第五讲 因式分解 2024-2025学年浙教版七年级数学下册

第五讲 因式分解 知识梳理 多项式的因式分解是中学数学的一个重要知识，是代数恒等变形的基本形式之一。因式分解法方法活、技巧强、应用广。 1.因式分解的步骤及思路： (1)先看是否有公因式，若有公因式，则先提取公因式。 (2)观察项数，选择方法。一般地： 二项：考虑平方差公式或奇次幂的和、差公式； 三项：完全平方公式或十字相乘法或拆项、添项法； 四项或以上：分组分解法或立方公式或三项完全平方式。 (3)以上方法均感困难，则可考虑用换元法、双十字相乘法、待定系数法、求根法、轮换对称法等来因式分解。 2.因式分解应注意的事项： 要在要求范围内(实数、有理数)分解到不能再分解为止。 3.应掌握的常用公式： 补充几个重要公式： 当a+b+c=0时,有 在计算或证明中常用。 4.掌握常规的分组或添拆项的技巧，并结合常用公式进行因式分解。 【例1】已知a、b、c为三角形的三边，且( 则三角形的形状是 。 【变式训练1】已知 a、b、c 为△ABC 的三边长, ，且△ABC 为等腰三角形，求△ABC的周长。 【变式训练2】已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足 试判断三角形 ABC的形状。 【例2】若 可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 。 【变式训练3】已知 m、n是正整数，代数式 是一个完全平方式，则n 的最小值是 ，此时m的值是 。 【变式训练4】已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 m的值。 【例3】求方程 的整数解。 【变式训练5】求方程 的整数解。 【变式训练6】求不定方程 的整数解。 【变式训练 7】已知多项式 能分解为 则 q= 。 【变式训练8】因式分解； 【例5】若a 为正整数，则 是合数，求a的取值范围。 【变式训练9】已知 n是正整数，且 是质数，求n的值。 【变式训练10】已知n是正整数，.且 是质数,则n= 。 【例6】先阅读下面的解法，然后解答问题。 例：已知多项式 分解因式的结果中有一个因式是(3x+1)，求实数m。 解：设 K(K为整式), 令(3x+1)=0,则 得 这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题。 (1)若多项式 分解因式的结果中有一个因式为(x-2)，则实数m= ； (2)若多项式 分解因式的结果中有一个因式为(x+1)，求实数n的值； (3)若多项式 分解因式的结果中有因式(x+1)和(x-2)，求m、n的值。 【变式训练11】问题：已知多项式 含有因式 和 ,求m、n的值。 解答：设. (其中 A 为整式), ∴取x=1,得 ∴取x=2,得 由①、②解得m=-5,n=20。 根据以上阅读材料解决下列问题： (1)若多项式 含有因式(x-1)，求实数a的值； (2)若多项式 含有因式(x+y-2),求实数m、n的值; (3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数。请求出多项式 除以一次因式(x+1)的余数。 【变式训练12】先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题。 已知多项式 有一个因式是2x+1，求m的值。 解法一：设 则 比较系数得 解得 解法二：设 (A为整式), 由于上式为恒等式，为方便计算取 故 选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知多项式 有一个因式是x-3,m= ; (2)已知 有因式(x-1)和(x-2),求m、n的值; (3)已知 是多项式 的一个因式，求a、b的值，并将该多项式分解因式。 【例7】阅读下面内容并完成后面的练习： 因为 所以 因为 所以 因为 所以 因为 所以 因为 ,所以 =(x+a)(x+b)。 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解： 【变式训练13】阅读下列材料： 材料1：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足( 且 则可以把 因式分解成(x+m)(x+n)。 ①x²+4x+3=(x+1)(x+3);②x²-4x-12=(x-6)(x+2)。 材料2：因式分解： 解:将“x+y”看成一个整体,令x+y=A,则原式 再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把 分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式： ②分解因式：7 【变式训练14】观察下列各式。 ①4×1×2+1=(1+2)²;②4×2×3+1=(2+3)²;③4×3×4+1=(3+4)²… (1)根据你观察、归纳、发现的规律，写出 可以是哪个数的平方? (2)试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立； (3)利用前面的规律，将 因式分解。 【例8】在实数范围内分解因式： 【变式训练15】在实数范围内分解因式： 【变式训练16】在实数范围内分解因式： 【例9】设 求 的值。 【变式训练17】已知 求 的值。 【变式训练 18】已知 求 的值。 【例10】设n 是整数,请问( 能否被8整除? 若能，请加以证明；若不能，举出反例。 【变式训练 19】求证： 能被45 整除。 