商店销售一种进价为每千克40元的优质水果，若售价为每千克50元，则一个月可售出500千克；若售价在每千克50元的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）填空：当售价为每千克55元时，每月销售水果_____千克； （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？ （3）获得的月利润能否达到10000元？请说明理由． 21. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 22. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为________； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 23. 综合与实践． 观察猜想： （1）如图①，在和中，，，，点D在线段上，连接，则和的数量关系是 ，和的关系是 ． 探索证明： （2）如图②，将绕点A顺时针旋转，点D落在线段上，其他条件不变，此时的度数是 ，探究线段，，的关系，写出探究过程． （3）如图③，是等腰直角三角形，，点为外一点，且，连接．若，，则的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西工区2024-2025学年第一学期质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷包含I、II两卷．第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答． 【详解】解：是中心对称图形，但不是轴对称图形 故选：B 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 已知关于的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，正确确定的值是解题关键．首先将代入方程，进而解得，即原方程为，解该方程即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得，解得， 所以，原方程为， 解得， 所以，该方程的另一个根为． 故选：D． 5. 今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为亿元．若把增长率记作．则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：C． 6. 将抛物线化为顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，利用完全平方公式进行配方，利用配方法，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 7. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 8. 如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象，根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】A、根据图象可知，a＞0，又b＞0，∴＜0，而这与图象矛盾； B、根据图象可知，a＜0，又b＞0，∴＞0，而这与图象矛盾； C、∵c＞0，∴与y轴相交于正半轴，这与图象矛盾； D、根据图象可知，c＞0，a＜0，又b＞0，所以＞0，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数间的关系，解答此题，要将题干和各选项结合起来，根据二次函数的性质推出矛盾，舍去错误结论，选出正确答案． 9. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是( ) A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B. 点火后24 s火箭落于地面 C. 点火后10 s的升空高度为139 m D. 火箭升空的最大高度为145 m 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项． 【详解】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误； B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误； C、当t=10时h=141m，此选项错误； D、由h=－t2+24t+1=－（t－12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 10. 将等腰直角和矩形按如图所示的方式组合放置，，，，现将组合图形绕点O逆时针旋转．则点E旋转后的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，先求出点坐标，连接，作出旋转后的线段，过点作轴，证明，进而求出的坐标即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，四边形为矩形，，， ∴轴，， ∴， 连接，设旋转后点的对应点为，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点 关于原点的对称点 的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 13. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 14. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作正方形．当正方形的面积为18时，点A的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，根据正方形的面积可以用对角线乘积的一半进行求解，得到，进而得到点的纵坐标为6，代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵以为对角线作正方形，且正方形的面积为18， ∴， ∴， ∵轴于点C， ∴， ∵点A在抛物线上运动， ∴当时，解得：， ∴点A的坐标为或； 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， ∴，， 解得：，． 17. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 18. 如图，E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转得到． （1）请用尺规作图作出旋转后的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，，求正方形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）16 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）延长，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线与点，连接，即为所求； （2）根据旋转的性质，得到为等腰直角三角形，进而求出的长，勾股定理求出，即可． 【小问1详解】 ∵把绕点A顺时针旋转得到， 则：， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴即为所求； 【小问2详解】 ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴正方形的面积为16． 19. 如图，抛物线与直线交于，两点，抛物线与轴的另一个交点为A． （1） ， ， ． （2）关于的不等式的解集为 ． （3）求的面积． 【答案】（1）4，，1 （2）或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：把解不等式转化为用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．也考查了抛物线与x轴的交点问题． （1）利用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，从而得到b、c、k的值； （2）结合函数图象，写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围即可； （3）先解方程得，然后根据三角形面积公式计算． 【小问1详解】 解：把，分别代入 得， 解得， 把，分别代入 得， 解得， 故答案为：4，，1； 【小问2详解】 解：∵抛物线与直线相交于点，， 根据函数图象可得：关于x的不等式的解集为或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴的面积． 20. 某水果商店销售一种进价为每千克40元的优质水果，若售价为每千克50元，则一个月可售出500千克；若售价在每千克50元的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）填空：当售价为每千克55元时，每月销售水果_____千克； （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？ （3）获得的月利润能否达到10000元？请说明理由． 【答案】（1）450 （2）65元或75元 （3） 不能，理由如下： 解：设每千克水果售价为元， 由题意可得：， 整理得， ∴， ∴原方程无解， 答：获得的月利润不能达到10000元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系． （1）由月销售量（销售单价，可求解； （2）设每千克水果售价为元，由利润每千克的利润销售的数量，可列方程，即可求解； （3）设每千克水果售价为元，由利润每千克的利润销售的数量，可列方程，根据方程根的情况即可求解． 【小问1详解】 解：当售价为55元千克时，每月销售水果千克， 故答案为：450； 【小问2详解】 解：设每千克水果售价为元， 由题意可得：， 解得：，， 答：当月利润为8750元时，每千克水果售价为65元或75元； 【小问3详解】 略 21. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】（1），， （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【解析】 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【小问1详解】 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为________； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】（1）8 （2） （3）函数纵横值 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）点的“纵横值”为，即可求解； （2）由题意得，解得，，进而得，即可求解； （3）由题意得，解得，，进而得，即可求解． 【小问1详解】 解：点的“纵横值”为， 故答案为：8； 【小问2详解】 二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 最优纵横值为5， ， 解得； 【小问3详解】 二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 当时可知， 当时，， 当时，， 函数纵横值． 23. 综合与实践． 观察猜想： （1）如图①，在和中，，，，点D在线段上，连接，则和的数量关系是 ，和的关系是 ． 探索证明： （2）如图②，将绕点A顺时针旋转，点D落在线段上，其他条件不变，此时的度数是 ，探究线段，，的关系，写出探究过程． （3）如图③，是等腰直角三角形，，点为外一点，且，连接．若，，则的长为 ． 【答案】（1）； （2）；；理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）6 【解析】 【分析】（1）由可证，可得； （2）根据证明，得，由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理可求，即可求解； （3）过点作，且，连接，由等腰直角三角形的性质可得，由可证，可得，由勾股定理可求得，进而可求出的长． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：；； （2） 略 （3）解：如图③，过点A作，且，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $