2025年中考数学一轮复习专题：尺规作图与定义、命题、定理

尺规作图与定义、命题、定理 　 考情透析 考情透析 中考考点 考查频率 新课标要求 尺规作图 ★★ 能用尺规作图: 1.作一个角等于已知角；作一个角的平分线. 2.作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线. 3.过直线外一点作这条直线的平行线. 4.已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形. 5.过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形. 6.过圆外一点作圆的切线. 定义、命题、定理 ★ 1.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 3.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程. 4.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. 5.通过实例体会反证法的含义. 本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点.中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力. 关键知识 一、作图题的一般步骤 （1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论． 其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹． 二、尺规作图的关键 （1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； （2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题． 三、根据已知条件作等腰三角形或直角三角形 求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角． 四、根据基本图形作三角形 （1）已知三角形的三边，求作三角形； （2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形； （3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形； （4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形； （5）已知直角三角形-直角边和斜边，求作直角三角形． 五、与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）； （2）作三角形的内切圆． 六、 证明的必要性 要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须一步一步地进行有根有据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的证据． 七、 证明的常用方法 实验验证法、举出反例、推理论证等． 作图—尺规作图的定义 （2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接若，则的长为      ． 【答案】  【解析】【分析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出，即可求解． 【详解】解由作图可知， ， ， 故答案为． 1.如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是　　 A． B． C．D． 【答案】 【解析】解：．由作法知， 是等腰三角形，故选项不符合题意； ．由作法知所作图形是线段的垂直平分线， 不能推出和是等腰三角形，故选项符合题意； 由作法知，所作图形是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项不符合题意； ．，， ， 由作法知是的平分线， ， ， 是等腰三角形，故选项不符合题意； 故选． 2.如图，在中，，．观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，平分， ， ，， ， ， 故选：． 3.如图，利用尺规，在的边上方作，在射线AE上截取，连接，并证明：（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 【解析】解：图象如图所示， ， ， ，，， ， ， ． 作图—基本作图 （2024·山东省德州·中考真题）如图，在中，以点为圆心，为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接，，，设与交于点， 由作图可知，， 四边形为菱形， ，，， 由勾股定理得，， ， 即，两点之间的距离为． 故选：． 连接，，，设与交于点，由作图可知，，即四边形为菱形，则可得，，则． 本题考查作图基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：由作图痕迹得，， 所以△， 所以． 故选：． 2.如图，已知，用尺规作图如下： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点 ②以点为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点 ③作射线 那么下列角的关系不正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】解：由作图可知：， 射线是的角平分线， 故、、正确， 故选：． 3.如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积为　　 A．30 B．15 C．20 D．50 【答案】 【解析】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为3， 所以的面积． 故选：． 4.如图，在中，，分别以点和为圆心，以相同的长（大于为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点，连接，下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【解析】解：为的垂直平分线， ，； ， ； ， ； ，， ， ． 故选：． 作图—复杂作图 （2024·山东省泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ； 垂直平分线段； ； ． 其中，正确结论的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】解：由作图可知垂直平分线段， ， ， 由作图可知平分， ， ， ，故正确， ， ， ， 垂直平分线段，故正确， ，， ，故正确， ， ， ， ，故正确． 故选：． 1.尺规作图：如图（1），在中，，，在边上求作一点，使．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【解析】解：①由作图不能得出，故①作法不正确； ②由作图得：，故②作法正确； ③由作图知再的垂直平分线上， ， ， 故③作法正确； ④由作图得：在以为直径的圆上， ， ，， 故④作法正确； 故选：． 2.小明同学在平行四边形中用尺规作图作等腰三角形，下列作图不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：．由作图痕迹得，则为等腰三角形，所以选项不符合题意； ．由作图痕迹得平分，则，由四边形为平行四边形得，则，所以，所以，则为等腰三角形，所以选项不符合题意； ．由作图痕迹得，只有当时，，为等腰三角形，所以选项符合题意； ．由作图痕迹得平分，，则，所以，则为等腰三角形，所以选项不符合题意． 故选：． 3.已知直线及直线外一点．如图， （1）在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点； （2）连接，以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点； （3）作直线，连接． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 【解析】解：． ， ，， ． ． 所以、、选项正确，选项错误． 故选：． 4.如图，在中，，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：选项中， ，， ， 由作图可知， 是等边三角形， ， ， ， 直线平分的面积． 选项中，由作图可知垂直平分线段， ， 中线平分的面积． 选项中， 由作图可知，， ， ， 是等边三角形， ， ， 直线平分的面积． 故选项，，不符合题意，故选：． 作图—应用与设计作图 （2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧如图的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通如图，已知和圆上一点作法如下： 以点为圆心，长为半径，作弧交于，两点； 延长交于点； 即点，，将的圆周三等分． 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中将的圆周三等分保留作图痕迹，不写作法； 根据画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______． 【答案】  【解析】解：如图，点，，即为所求． 设交于点． ， ，， ， ， ， ，， ， 的周长为． 故答案为：． 根据要求作出图形； 证明是等边三角形，解直角三角形求出即可． 本题考查作图应用与设计作图，切线的性质，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1.图1是一个正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： 游戏规则 ．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点； ．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点； ．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上； ．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜． 如图2，甲先画出线段，乙随后画出线段．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是　乙　（填“甲”，“乙”或“不确定” ． 【答案】乙． 【解析】解：如图2中，甲只能画2次线段，甲不能画线段了， 所以，乙一定能获胜． 故答案为：乙． 2.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画 出相应图形． （1）在网格①中画出中点，中点为． （2）在网格②中画出，使为钝角等腰三角形，点在格点上． （3）在网格③中画出以、、、为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形，且，点、点均在格点上． 【答案】（1）见解答； （2）见解答； （3）见解答． 【解析】解：如图： （1）如图①，点即为所求； （2）如图②，即为所求； （3）如图③，四边形即为所求． 3.图①，图②均是的正方形网格，点、、均在格点上，请在给定的网格中用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，作的中线； （2）在图②中，作的高线． 【答案】（1）（2）作图见解析部分． 【解析】解：（1）如图1中，线段即为所求； （2）如图2中，线段即为所求． 4.如图，海沧大桥是中国国内第一座系统地进行桥梁景观研究与设计的特大型桥梁．从总体线形、结构造型、景观色彩等多方面保证了大桥与自然环境的和谐，地平面（AB）是水平且笔直的，此时一个高1.6m的人（CD）站在C点望该桥的主塔BF，此时测得点D关于点F的俯角为35°，关于点E的俯角为75°，已知主塔AE＝BF＝114.3m，为该桥的主缆，与线段DF交于的中点G．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） （1）请在图中作出关于所对应圆心O（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作图过程）； （2）若关于所对应圆的半径为R，求的长（用含有π，R的代数式表示）； （3）利用已知信息，求海沧大桥两座主塔之间EF的距离（结果取整数）． 【答案】（1）见解答； （2）Rπ； （3）EF的距离约为192米． 【解析】解：（1）作图如下：点O即为所求； （2）∵OH、OG分别是GF、EF的中垂线， ∴，OH⊥GF，OE＝OF＝OG， ∵∠OGH+∠GOH＝∠OGH+∠GFE＝90°， ∴∠GOH＝35°，∠GOF＝70°，∠EOF＝140°， ∴＝； （3）延长CD，交EF于P， ∵∠PEA＝∠EAC＝∠ACP＝90°， ∴四边形ACPE是矩形， ∴CP＝AE＝114.3m， PD＝PC﹣CD＝114.3﹣1.6＝112.7（m）， ∠PDE＝90°﹣75°＝15°， ∠PDF＝90°﹣35°＝55°， ∴EF＝PD（tan15°+tan55°） ≈112.7×（0.27+1.43） ＝191.59 ≈192（米） 答：EF的距离约为192米． 作图—代数计算作图 （2024·山东省滨州·中考真题）如图，在边长为的正方形网格中，点，均在格点上． 的长为       ； 请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点，的位置是如何找到的不用证明：           ． 【答案】解：；  如图所示，四边形即为所求； 根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点。  【解析】解：由图可得， ， 故答案为：； 如图所示，四边形即为所求， 理由：根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点， 具体的计算过程：由图可知：∽， 则， 即， 解得， ， 这样找到点，同理可以找到点， 即图中即为所求， 故答案为：如图所示，四边形即为所求； 根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点． 根据题意和勾股定理，可以求得的长； 根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点，然后画出这个矩形即可． 本题考查作图复杂作图、勾股定理、矩形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 1.问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上　　； 思维拓展： （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为画出相应的，并求出它的面积； 探索创新： （3）若三边的长分别为、、，，且，试运用构图法求出这三角形的面积． 