云南省大理白族自治州大理市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试卷

2024~2025学年上学期高二年级教学质量监测考试 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 2 5 6 > 答案 C B B 【解析】 1.B={xlog2x≤2}={x0<x≤4}，A=0,l,2,3},A∩B=1,2,3},故选C. 2.2=1-1,=上。-i0-D=-1-i,可知z对应的点(--》在第三象限，故选C. a≤1， 3.若函数f(x)在(1，+o)上单调递增，则 1-2a≥0， 解得a≤所以“a<1”是“函数f 在(，+∞)上单调递增”的必要不充分条件，故选B。 4.己知数据按从小到大排列为：103,106,113,118,118,119,121,123,125,134,25%×10 =2.5,因此第25百分位数是第3个数113，故选A. 5.由题得 2=a+a-=1+a-0-2=2a-1,即a2,则2xg方故 选A. 五.因为am子a3,所以m心3，解得ma=-2,所以os0十n2-14侧0 1+tana cosa-2sina 1-2tana 1+(-2)1 1-2-2)-5,故选D. 7.由题可得： 2xy= x=1. =4,当且仅当 2xy 即1时取等，故2x+二的最小值为4，故选B. 17 2x +y=1, 2 高二数学参考答案·第1页（共8页） 8.因为+++L=,”eN,当m≥2时，1+1++1=”- adz ads a,d 2n+1 adz ads a-d 2n-1 两式相减，得： aa2n+12n-4n'n≥2，当n=3时，1=1 1 nn-11 a4435’444=35, 又4，-2a,=3,∴4=10，故选B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABC CD ACD 【解析】 选项A:A与B互斥，则P八4+B)=PA)+PB)=)+=,选项A正确：选项B:A与 B相互雅立，间=代P到=对若从面R4+)=+代-代= 名号选项B正确：滤项C:4国--》志项c正确：适项D:B发生 363 时A一定发生，则BSA,P(AB)=P(B)=二≠P(A)P(B),选项D不正确，故选ABC. 10.选项A,因为点M是F(2,0)关于C的一条渐近线的对称点，且M恰在另一条渐近线上， 所以渐近线的倾斜角分别为60°，120°，则双曲线C的渐近线方程为√5x±y=0,故A 错误：选项B,e b =V+(W)=2,故B错误：选项C,由上可得，在Rt△MFE 中，M卡2,1M上2W5,则△MEE的面积为25，故C正确：选项D,由=5 及c=2,得。1，B3,则双曲线C的方程为？-气=1.设PG%,则-龙=1 3 所以P到两条渐近线的距离之积为5=，5，+_3c,=子，故D正确， 2 2 4 故选CD. 高二数学参考答案·第2页（共8页） 11.A:若数列{Sn}是递增数列，则当n≥2时，S。-S1=an=ag>0,因为a>0,所以9>0， 故A正确：B:Tn=a·a,g·a,g2…a,g1=a"·g =其片，因为91，所以数列 =g T}不是常数列，故B错误：C:因为当0<g<1时， S=a+ag+4g++a4=4.-g<8,故存在M,使得S<M恒成立，故C 1-g1-q 正确D:因为7=ag号=a,gr,若工>T>T,则ag>g”>4g, a1>0,所以ag”>aq5>q,所以q>0,a5=a,9>1,a6=ag<1，aa6>1，所以 aao=aa。>1,a,a,=a6<1,则使得Tn>1成立的n的最大值为10，故D正确，故选ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 (5, 2π 100 3 9 【解析】 12.向量ā在向量6上的投影向量的坐标为 5.6-451)=50. b11b4 13.其母线长为√5，底面半径长为r,又π心2=π，解得r=1,故高h=2,可得圆锥的体积 为r=Sh=x2=2红 3 3 14.联立少=4， 消x可得y2-7y+6=0,解得y=1或y=6,即直线1与抛物线C 4x-7y+6=0, 的交点为 仔或Q)，%>1,M06),又FL.),直线MF: 3 (-)，即3x-4y-3=0,联立 y2=4x 3r-4y-3=0·消x可得 3-16-2=0,解得y=6该y=子则N号引此时N四 高二数学参考容案·第3页（共8页） 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)》 (1)证明：如图1，连接BD, 因为PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形， 所以DA,DC,DP两两垂直， 故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则AW2,0,0),BV2,,0), 图 P0,0,1)C(0,10), …(1分) 所以AM ,1,0 Dp=(0,0,1),DB=(W2,10), …(2分) 因为AM.DP=0,AM.DB=0, …(4分) 所以AM⊥DP,AM⊥DB,… …(5分) 又BD∩DP=D,BD,DPC平面PBD, 所以AM⊥平面PBD.