2025年九年级中考数学一轮复习专题讲义：图形的对称、平移与旋转

图形的对称、平移与旋转 　 考情透析 考情透析 中考考点 考查频率 新课标要求 轴对称 ★★ 1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分. 2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形. 3.理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质. 4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形. 平移 ★★ 1.通过具体实例认识平移，探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等. 2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用. 3.运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 旋转 ★★ 1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 2.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质:成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 该专题知识以考查平面几何的三大变换的基本运用为主，年年都有考查，分值在8-12分左右．在三种变换中，平移相对较为简单，多以选择题形式考查，偶尔也会考查作图题:对称和旋转则难度较大，通常作为选择、填空题的压轴题出现，在解答题中，也会考查对称和旋转的作图，以及与特殊几何图形结合的综合压轴题，此时常需要结合几何图形或问题类型去分类讨论. 关键知识 一、轴对称与轴对称图形 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． （4）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （5）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． （6）画对称轴的依据：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据． 二、线段的垂直平分线 （1）线段的垂直平分线是直线，而不是射线或线段． （2）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的一条对称轴． （3）利用线段垂直平分线的性质可以证明线段相等．运用此方法可省去证明三角形全等，使得过程更简捷． 三、中心对称与中心对称图形 （1）中心对称是指两个图形间的位置关系． （2）中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°． （3）成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在每个图形的外部，也可能在每个图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧与对称中心重合． 四、轴对称与中心对称的区别 轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分． 中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分． 五、平移 （1）连接对应点的线段的长度就是平移的距离． （2）从原图形上一点到其对应点的方向即为平移的方向． 生活中的旋转现象 将如图所示的图案按顺时针方向旋转后可以得到的图案是　　 A． B． C． D． 【解析】解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为图，故选． 1.如图是一个钟表，将其旋转180度，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：将钟表旋转后，如图所示， 钟表中的时间为， 故选：． 2.下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：、、中只能由旋转得到，不能由平移得到，只有可经过平移，又可经过旋转得到． 故选：． 旋转的性质 （2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设与相交于点，如图所示： 中，将绕点顺时针旋转得到， ， ， 在中，， ，故D选项正确； 设， ， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定成立，故B选项不正确； ，，不一定等于， 不一定成立，故A选项不正确； 将绕点顺时针旋转得到， ， ，故C选项不正确； 故选：． 先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出和选项是错误的． 本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1.如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：，， ， ， ， 是由绕点旋转得到的， 为旋转角， 旋转角的度数为． 故选：． 2.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：， ， ， 将绕点按逆时针方向旋转得到△， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 3.如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当点恰好落在边上时，连接，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：由题意知， 则，， ， 故选：． 4.如图，为正方形内一点，，将绕点逆时针旋转得到，则的长是　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】 【解析】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 故选：． 旋转对称图形 下列图形中，旋转后能与原图形重合的是　　 A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形 【解析】解：等边的中心角为， 旋转后即可和原来的正多边形重合． 故选：． 1.如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则的最小值为　　 A．45 B．60 C．72 D．144 【解析】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故选：． 2.下列图形绕某点旋转后，不能与原来的图形重合的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：、绕它的中心旋转才能与原图形重合，故本选项符合题意； 、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不合题意； 、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不合题意； 、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不合题意． 故选：． 3.如图，要使此图形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为　　 A． B． C． D． 【解析】解：正六边形被平分成六部分， 因而每部分被分成的圆心角是， 因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合． 则最小值为60度． 故选：． 坐标与图形变化-旋转 （2024·山东省济宁·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别是，，． 将向下平移个单位长度得画出平移后的图形，并直接写出点的坐标； 将绕点逆时针旋转得画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长． 【答案】解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 如图，即为所求． 点运动到点所经过的路径长为．  【解析】根据平移的性质作图，即可得出答案． 根据旋转的性质作图可得；利用弧长公式计算即可． 本题考查作图旋转变换、平移变换、轨迹，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、弧长公式是解答本题的关键． 1.在平面直角坐标系中，已知，现将点绕原点逆时针旋转得到，则的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：将点绕原点逆时针旋转得到， 即将点绕原点逆时针旋转得到△，如图， 所以，， 所以点的坐标是． 故选：． 2.在平面直角坐标系中，的两条直角边、分别在轴和轴上，，．把绕点顺时针旋转，得到．边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】解：把绕点顺时针旋转，得到，点是边上的一点， ， 的最小值的最小值， 作点关于直线的对称点，连接交于， 则的最小值， 过作轴于， ， ， ， ，， ，， ，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ， 故选：． 3.如图，等腰△ABC的顶点B在y轴上，顶点C在x轴上，已知B（0，2），A（﹣，2），AB＝BC，将△ABC绕点C顺时针旋转，每次旋转90°，若旋转后点A的对应点A′的坐标为，则旋转的次数可能是（　　） A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【解析】解：∵B（0，2），A（﹣，2）， ∴BC＝AB＝， ∴OC＝＝1， ∴C（1，0）， 点A第一次旋转得到的坐标为（3，+1）， 第二次旋转得到的坐标为（+2，﹣2）， 第三次旋转得到的坐标为（﹣1，﹣﹣1）， 第四次旋转得到的坐标为（﹣，2）， ••• 四次一个循环， ∵74÷4＝18•••2， ∴则第74次旋转结束时，点A′的坐标为， 故选：D． 4.如图，在中，，，点的坐标为，为边的中线，将绕点逆时针旋转，每次旋转，当第70次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：在中，， ， ， ． 8次应该循环，， 点在第四象限，，故选：． 中心对称 （2024·广东省广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题可知，、、不是中心对称图形，是中心对称图形图形． 故选：． 根据中心对称的性质解答即可． 本题考查的是中心对称，正方形的性质及全等三角形的性质，熟知把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点是解题的关键． 1.如图，已知点与点关于点对称，点与点也关于点对称，若，．则的长可能是　　 A．3 B．4 C．7 D．11 【答案】 【解析】解析：点与点关于点对称，点与点也关于点对称， ，， ， ， 故选：． 2.已知是的最长边，将沿的中点旋转后得到，如果四边形是正方形，则下列对描述正确的是　　 A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．是等腰直角三角形 【答案】 【解析】解：四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形． 故选：． 3.下列图形中，点是该图形的对称中心的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：由中心对称图形的定义，得到选项中的图形是中心对称图形，并且点是该图形的对称中心，故符合题意； 选项、、中的图形不是中心对称图形，故、、不符合题意． 故选：． 中心对称图形 （2024·山东省烟台·中考真题）如图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：若取走标有的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意． 故选：． 根据从左边看得到的图形是左视图和轴对称图象与中心对称图形的定义，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图以及轴对称图象与中心对称图形的定义，关键是从左边看得到的图形是左视图． 1.习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：选项、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：． 2.随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：、原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； 、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 、原图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：． 3.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．是中心对称图形，故此选项符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：． 4.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A．保健食品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品 【答案】 【解析】解：．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； ．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； ．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； ．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：． 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 【答案】 【解析】解：点与点关于原点成中心对称， ，， 则的值为：．故选：． 1.已知在平面直角坐标系中，点 关于坐标原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：点关于坐标原点对称的点位于第一象限， 点在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数， ， 解得：． 故选：． 2.点关于原点的对称点是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：点关于原点的对称点是． 故选：． 3.在直角坐标系中，点的坐标为，那么点关于原点对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：点的坐标为， 点关于原点对称的点的坐标是． 故选：． 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$