江西省新余市2024-2025学年上学期期末质量监测九年级数学试题

新余市 2024-2025 学年度上学期期末质量监测 九年级数学试题参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分,共18分.每小题只有一个正确的选 项．） 1. D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分,共 18分） 7. (2,1) 8. −1 9. 6 10. 10 11. 27π 12. 6 或3 10 或 60 61 61 （写对一个得 1 分，写错一 个不得分） 三、解答题（本大题共 5小题，每小题 6分，共 30分） 13.（1）解： ( )4 0x x − = ， ………………1 分 0x = 或 4 0x − = ， ………………2 分 1 20, 4x x= = ． ………………3 分 （2）∵△ABC与△DEC 关于 C点成中心对称， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE，AC＝DC，∠CAB＝∠CDE， ………………4 分 ∵AC＝3，AB＝6，∠BAC＝90°， ∴∠CAB＝∠CDE＝90°，AB＝DE＝6，AC＝DC＝3， ∴AD＝6， ………………5 分 ∴在 Rt△ADE中，AE = √AD2 + DE2 = 6√2． 即AE = 6√2． ………………6 分 14. （1） 1 4 ………………2 分 （2）画树状图如图所示： ………………4 分 由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“𝐴唐僧”的结果有7种． ∴ 𝑃(至少一张卡片图案为“𝐴唐僧”) = 7 16 . 答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“𝐴唐僧”的概率为 7 16 . ……………6 分 15. 解：（1）如图 1，△ABD即为所求；（画图 2分，答 1分） ………………3 分 （2）如图 2，△AEF即为所求． （画图 2分，答 1分） ………………6 分 16.解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2） ………………1 分 =a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ………………2 分 ∴不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． ………………3 分 （2）将 x=0 代入方程 x2+ax+a﹣2=0 解得 a=2 ∴方程为 x2+2x=0， ………………4 分 x(x+2)=0 x1=0，x2=-2 ………………5 分 ∴另一根是﹣2． ∴a=2，该方程的另一根是﹣2． ………………6 分 17.（1）证明：连接 OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°， ∵OA＝OC，∠BCD＝∠A， ∴∠OCA＝∠A＝∠BCD， ………………1 分 ∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ………………2 分 ∵OC是⊙O的半径， ∴直线 CD是⊙O的切线． ………………3 分 （2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°， ∴∠BOC＝2∠A＝60°， ………………4 分 在 Rt△OCD中，∠BOC=60°，CD＝√3， ∴OC＝1， ………………5 分 ∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S 扇形BOC= 1 2 × √3 × 1 − 60𝜋×1 2 360 = 3√3−𝜋 6 ． …………6 分 四、解答题（本大题共 3小题，每小题 8分,共 24分） 18. 解：(1)如图所示△ 𝐴1𝐵1𝐶1即为所求. ………………3 分 (2)如图所示△ 𝐴2𝐵2𝐶2即为所求． ………………6 分 点𝐴到𝐴2经过的路径长𝑙 = 90𝜋⋅√ 10 180 = √ 10 2 𝜋． ………………8 分 19. （1）700， ………………1 分 (600+100x)； ………………3 分 （2）月获利不能达到 7000 元， ………………4 分 理由如下：设每个头盔降价 x元， 则(40-30-x)(600+100x)=7000． ………………5 分 整理，得 x2 − 4x + 10 = 0. ………………6 分 ∵△=16 - 40= -24＜0． ∴方程无实数根． ………………7 分 答:月获利不能达到 7000 元． ………………8 分 20. 解：（1）3； ………………1 分 （2）连接OB ，由题意，得： 8CD = 米， 32AB = 米， 则 1 16 2 BD AB= = 米， ………………2 分 设圆的半径为 r 米，则：OB OC r= = 米， ( )8OD r= − 米， 在Rt OBD△ 中， 2 2 2( 8) 16r r− + = ， ………………3 分 20r = （米） ………………4 分 （3）由题意，抛物线的顶点 C坐标为 ( )0,8 ， 1 16, 2 OB AB= = ………………5 分 ∴设桥拱的函数解析式为 2 8y ax= + ， ( )16,0B ， ………………6 分 把 ( )16,0B 代入得， 1 32 a = − ． ………………7 分 函数解析式为 21 8 32 y x= − + ． ………………8 分 五、解答题（本大题 2 小题，每小题 9 分，共 18分） 21. （1）解：由图象可知， m ax b x  + 的解集为： 4 2x−   − ； ………………2 分 （2）解：由题意，得： 2 4 8m = −  = − ， ∴ ( ) 8 0y x x − =  ； ………………3 分 𝐵(−4, 𝑛)代入得 n=2. 把 ( ) ( )2,4 , 4,2A B− − 两点代入 y ax b= + ， 2 4 4 2 a b a b − + =  − + = ，解得： 1 6 a b =  = ， ………………4 分 ∴ 6y x= + ； ………………5 分 （3）解：∵ 6y x= + ， ∴当 0y = 时， 6x = − ， ∴ ( )6,0C − ， ∴ ( ) 1 6 4 2 6 2 AOB AOC BOCS S S= − =   − = ， ………………6 分 ∵点 P在 y轴上， ∴ 1 1 2 2 AOP A AOBS OP x S=  = ，即：2 6OP = ， ………………7 分 ∴ 3OP = ， ………………8 分 ∴ ( )0,3P 或 ( )0, 3P − ． ………………9 分 22. (1)②③； ………………2 分 (2)①证明：如图1中，连接AE． ∵△ ABC绕点C顺时针旋转了60°到△ DCE， ∴ AC = EC，∠ACE = 60°， ∴△ ACE是等边三角形． ∴ AE = AC， ………………3 分 ∵ ∠DCB = 60°，∠BAD = 30° ∴ ∠ABC + ∠ADC = 270°， ∴ ∠ADC + ∠CDE = 270°， ∴ ∠ADE = 90°， ………………4 分 在Rt △ DAE中，AD2 + DE2 = AE2， ∵ DE = AB，AC = AE， ∴ AD2 + AB2 = AC2， ∴四边形ABCD是勾股四边形； ………………5 分 ②解：如图2中，延长BC交FE的延长线于H． ∵ ∠DCH = 180° − n° = (180 − n)°，∠DEF = (180 − n)°， ∴ ∠DEF = ∠DCH， ∵ ∠DEF + ∠DEH = 180°， ∴ ∠DEH + ∠DCH = 180°， ∴ ∠CDE + ∠H = 180°， ∵ ∠ABC = ∠CDE， ∴ ∠ABC + ∠H = 180°， ∴ AB // FH， ………………6 分 ∴ ∠F = ∠ABP， ∵ DE = EF = AB， ∴在△ FPE 和 △ BPA中， { ∠EPF = ∠APB ∠F = ∠ABP EF = AB ∴△ FPE≌△ BPA(AAS)， ∴ PE = PA， ………………7 分 ∵ AE = PE + PA = 8， ∴ PE = PA = 4， ∵ CA = CE， ∴ CP ⊥ AE， ∴ ∠APC = 90°， ………………8 分 ∴ AC = √ PC2 + PA2 = √ 22 + 42 = 2√ 5． ………………9 分 六、（本大题共 12 分） 23.（1）解： 点 ( )1,0A − ， ( )4,0C ， 5AC = ， 4OC = ， 5AC BC= = ， ( )4,5B ， ………………1 分 把 ( )1,0A − 和 ( )4,5B 代入二次函数 2y x bx c= + + 中得： 1 0 16 4 5 b c b c − + =  + + = ， 解得： 2 3 b c = −  = − ， ………………2 分 二次函数的解析式为： 2 2 3y x x= − − ； ………………3 分 （2）解：如图 1， 直线 AB 经过点 ( )1,0A − 和 ( )4,5B ， 设直线 AB 的解析式为 y kx b= + ，  0 4 5 k b k b − + =  + = ， 解得： 1 1 k b =  = ， 直线 AB 的解析式为： 1y x= + ， ………………4 分 二次函数 2 2 3y x x= − − ， 设点 ( ), 1E t t + ，则 ( )2, 2 3F t t t− − ， ( ) ( ) 2 2 3 251 2 3 2 4 EF t t t t    = + − − − = − − +    ， ………………5 分 ∵-1＜t＜4， 当 3 2 t = 时，EF 的最大值为 25 4 ， 点 E 的坐标为 3 5 , 2 2       ， ………………6 分 ( ) ( ) 1 1 25 125 4 1 2 2 4 8 ABF B AS EF x x =  − =   + = ； ………………7 分 （3）解：存在， ………………8 分 ( ) 22 2 3 1 4y x x x= − − = − − ， 对称轴为直线 1x = ， 设 ( )1,P m ，分三种情况： ①点 B 为直角顶点时，由勾股定理得： 2 2 2PB AB PA+ = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 24 1 5 4 1 5 1 1m m − + − + + + = + + ， 解得： 8m = ， ( )1,8P ； ………………9 分 ②点A 为直角顶点时，由勾股定理得： 2 2 2PA AB PB+ = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 21 1 4 1 5 4 1 5m m + + + + + = − + − ， 解得： 2m = − ， ( )1, 2P − ； ………………10 分 ③点 P 为直角顶点时，由勾股定理得： 2 2 2PB PA AB+ = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 21 1 4 1 5 4 1 5m m + + + − + − = + + ， 解得： 6m = 或 1m = − ， ( )1,6P 或 ( )1, 1P − ， ………………11 分 综上，点 P 的坐标为 ( )1,8 或 ( )1, 2− 或 ( )1,6 或 ( )1, 1− ． ………………12 分