【解析】解：（1）； （2）如图： ； （3）解：构造所示， ． 2.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5； （3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，． 【解析】解：如图所示： 3.在如图所示的正方形网格中画出一个格点，使，．（画出一个三角形即可，不必写画图步骤，并在图上标出相应的字母． 【解析】解：画对即可，没标字母扣（2分）． 4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： （1）使三角形的三边长分别为3、、（在图（1）中画一个即可）； （2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图中画一个即可）． 【解析】解： 判断命题真假 （2024·全国·中考真题）下列说法正确的是(    ) A. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查 C. 一组数据，，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是 D. 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧天鹅湖，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐 【答案】D  【解析】解：、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意； B、调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意； C、一组数据，，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是，故本选项说法错误，不符合题意； D、在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧天鹅湖，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，说法正确，符合题意； 故选：． 根据随机事件、三角形内角和定理、全面调查与抽样调查、众数和中位数、方差的性质判断即可． 本题主要考查命题与定理，掌握随机事件、全面调查与抽样调查、众数和中位数、方差的性质是解题的关键． 1．下列个命题中，真命题是（    ） A．正五边形是中心对称图形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．同位角相等 D．函数中，随的增大而减小 【答案】B 【解析】解：、正五边形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意； 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意； 、函数中，在每个象限，随的增大而减小，故本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：． 2．命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么 “，逆命题是假命题， 故答案为：假． 3．下列命题中是假命题的是（    ） A．同位角相等 B．单项式的次数是3 C．两点之间线段最短 D．菱形的对角线互相垂直 【答案】A 【解析】因为同位角不一定相等，所以A是假命题，符合题意； 因为单项式的次数是，所以B是真命题，不符合题意； 因为两点之间线段最短，所以C是真命题，不符合题意； 因为菱形的对角线互相垂直，所以D是真命题，不符合题意． 故选：A． 4．下列命题是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．若三条直线，，则 C．相等的弧所对的弦相等 D．若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是 【答案】D 【解析】、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此选项说法错误，是假命题； 、若在同一平面内，三条直线，，则，此选项说法错误，是假命题； 、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此选项说法错误，是假命题； 、若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是，此选项说法正确，是真命题； 故选：． 写出命题的逆命题 （2024·江苏省宿迁·中考真题）命题“两直线平行同位角相等”的逆命题是________填“真命题”或“假命题” 【答案】同位角相等，两直线平行  【解析】解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等． 其逆命题为：同位角相等，两直线平行． 将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题． 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 1．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【解析】解：由题意可得， A选项逆命题为：在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意， B选项逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意， C选项逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意， D选项逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意， 故选D； 2．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相平分且相等 【答案】A 【解析】解：A、逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，故A符合题意； B、逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，是假命题，故B不符合题意； C、逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”，是假命题，故C不符合题意； D、逆命题为“对角线互相平分且相等的四边形是正方形”，是假命题，故D不符合题意； 故选：A． 3．命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题是 ． 【答案】如果，的绝对值相等，那么，互为相反数 【解析】∵逆命题：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题， ∴命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题为：如果，的绝对值相等，那么，互为相反数， 故答案为：如果，的绝对值相等，那么，互为相反数． 4．请写出命题“如果，那么”的逆命题是 ． 【答案】如果，那么 【解析】解：命题“如果|，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$