【变式训练 20】利用分解因式证明： 能被120整除。 答案 【例1】解: 即 ∴a-b=0,b-c=0,c-a=0, ∴a=b=c, ∴△ABC为等边三角形。 故答案为：等边三角形。 【变式训练1】解：` ∴a-2b=0,b=1, ∴a=2,b=1, ∵等腰△ABC, ∴c=2, ∴△ABC的周长为5。 【变式训练2】解： 原式可化为 即a=5,b=12,c=13(a,b,c都是正的),而 符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形。 【例2】解: 可以用完全平方式来分解因式，∴2(3-m)=±10,解得:m=-2或8。 故答案为：-2或8。 【变式训练3】解：∵代数式 是一个完全平方式，∴10+n是完全平方数， ∵m，n是正整数，且大于10 的最小完全平方数是16， ∴10+n=16, ∴n=6, 由完全平方式的性质可以得出：mx=8x， ∴m=8。 故答案为:6,8。 【变式训练4】解：∵ 两边平方并整理得， 解得m₁=6,m₂=18,所以m的值为6或18。 【例3】解:2 ∵求方程的整数解， 解得 无解； 无解 解得 无解 无解； 解得 无解； 解得 无解； 无解 解得 故方程 的整数解为 【变式训练5】解:∵2xy-x-y-3=0, ∴4xy-2x-2y-6=0 ∴4xy-2x-2y+1=7, ∴(2x-1)(2y-1)=7 ∵x,y为整数, ∴(2x-1)与(2y-1)也是整数, 而(2x-1)(2y-1)=7=1×7=7×1=-1×(-7)=-7×(-1),. 或 或 或 或 或 或 【变式训练 6】解： =(x-2y)(x-3y)-3x+5y-11 =[(x-2y)+1][(x-3y)-4]-7 =(x-2y+1)(x-3y-4)-7 =0, (x-2y+1)(x-3y-4)=7, 则 解得 解得 解得 解得 故不定方程 的整数解为 【例4】解：原式 故答案为：( 【变式训练7】解 ( ∴展开式乘积中不含x³、x² 项， 解得 故答案为:-2,7。 【变式训练8】解：原式 【例5】解: ∵a为正整数， 与a²+3-3a都是正整数, 是合数， 与a²+3-3a都是大于1的正整数， 且 且 ∴(a+1)(a+2)≠0且(a-1)(a-2)≠0, ∴a≠-1且a≠-2且a≠1且a≠2, ∴a的取值范围是大于2的正整数。 【变式训练9】解：∵ 而 为质数， 即| 解得n=3。 故答案为：3。 【变式训练10】解:n²+2n-24=(n+6)(n-4), ∵n为正整数， 是质数， ∴n-4=1,解得n=5。 故答案为：5。 【例6】解:(1)由题意得. K(K 为整式),令x-2=0,则x=2, 把x=2代入. ,得m=2, 故答案为：2； (2)设 A(A为整式), 若x ),则x+1=0或A=0,当x+1=0时,x=-1, 则x=-1是方程 的解， ,即-1+3-5+n=0,解得,n=3; (3)设 B为整式)，若： 则x+1=0,x-2=0,C=0, 当x+1=0时,即x=-1, ∴(-1)⁴+m·(-1)³+n·(-1)-14=0,即m+n=-13①,当x-2=0时,即x=2, ∴2⁴+m·2³+n·2-14=0,即4m+n=-1②, 联立①②解方程组得： 【变式训练11】解:(1)设 (其中M为整式)， ∴取x=1,得3+a-2=0,解得a=-1; (2)设 )(其中 N为整式),∴取x=0,y=2,得4n+4=0①, 取x=1,y=1,得2+m+n-4+2=0②, 由①②的m=1,n=-1; (3)设这个非负数为a，另一因式为Q， ∴可得到关系式为 将x=-1代入,得1+2+3-a=0,解得a=6。 故 除以一次因式(x+1)的余数为6。 【变式训练12】解：(1)由题设知：x²+ mx-15=(x-3)(x+n) 故m=n-3,-3n=-15,解得n=5,m=2, 故答案为：2； (2)设 A为整式) 分别令x=1和x=2得: 解得 ∴m=-5,n=20; (3)设 . 解得 ∴多项式 ∴a=-5,b=-3, 该多项式分解因式为： 【例7】解：由已知条件易得： x²+(a+b)x+ ab=(x+a)(x+b)。 故答案是： 【变式训练13】解:(1)x²-6x+8=(x-2)(x-4); (2)①令A=x-y, 则原式=A²+4A+3=(A+1)(A+3),所以(x-y)²+4(x-y)+3=(x-y+1)(x-y+3); ②令 则原式= 所以原式： 【变式训练 14】解：(1)根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1=(2016+2017)²=4033²。 (2)猜想第n个等式为4n(n+1)+1=(2n+1)²,理由如下: ∵左边 右边 ∴左边=右边， ∴4n(n+1)+1=(2n+1)²。 (3)利用前面的规律，可知 【例8】解: 【变式训练15】解： =(x-1)²-2 【变式训练16】解： 【例9】解:由 得： 所以，原式 -1 =2005。 【变式训练 17】解: 即 =25-10 =15。 【变式训练 18】解: =3+1999 =2002。 【例10】解:(2n-1)²-1能被8整除,理由如下: (2n-1)²-1=(2n-1+1)(2n-1-1)=4n(n-1), ∵n是整数， ∴n与(n-1)是两个连续整数,n(n-1)能被2整除, ∴4n(n-1)能被8整除,即(2n-1)²-1能被8整除。 【变式训练19】解：证明：原式 =3²⁶×5 所以能被45整除。 【变式训练20】解：证明： =5¹²×24 =5¹¹×5×24 =5¹¹×120, 能被120 整除。 学科网（北京）股份有限公司 $$