… …(6分) (2)解：由(1)知平面PBD的一个法向量为n=AM 1,0 …(8分） BC=(-V2,0,0),BP=(-√2，-1,1)， 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), m.BC=0,「-√2x=0, 则有 即 mBP=0. -√2x-y+z=0, 令y=1,则z=1,x=0,故m=(0,1,1),…(10分) 所以cos(i,m)= 万m …(12分) i川m +1x√2 3 V2 所以平面PBD和平面P8C所成夹角的余弦值为 3 …(13分) 高二数学参考答案·第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 解：(1)设圆心坐标为(cy) 则设过P点的半径所在的直线为6x+y+C=0,…(2分) 代入P(4,-1),可得C=-23,…(4分) J6x+y-23=0, x=3, 由5x-3y=0 解得 M(3,5).…(6分) y=5, ∴.r2=(4-3)2+(1-5)2=37, ∴.圆的方程为(x-3)2+0-5)}2=37.… …(8分) (2)由题意可得，当MN与直线1垂直时，四边形面积最小. …(10分) 由M6,5)到直线1的距离d=5+35+24.N7m √52+72 ∴.|NA=VMN-r2=√74-37=√37.… …(14分) ∴.四边形MANB面积的最小值为NA·r=37.…(15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)因为acosC+√3 asinC=b+c, 由正弦定理得sin AcosC+√5 sin AsinC=sinB+sinC,…(2分) 即sin AcosC+√5 sin AsinC=sin AcosC+cos AsinC+sinC,…(3分) 即√5 sin AsinC=(cosA+l)sinC, 因为0<C<π，所以sinC>0, 故5sinA-cosA=1,… …(5分) -6 故A=刀 3 …(7分) 2)a,6,c三边成等比数列，且A=骨所以=c,①。 …(8分) 高二数学参考答案·第5页（共8页） 由AD是角平分线得： xlxbxsinxlxcxsinxbxexsin 2 62 62 4444444444*544*444444441444*44*44…(10分) 化简得：b+c=√5bc=√5a2②.… …(12分) 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A=(b+c)2-3hc, …(13分) 将02代入上式可得：云-c一子 5.csin *4**444**…(5分) 2323 18.(本小题满分17分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为3g+少 2 =4,+(n-l)×2 …（1分) 所以 是首项为4，公差为号的等差数列， 因为 S2024 S=3,即S-S=3刘=3，则d=2, 20242021 202420212 …(3分) 因为a,=1,d=2, 所以an=a,+(n-l)d=1+2(n-l)=2n-1(neN).…(5分) 因为数列{b,}的前n项和为T,,且T=2-b(n∈N), 当n=1时，b=T=2-九，解得h=1;…(6分) 当n≥2时，bn=Tn-Tn1=(2-b)-(2-bn)=bn-1-bn, 所以bn=5b-(n≥2)， 则数列化，}是以1为首项，号为公比的等比数列，…(8分) 高二数学参考答案·第6页（共8页） 6-” 故数列也，}的通项公式为b,= (neN) …(10分) 2)由知，空--aeN) 2 “所=+35， —++-++上， 2-1 . 135 2 2+2+2+42-32m- 2 2，②. …(13分) 12.2,2 ①-②，得=2+京++分+… 22n-1 2”2 2n-1 201 …(15分) 2n-1 2m+1 32n+3 221· 形=3-2m+3 29(neN.… …(17分) 19.(本小题满分17分) (1)解：由A(2,0),B(0-)可知a=2,b=1, ……(2分) 则c2=a2-b2=3, 所以e=S= ,即椭圆C的离心率为 。…(4分) 2 (2)由(1)可知椭圆C的方程为+r=1, 4 高二数学参考答案·第7页（共8页） (i)解：如图2，设D(x),E(x2),过点(-l,0)的直线I为x=mw-1, 与￡+2=1联立得：m2+4护2-2mw-30 …(6分) 2m -3 所以另+少= m+4'方乃=m+4 2 Sm=23y-乃F23V0+⅓P-4奶g 图2 6Wm2+3 3=5, …(8分) m2+4 得m2=2,所以m=±√2， 所以直线1的方程为x士√2y+1=0,……(10分) (ⅱ)证明：由(i)可知，x+x2=(0y+乃)-2= -8 m2+4 5=m⅓-m0+为)+1=-4m+4 …(12分) m2+4 直线4D的方程为y=2K-2),令x=0,得w=二2当 x-2 -2 线E的方程为y产-，令x=0,得%器 x2-2 …(14分) yu.yN=- =2.=2%=4yy …(16分) -2x2-2xx2-2(6+x2)+4 -12 -12 m2+4 =m2+4-1 4m2+4+16+4 36 3 m2+4m2+4 m2+4 所以》w·yw为定值。……(17分) 高二数学参考答案·第8页（共8页）【考试时间：2025年1月14日09：00~11：00】 2024~2025学年上学期高二年级教学质量监测考试 数学试卷 (全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在 答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答 无效。 