2025年中考数学一轮复习专题：多边形的性质

多边形的性质 考情透析 考情透析 中考考点 考查频率 新课标要求 多边形的概念及性质 ★ 了解多边形的相关概念，并能准确作出判断. 多边形内角和与 外角和的相关计算 ★★★ 1、理解多边形内角和公式的推导过程； 2、掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用公式进行计算. 多边形性质的实际应用 ★★ 通过猜想一转化一类比一归纳，经历探索多边形内角和公式的过程，体会转化和类比的数学思想方法. 多边形的性质是中考数学中的必拿分考点，虽然这个考点中所含概念较多，像多边形内角和、多边形的外角和、多边形的对角线、正多边形、平面镶嵌等概念，以及与平行线、圆、三角形结合等，都需要理解其定义与意义，年年都会考查，但是这个考点整体的难度并不大，计算方式也比较固定，是广大考生的得分点，所以只要记住各个知识点的定义与计算方法，都能很好的拿到相应的分值. 关键知识 一、多边形的相关概念 1.多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  3.多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为 ； 4.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 5.正n边形有n条对称轴． 6.对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 二、多边形内角和与外角和 1.多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. 2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. 3）利用多边形内角和定理可解决三类问题： ①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 2.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 3.正n边形的每个内角为，每一个外角为． 多边形的概念及分类 （2024·内蒙古自治州赤峰市·中考真题）如图是正边形纸片的一部分，其中，是正边形两条边的一部分，若，所在的直线相交形成的锐角为，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 1.在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（　　） A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 【答案】C 【详解】解：由正多边形的性质知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形， 所以正六边形既是轴对称又是中心对称的图形， 故选：C． 2.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ） A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2 【答案】D 【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误； C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D． 计算网格中不规则多边形面积 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是_______． （2）已知：一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． （3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形． 【答案】（1）21；（2）32；（3）见解析 【详解】解：（1）由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． （3）答案不唯一，只要符合题意要求即可． 例如： 1.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 2.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”）， 【答案】= 【详解】解：∵， ， ∴， 故答案为：=． 3.各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ． 【答案】6 【详解】由图可知：五边形内部格点有4个，故 五边形边上格点有6个，故 ∴＝ 故答案为：6． 计算多边形对角线条数 一个正多边形的每个外角为，则这个正多边形的对角线共有 条． 【答案】20 【详解】解：这个正多边形的边数：， 则对角线的条数是：． 故答案是：20． 1.已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（   ） A．10 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形为八边形， ∴这个多边形可连对角线的条数是， 故选C． 2.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】A 【详解】解：设这个多边形为边形，则， ， 解得：， 所以从这个多边形的一个顶点出发共有条对角线， 故选A． 3.如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，……，依此规律，从n边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（     ） A．n B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵从一个四边形的同一个顶点出发可以引出条对角线； 从五边形的同一个顶点出发，可以引出条对角线， 从六边形的同一个顶点出发，可以引出条对角线， ∴从n边型的同一个顶点出发，可以引条对角线， 故选：C． 4.一个正多边形的中心角是，则过它的一个顶点有 条对角线． 【答案】2 【详解】解：设正多边形的边数为且正多边形的中心角是， ， ， 过边形的一个顶点有条对角线，即条， 故答案为：． 多边形内角和问题 （2024·山东省日照·中考真题）一个多边形的内角和等于，这个多边形是____边形． 【答案】八  【解析】解：设所求多边形边数为， 则，解得． 故答案为：八． 多边形的内角和可以表示成，依此列方程可求解． 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 1.如图，，，，，相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 故选A． 2.下列多边形中，内角和最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°； B、是一个四边形，其内角和为360°； C、是一个五边形，其内角和为540°； D、是一个六边形，其内角和为720°； ∴内角和最大的是六边形； 故选D． 3.如图，四边形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，则∠D的度数为（    ） A．125° B．130° C．135° D．140° 【答案】B 【详解】∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，，， 在四边形ABCD中， 故选：B． 4.如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O ∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，， ∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540° ∴∠ODC＋∠OCD=72° ∵∠AOB=∠COD ∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72° 故选B． 5.如图，正方形的边在正五边形的边上，则 ． 【答案】18 【详解】解：∵四边形是正方形，五边形是正五边形， ∴， ∴； 故答案为18． 多边形的割角问题 如图，一张内角和为的多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的边数为 ． 【答案】13 【详解】解：设原多边形是n边形，由多边形内角和公式得： （n-2）180°=1800°， 解得n=12， 新多边形是12+1=13， 故答案为：13 1.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ． 【答案】9或10或11 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为9或10或11． 2.如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ． 【答案】180°或360°或540° 详解: n边形的内角和是（n-2）•180°， 边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°． 故答案为540°或360°或180°. 多边形的外角问题 （2024·重庆·中考真题）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为______． 【答案】  【解析】解：， 这个多边形的边数为， 故答案为：． 根据外角和为，得出多边形的边数． 本题考查了多边形的外角和定理，理解外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题的关键． 1.若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【详解】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6． 故选：D． 2.如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ） A．100米 B．80米 C．60米 D．40米 【答案】B 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转， ∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8， ∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米． 故选：B． 3.正十边形的外角和为（   ） A．180° B．360° C．720° D．1440° 【答案】B 【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360°， 所以正十边形的外角和等于360°，． 故选B． 多边形内角和、外角和与平行线的综合运用 （2024·湖北省武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形；画；以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；连接，，若，则的大小是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由可知四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 故选：． 1.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°， ∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°， ∴∠ABD=101°-60°=41° ∵光线是平行的， ∴=∠ABD=， 故选A 2.如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（　　） A．149° B．149.5° C．150° D．150.5° 【答案】B 【详解】如图，过点E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GE， ∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°； 又∵∠BED=61°， ∴∠ABE+∠CDE=299°． ∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F， ∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°， ∵四边形的BFDE的内角和为360°， ∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°． 故选B． 3.如图，五边形中， ，、、是外角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4.如图，一束太阳光平行照射在正n边形上，若，则 ．    【答案】6 【详解】解：过作，    则， ∵ ∴ 设正多边形的内角为x，则 ∴ ∴ ∵，解得 ∴ ∴这个正多边形的边数为 故答案为：6． 多边形内角和与外角和的综合应用 定义：由n条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做n边形．相邻两边组成的角叫做它的内角，一边和它邻边的延长线组成的角叫做它的外角．为了探究n边形的外角和与内角和的度数，小华做了以下实验：取若干张纸片，分别在纸片上画出三角形、四边形、五边形等，顺次延长各边得到各个外角，然后沿着多边形的边和延长线将它剪开，将外角拼在一起，观察图形，并进行推理． （1）实验操作．    （2）归纳猜想． 多边形 三角形 四边形 五边形 n边形 外角和 ___________ ___________ ___________ ___________ 内角和 ___________ ___________ ___________ ___________ （3）理解应用． 一个多边形的内角和是外角和的1008倍，它是多少边形？ 【答案】（2）见解析；（3）这个多边形是二零一八边形 【详解】（2）解：由实验操作可知， 多边形 三角形 四边形 五边形 n边形 外角和 内角和 （3）设这个多边形的边数为n． 由题意， 解得 答：这个多边形是二零一八边形． 1.如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正六边形的内角为：，内角的补角为：60°； 正五边形的内角为：，内角的补角为：72°； ∴ 故选：B 2.如图，五边形ABCDE是正五边形，，若，则（    ） A．60° B．56° C．52° D．40° 【答案】B 【详解】解：延长DE，FA交于点H，如图， 五边形ABCDE是正五边形， 故选：B． 3.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（    ） A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1 【答案】D 【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°， ∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1， 故选D． 4.等边三角形、正方形及正五边形各一个，按下图放在同一平面内，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正三角形的每个内角为， 正五边形的每个内角， 正方形的每一个内角为， ∴ ， 故选：A． 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$