精品解析：河南省信阳市淮滨县城关中学(淮滨一中,实验中学,思源中学)联考2024—2025学年上学期元月月考八年级数学 试题

河南省信阳市淮滨县城关中学（淮滨一中，实验中学，思源中学）联考 2025年元月月考试题 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 2024年12月4日，我国最隆重最富有特色的传统节日之一的“春节”申遗成功，“春节”被纳入联合国教科文组织非物质文化遗产名录和项目．过春节贴窗花是我国古老的习俗．窗花吉事祥物、美好愿望表现得淋漓尽致，将节日装点得红火富丽、喜气洋洋．下列窗花图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是（ ） A. 对顶角相等 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两点之间线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握运算性质和运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 5. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 6. 将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形. 【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形. 故选A． 【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键． 7. 如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰．则满足条件的点P可求． 【详解】由题意可知：以AP、AB为腰的三角形有1个； 以AP、BP为腰的三角形有2个； 以BP、AB为腰的三角形有3个． 所以，这样的点P共有7个. 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键． 8. 如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ） A. 21 B. 7 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=14， 解得AD=7， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴CM+MD的最小值为7． 故答案为B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的三线合一是解答此题的关键． 9. 若关于 x 的方程无解，则M的值为（ ） A. B. 4 C. D. 以上都对 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为0，据此进行解答．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解： ， ， 当，即，方程无解， 当时，即， 把代入得：， 解得：； 把代入得：， 解得：， 综上，M的值为或4或， 故选：D． 10. 简单的规则可以涌现出丰富的代数结构．对单项式x进行如下操作：规定，计算，，称为第一次操作：计算，，，称为第二次操作；以此类推：①；②；③当，； ④对任意正整数，等式总成立．以上说法正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据题中公式求出，再作判断； ②根据的值找到规律，再进行判断； ③把代入，找到规律，再进行计算； ④根据的规律，进行计算判断． 【详解】解：①，， 故①是错误的； ②是，， ，， ∴四个为一个循环出现， ∴， ∴，， ∴②是正确的； ③当时，是，，-，，四个为一个循环出现， ， ， 故③是正确的； ④∵， ， ∴， 故④是正确的， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律和掌握分式的运算是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和50 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是________． 【答案】10cm<x<90cm 【解析】 【分析】已知三角形的两边长分别为40cm和50cm，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围． 【详解】由三角形三边关系定理得：50−40<x<40+50，即10cm<x<90cm.故答案为10cm<x<90cm. 【点睛】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系. 12. 如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF， EH=FH，不用度量就通过证全等三角形知道∠DEH＝∠DFH，试问小明判定这两个全等三角形的方法是__________（用字母表示）． 【答案】SSS 【解析】 【分析】根据题目中的条件DE=DF，EH=FH，再加上公共边DH=DH，可利用SSS证明△DEH≌△DFH，再根据全等三角形的性质可得∠DEH=∠DFH． 【详解】解：证明：∵在△DEH和△DFH中， ， ∴△DEH≌△DFH（SSS）， ∴∠DEH=∠DFH． 故答案为：SSS． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定三角形全等的方法，SSS、ASA、AAS、SAS． 13. 若是完全平方式，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式得出即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点的坐标是，则经过第次变换后，点的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【详解】解： 点第一次关于轴对称后在第三象限， 点第二次关于轴对称后在第四象限， 点第三次关于轴对称后在第一象限， 点第次关于轴对称后在第二象限， 即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第三次变换的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，按此操作进行下去，那么第个三角形的内角_____（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，先根据等腰三角形的性质求出， 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 ，及的度数，找出规律即可得出. 的度数，根据题意得出，及的度数，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，是的外角， ∴， 同理可得，，，， ∴ 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先进行算术平方根，化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂运算，然后合并即可； （）先由平方差公式，完全平方公式进行运算，然后去括号，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． （1）的面积是________； （2）已知与关于轴对称，与关于轴对称，请在坐标系中画出和； （3）在轴有一点，使得的值最大，请画出点的位置（保留画图的痕迹）． 【答案】（1）4 （2） 如图，和即为所求． （3） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、三角形的三边关系、坐标与图形，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）利用一个正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得； （2）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得；先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （3）根据三角形的三边关系可得，当且仅当点共线，且点在点的中间时，等号成立，则延长，与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：的面积是， 故答案为：4． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 先化简，再求值：，再从0、1、2三个数中，选择一个你认为合适的数作为x值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】先去括号，再算分式的乘除法化简式子，再根据x≠0和4和2，故x取1，代入求值即可． 【详解】解：原式＝[]， ＝[]， ＝， ＝， ∵x≠0，x﹣4≠0，x﹣2≠0， ∴x≠0和4和2， ∴x取1， ∴原式＝＝1． 【点睛】本题考查了分式的化简运算问题，掌握分式的运算法则、分式有意义的条件是解题的关键． 19. 在学习完《全等三角形》章节后，某数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸A、B两点间的距离，方案如下： 课题 测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺、纸、笔等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在同一直线上，且；②测得，；③在的延长线上取点E，使得；④测得DE的长度为米 （1）AB两点间的距离是________米． （2）请你根据以上方案说明该方案是否合理，并说明理由． （3）请你写出求解A、B两点间距离的过程． 【答案】（1）30 （2）合理， ∵，且， ∴， ∵ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴米， 答：A、B两点间的距离为30米． （3）， ∵，且， ∴， ∵ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴米， 答：A、B两点间的距离为30米． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明得出，即可推出结果； （2）方法同（1）； （3）方法以同（1）． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∵ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴米， 答：A、B两点间的距离为30米． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．某学校准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求A，B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A，B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 【答案】（1）A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元 （2）最多可以购买B种垃圾桶13组 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为元，利用数量总价单价，结合用18000元购买A种垃圾桶的组数量用13500元购买种垃圾桶的组数量，列出分式方程并解之，经检验后即可得出结论； （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶组，利用总价单价数量，结合总价不超过8000元，列出一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可． 【小问1详解】 解：设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为元，依题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴ 答；A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元． 