4,考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 :1容婴 第I卷（选择题，共58分）± 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={0,1,2,3},B=xlog2x≤2，则AnB= A.{1,2} B.{0,1,2 C.{1,2,3} D.1 2.若5z=1-i,则复数z对应的点位于第（ )象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.已知函数fx)=log(x2-2ax),a∈R,则“a<1”是“函数f(x)在(1，+∞)上单调递 增”的 ,小小C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件” 4.甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103,106,113,119,123,118,134,118， 125,121,则甲同学这10次数学考试成绩的第25百分位数是 A.113 B.109.5 的6 C.106 D.103 来，尚 8时0A 5已知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，则g= 1 D. 25 高二数学·第1页（共4页） 已知a得-=-3,则 6. 2。因液如计藏国 cosa-2sing 空联 A.-3 B.3 C. 3 ,D.- 5 1 7设x>0,>0,+2y=2,则2x+的最小值为 点价5三 A.22 B.4 C.32 的， D.6 四 8.已知正项数列{a,}满足1+1 一十 aaz aza3 ta,a2n+neN,若a,-2a4=3,则，= n 25 A.2 。15 B.10 C.2 D.5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=2,P(B)=子，则下列说法正确的是 A.若A与B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)=石 B.若A与B相互独立，则P(A+B)= 2 C.若A与B相互独立，则P(AB)=3 1 2)父所84. 8数0=00-生：1发图1 D.若B发生时A一定发生，则P(AB)=6 食1 。双曲线C:-1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为P,若点M是F(2,可 关于C的一条渐近线的对称点，且M恰在另一条渐近线上，则 A.双曲线C的渐近线方程为2x±y=0 B.双曲线C的离心率为√3 C.△MF,F2的面积为23 D.若P为双曲线C上的一动点，则P到两条渐近线的距离之积为定值 11.已知等比数列{a.}的首项a>0,公比为g(q≠1)，前n项和为Sn,前n项积为T.,则 A.若数列{S.}是递增数列，则g>0 B.当a1=1时，数列{T}是常数列 C.当0<q<1时，存在实数M,使得S.<M恒成立 D.若T3>T6>T4,则使得T.>1成立的n的最大值为10 高二数学·第2页（共4页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知a=(0,4),=(5,1),则向量a在向量上的投影向量的坐标为 13.圆锥的底面积为π，其母线长为√5，则该圆锥的体积为 14.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线4x-7y+6=0与C的一个交点为M(x,yo), yo>1,直线MF与C的另一个交点为N,则|MW|= 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PDL底面ABCD,PD=DC=1,BC=√2，M 为BC的中点， （1)求证：AM⊥平面PBD; (2)求平面PBD和平面PBC所成的夹角的余弦值， 的成子搜· =9m,8.跳楼 16.（本小题满分15分) 一个圆M切直线1：x-6y-10=0于点P(4,-1),且圆心在直线l2:5x-3y=0上， (1)求该圆的方程； (2)过直线l:5x+7y+24=0上一点N引圆的两条切线，切点分别为A,B,求四边 O形MANB面积的最小值.从 ,班一小，业，位听电】 高二数学·第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 平温：，据 设△ABC中的内角A,.B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+√3 asinC=b+c. (1)求角A; (2)若b,a,c三边成等比数列，角A的角平分线交BC于点D,且IAD|=1,求 △ABC的面积 :议 18.(本小题满分17分) 设等差数列{an}的前n项和为S。,首项a1=1,且 024 S=3,数列16.}的前n 2021 项和为Tn,且满足Tn=2-b(neN'). (1)求数列{a}和{b,}的通项公式；面， 2)求数列 的前n项和Wn 场增 J 武弹手「一， 》”5”>,“n,月nu-）s=3 19.(本小题满分17分) “ 已知4(2,0)和B(0,-1)为椭圆C:2+ 2=1(a>b>0)上两点 价 (1)求椭圆C的离心率； 0 (2)过点(-1,0)的直线1与椭圆C交于D,E两点(D,E不在x轴上).· (i)若△ADE的面积为5，求直线l的方程； (ⅱ)直线AD和AE分别与y轴交于M,N两点，求证：yM·yw为定值， 0 高二数学·第4页（共4页）