【小问2详解】 解：设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶组， 依题意得：， 解得， 又∵y为正整数， ∴y的最大整数值是13， 答：最多可以购买B种垃圾桶13组． 21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律 （1）图1是2023年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：　　　　，　　　　，不难发现，结果都等于　　　　．（请完成填空） （2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数　　　　． 【答案】（1）；； （2） 设“Z”字型框架中位置C上的数为，则A，B，D，E四个数依次为， 由题意得， ； （3） 【解析】 【分析】（1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果； （2）“Z”字型框架中位置C上的数为，则A，B，D，E四个数依次为，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可证明； （3）中间位置上的数为a，则最小的数为，最大的数为，根据题意列出关系式，即可求解． 【小问1详解】 ， ， B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减结果都等于， 故答案为：；； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 中间位置上的数为a，则最小的数为，最大的数为， 由题意得， ， ， 或（负值舍去）， ∴， 故答案为：11． 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1， （1）分别在射线上截取（点不重合）； （2）分别作线段的垂直平分线，交点为，垂足分别为点；  （3）作射线，射线即为的平分线． 简述理由如下： 由作图知，； 所以， 则，即射线是平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， （1）分别在射线上截取（点不重合）； （2）连接，交点为； （3）作射线，射线即为的平分线． … 任务： （1）小明得出的依据是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． （2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由． （3）如图3，已知，点分别在射线，上，且，点，分别为射线上的点，且，连接，交点为，当时，请直接写出的度数． 【答案】（1）⑤ （2） 解：射线是的平分线，理由如下： 在和中 ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 即， ∴射线是的平分线； （3）的度数为 【解析】 【分析】（1）由即可得出结论； （2）证，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （3）连接，由（2）可知，平分，则，再证，然后由三角形内角和定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴小明的依据是， 故答案为：⑤； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 由（2）可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整： 实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． （1）方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （2）方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （3）方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________． 实验结论：（4）对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：（5）将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤，其中，且），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）三； （5）方案三比方案二漂洗效果好， 证明：方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ， 当，时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 【解析】 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等．解题的关键是理解题意． （1）计算出方案一漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （2）计算出方案二漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （3）计算出方案三漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （4）比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （5）先用字母表示出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： （1）方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （2）方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （3）方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （4）， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； （5）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳市淮滨县城关中学（淮滨一中，实验中学，思源中学）联考 2025年元月月考试题 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 2024年12月4日，我国最隆重最富有特色的传统节日之一的“春节”申遗成功，“春节”被纳入联合国教科文组织非物质文化遗产名录和项目．过春节贴窗花是我国古老的习俗．窗花吉事祥物、美好愿望表现得淋漓尽致，将节日装点得红火富丽、喜气洋洋．下列窗花图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是（ ） A. 对顶角相等 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两点之间线段最短 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 8. 如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ） A. 21 B. 7 C. 4 D. 2 9. 若关于 x 的方程无解，则M的值为（ ） A. B. 4 C. D. 以上都对 10. 简单的规则可以涌现出丰富的代数结构．对单项式x进行如下操作：规定，计算，，称为第一次操作：计算，，，称为第二次操作；以此类推：①；②；③当，； ④对任意正整数，等式总成立．以上说法正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和50 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是________． 12. 如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF， EH=FH，不用度量就通过证全等三角形知道∠DEH＝∠DFH，试问小明判定这两个全等三角形的方法是__________（用字母表示）． 13. 若是完全平方式，则的值是__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点的坐标是，则经过第次变换后，点的对应点的坐标为________． 15. 如图，在中，，，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，在上取一点，延长到点，使得，按此操作进行下去，那么第个三角形的内角_____（用含的式子表示）． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． （1）的面积是________； （2）已知与关于轴对称，与关于轴对称，请在坐标系中画出和； （3）在轴有一点，使得的值最大，请画出点的位置（保留画图的痕迹）． 18. 先化简，再求值：，再从0、1、2三个数中，选择一个你认为合适的数作为x值代入求值． 19. 在学习完《全等三角形》章节后，某数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸A、B两点间的距离，方案如下： 课题 测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺、纸、笔等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在同一直线上，且；②测得，；③在的延长线上取点E，使得；④测得DE的长度为米 （1）AB两点间的距离是________米． （2）请你根据以上方案说明该方案是否合理，并说明理由． （3）请你写出求解A、B两点间距离的过程． 20. 为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．某学校准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求A，B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A，B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律 （1）图1是2023年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：　　　　，　　　　，不难发现，结果都等于　　　　．（请完成填空） （2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数　　　　． 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1， （1）分别在射线上截取（点不重合）； （2）分别作线段的垂直平分线，交点为，垂足分别为点；  （3）作射线，射线即为的平分线． 简述理由如下： 由作图知，； 所以， 则，即射线是平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， （1）分别在射线上截取（点不重合）； （2）连接，交点为； （3）作射线，射线即为的平分线． … 任务： （1）小明得出的依据是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． （2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由． （3）如图3，已知，点分别在射线，上，且，点，分别为射线上的点，且，连接，交点为，当时，请直接写出的度数． 23. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整： 实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． （1）方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （2）方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （3）方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________． 实验结论：（4）对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：（5）将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤，其中，且），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $