第20章 一次函数 章节整合练习（11个知识点+40题练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第20章 一次函数 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点3．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点4．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点5．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点6．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点7．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点8．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点9．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点10．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点11．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 章节题型整合练习 一、一次函数 1．（2023八年级下·上海·专题练习）已知y与x成正比例，且当时， (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 2．（23-24八年级下·上海·单元测试）下列函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则 ． 4．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海·单元测试）若直线经过点，则 ． 6．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）下列各点中，在直线上的点是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级下·上海嘉定·期中）若直线的图像过点，则 ． 8．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）直线不经过第 象限． 10．（21-22八年级下·上海·阶段练习）已知直线经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22八年级下·上海·阶段练习）若直线经过点，则该直线与两坐标围成的三角形面积为 ． 12．（2022八年级下·上海·专题练习）已知一次函数， （1）如果函数的图像在x轴的上方，这时x应满足的条件是 ； （2）如果函数的图像在y轴的左侧，此时x的取值范围是 ． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 14．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 15．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）一次函数的图象如图所示，则由图象可知关于的方程的解为 ．    16．（20-21八年级下·上海嘉定·期末）一次函数y＝﹣3x﹣6的图象与x轴的交点坐标是 ． 17．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 18．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是 ． 19．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 20．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）一次函数和相交于一点，该点的坐标为 ． 21．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果的面积是面积的，求点的坐标． 22．（22-23八年级下·上海·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 23．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）若一次函数的函数值y随x的值增大而减小，则m的取值范围是 ． 24．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 26．（20-21八年级上·上海普陀·期中）如图，正方形，边在轴的正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是 ．    27．（21-22八年级下·上海·阶段练习）经过点，且与直线平行的直线的解析式为 ． 28．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是 ． 29．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 30．（2020·上海静安·二模）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案． A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系； B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元． （1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域） （2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少． 31．（21-22八年级下·上海奉贤·期中）已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量= （升）． 32．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 33．（21-22八年级下·上海·阶段练习）求已知直线和直线与轴围成的三角形的面积． 二、反比例函数 34．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）下图中表示函数和在同一平面直角坐标系中的图像是（    ） A． B． C． D． 35．（21-22八年级下·上海·阶段练习）已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 36．（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知反比例函数（为常数，）． (1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值； (2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点； (3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标． (4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围． 三、不等式与不等式组 37．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 四、平面直角坐标系 38．（21-22八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且，，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2．双曲线经过点D，直线经过A、B两点． (1)求点A、B、C、D的坐标； (2)求双曲线和直线的解析式； (3)点M在双曲线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出点N的坐标． 五、函数基础知识 39．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 六、一元二次方程 40．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 一次函数 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点3．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点4．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点5．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点6．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点7．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点8．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点9．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点10．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点11．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 章节题型整合练习 一、一次函数 1．（2023八年级下·上海·专题练习）已知y与x成正比例，且当时， (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）将代入解析式，即可得解． 【详解】（1）∵y与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：把代入得：． 【点睛】本题考查正比例函数的定义．用待定系数法求出解析式是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海·单元测试）下列函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义． 根据一次函数的定义（形如，其中与是常数且）解决此题． 【详解】解：A. 根据一次函数的定义，不是一次函数，不符合题意； B. 根据一次函数的定义，不是一次函数，不符合题意； C. 根据一次函数的定义，是一次函数，符合题意； D. 根据一次函数的定义，不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】2 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 5．（23-24八年级下·上海·单元测试）若直线经过点，则 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，图象上的点的坐标满足函数解析式．把点代入，即可求得的值． 【详解】解：由题意得： 解得： 故答案为： ． 6．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）下列各点中，在直线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．分别把各点代入一次函数的解析式进行检验即可． 【详解】解：A．当 时，，故不合题意； B．当时，，故不合题意； C．当时，，故符合题意； D．当时，，故不合题意． 故选：C． 7．（21-22八年级下·上海嘉定·期中）若直线的图像过点，则 ． 【答案】-3 【知识点】求一次函数自变量或函数值、列一次函数解析式并求值 【分析】将A点坐标代入直线中即可得到m值． 【详解】将A点坐标代入直线中 得：m==-3 故答案为：-3． 【点睛】本题考查一次函数的解析式．将点坐标代入求出解析式是解决本题的关键． 8．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数图象得出答案即可． 【详解】解：根据函数图象可知：时，函数的图象在第三象限． 故选：D． 9．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）直线不经过第 象限． 【答案】四 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．据此求解即可． 【详解】解：一次函数的，， 图象过一、二、三象限， 一次函数的图象不经过第四象限． 故答案为：四． 10．（21-22八年级下·上海·阶段练习）已知直线经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系．根据一次函数中，当时，函数图象经过第一、三、四象限求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴． 故选：C． 11．（21-22八年级下·上海·阶段练习）若直线经过点，则该直线与两坐标围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数；先将点代入解析式，求出m的值，再分别求出直线与两坐标轴的交点，即可求出三角形的面积． 【详解】解：将点代入，得， 解得：， ∴， 当时，， 当时，， ∴该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 12．（2022八年级下·上海·专题练习）已知一次函数， （1）如果函数的图像在x轴的上方，这时x应满足的条件是 ； （2）如果函数的图像在y轴的左侧，此时x的取值范围是 ． 【答案】 / / 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、画一次函数图象 【分析】先画出的函数图像，然后求出与坐标轴的交点坐标，观察图像即可得到答案． 【详解】解：如图，画出的函数图像， 令，解得， ， 由图像可得，当时，函数的图像在x轴的上方； 由图像可得，当时，函数的图像在y轴的左侧， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一次函数图像与性质，利用数形结合的方法解决问题，解题的关键就在于求出函数图像与坐标轴的交点坐标． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后值不变． 根据平移时k的值不变，只有b发生变化即可得到结论． 【详解】解：原直线的； 向下平移3个单位长度，得到了新直线，那么新直线的， ∴新直线的解析式为． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 【答案】(1)； (2)该一次函数的解析式为； 【知识点】一次函数图象平移问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同． （1）根据题意得到，解得即可； （2）设一次函数的表达式为，再由图象过点，可求出，从而可求表达式． 【详解】（1）解：所求的点在这个一次函数的图象上且位于轴上方， ， 解得， 即所有点的横坐标的取值范围是； （2）解：一次函数的图象与直线平行， ， 一次函数解析式为， 图象经过点， ， 解得：， 该一次函数的解析式为； 15．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）一次函数的图象如图所示，则由图象可知关于的方程的解为 ．    【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】关于的方程的解其实就是求当函数值为时的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知则关于的方程的解为的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是知道通过图象怎么求方程的解． 16．（20-21八年级下·上海嘉定·期末）一次函数y＝﹣3x﹣6的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】在解析式中，令y=0，即可求得横坐标，则与x轴的交点坐标即可求得． 【详解】令y=0，得：，解得：， 则图象与x轴的交点坐标是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，是需要熟记的内容． 17．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小， 所以当时，函数值大于，即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 19．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一次不等式的关系．结合图象得出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 由图象得，当时，的图象位于图象上方， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 20．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）一次函数和相交于一点，该点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了求出一次函数的交点坐标，解方程组，可得交点坐标． 【详解】解：联立， 解得：， ∴该点坐标为：． 故答案为：． 21．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求直线围成的图形面积、含30度角的直角三角形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将，分别代入，即可求解， （2）计算的边长，求出，由，根据等边对等角，三角形外角定理，即可求解， （3）作，设，由“的面积是面积的”列出等量关系式，求出的长度，即可求解， 本题考查了，一次函数图像上的点，含角的直角三角形，勾股定理，三角形外角定理，解题的关键是：根据题意列出等量关系． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ∴点， 当时，，解得：， ∴点； （2）解：∵，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作，垂足为点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，， ∵、分别在线段、上， ∴，即：，解得：， ∴， .∴点． 22．（22-23八年级下·上海·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数图象的增减性，根据已知函数的解析式得出y随x的增大而减小，再比较即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 23．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）若一次函数的函数值y随x的值增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质．根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 24．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题． 【详解】， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：< 26．（20-21八年级上·上海普陀·期中）如图，正方形，边在轴的正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是 ．    【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及到正方形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握正方形的性质求得点、的坐标．令可得，即点根据正方形的性质可得点的横坐标，待入解析式即可求得点的纵坐标，继而根据正方形的性质可得点的坐标． 【详解】解：正方形，边在轴的正半轴上， ，，、、、轴， 顶点，在直线， 令，则， 点， 点的横坐标为3， 将代入直线，得， 点、的纵坐标是， 即， 点的横坐标为， 即点， 故答案为：． 27．（21-22八年级下·上海·阶段练习）经过点，且与直线平行的直线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式为．首先根据在平面直角坐标系中如果两直线平行，那么这两条直线的值相等，设出与已知直线平行的直线的解析式为，再把点代入解析式中求出的值即可． 【详解】解：经过点的直线与直线平行， 设经过点的直线的解析式为， 把点点代入， 可得：， 解得：， 所求直线的解析式为． 故答案为： ． 28．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】解：一次函数的函数值随着的值增大而减小， ， ； 故答案为：． 29．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解； （2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 30．（2020·上海静安·二模）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案． A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系； B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元． （1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域） （2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少． 【答案】（1）y＝1.95x+0.8；（2）在A公司购买费用较少． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）把x＝40代入（1）的结论以及公司方案，分别求出每家公司所需的费用，再进行比较即可． 【详解】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b(k、b为常数，k≠0)， 由一次函数的图象可知，其经过点(0，0.8)、(10，20.3)， 代入得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为y＝1.95x+0.8． （2）如果在A公司购买，所需的费用为：y＝1.95×40+0.8＝78.8万元； 如果在B公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×(40﹣30)＝79万元； ∵78.8＜79， ∴在A公司购买费用较少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型． 31．（21-22八年级下·上海奉贤·期中）已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量= （升）． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据汽车油箱原有油、行驶距离及剩余油量，可计算出每千米耗油量，用油箱原有减去行驶千米耗油量，即可得到剩余油量． 【详解】∵原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升 ∴每千米耗油量：（升/千米） ∴行驶(千米)后油箱中的剩余油量为：（升） 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的知识点，解题的关键是一次函数与实际问题的联系． 32．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题在新定义下考查了两个函数图象交点，根据等值点定义得等值点在直线图象上，联立方程组，，求解方程组可求出点B，C的坐标，再根据等腰梯形的定义可得点D的坐标． 【详解】解：根据等值点定义得等值点在直线图象上， ∴联立方程组， 解得，， ∴， 联立， 解得，， ∴； 如图， ∴ ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴点的坐标为，或 故答案为：或． 33．（21-22八年级下·上海·阶段练习）求已知直线和直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点问题，两条直线的交点问题，令，求出两条直线与轴的交点坐标，联立两个函数解析式，求出两条直线的交点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：令：，解得：， 令，解得：， 联立：，解得：， ∴． 二、反比例函数 34．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）下图中表示函数和在同一平面直角坐标系中的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】此题考查了一次函数图像及反比例函数图像，根据a的取值分别确定一次函数及反比例函数图像所在的象限，即可得到答案 【详解】当时，的图像过第一，三，四象限；的图像在第一，三象限；故C错误，D错误； 当时，的图像过第一，二，四象限；的图像在第二，四象限；故A错误，B正确； 故选：B 35．（21-22八年级下·上海·阶段练习）已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是反比例函数、反比例函数与一次函数的交点的求法以及等腰三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、利用二元二次方程组求出反比例函数与一次函数的交点坐标是解题的关键； （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a的值，代入一次函数求出k; （2）根据坐标与图形的关系，证明得到答案; （2）分和两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可. 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ， 将代入一次函数的图像得， ， 解得：； （2）解：直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D， ， 解得，， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， 如图，作轴，轴， ，点A的坐标为， ，， 点C的坐标为 ，， 在和中， ， ， ． （3）点B的坐标为，点C的坐标为， ， 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点在点的右侧，时，点的坐标为； 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点E的坐标为、、时，是以为腰的等腰三角形． 36．（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知反比例函数（为常数，）． (1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值； (2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点； (3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标． (4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)， 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据点的纵坐标是2，代入正比例函数解出y，将x，y代入反比例函数即可得到答案； （2）联立两个函数解方程即可得到答案； （3）设点C的坐标为根据点到坐标轴距离直接代入求解即可得到答案； （4）根据交点直接可得到答案． 【详解】（1）解：当 ，， 将，代入反比例函数得， ， 解得； （2）由（1）得， ， 联立正比例函数与反比例函数可得， ， 解得：或， ∴； （3）解：设点C的坐标为，由题意可得， ， 解得：或， 当时， ， 当时，， ∴点C的坐标为：或； （4）解：由题意可得， ，在及上都是随x增大而减小， 随x增大而增大， ∴，函数大于反比例函数． 【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数图像共存问题，解题的关键是先利用一个交点求出反比例函数的解析式，再根据交点判断不等式的解． 三、不等式与不等式组 37．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，解不等式即可． 【详解】 的函数值y随x的值增大而增大， 解得． 故答案为：． 四、平面直角坐标系 38．（21-22八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且，，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2．双曲线经过点D，直线经过A、B两点． (1)求点A、B、C、D的坐标； (2)求双曲线和直线的解析式； (3)点M在双曲线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出点N的坐标． 【答案】(1)A（0，2），B（−4，0），C（7，0），D（3，2）； (2)，； (3)点N的坐标为（0，）或（0，）或（0，）． 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、坐标与图形、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）首先过点D作DH⊥x轴于点H，易得四边形AOHD是矩形，证得Rt△ABO≌Rt△DCH，又由AD＝3，BC＝11，梯形的高为2，即可求得答案； （2）由双曲线过点D，直线y＝kx＋b过点A，B，直接利用待定系数法求解即可求得答案； （3）分情况讨论：①如图2，当四边形ABMN是平行四边形时，由四边形ABMN是平行四边形，可得点M的横坐标为−4，继而求得点M的坐标，又由AN＝BM，求得点N坐标；②如图3，当四边形NBMA是平行四边形时，根据①可知AN＝BM＝，可得点N坐标；③如图4，当四边形MABN是平行四边形时，可得点M的横坐标为4，代入反比例函数解析式求得点M的坐标，继而可得点N坐标． 【详解】（1）解：如图1，过点D作DH⊥x轴于点H， ∵ADBC，AB＝CD，四边形ABCD是等腰梯形， ∴AO⊥AD，AD⊥DH， ∴四边形AOHD是矩形， ∴AO＝DH，AD＝OH，∠AOB＝∠DHC＝90°， 在Rt△ABO和Rt△DCH中，， ∴Rt△ABO≌Rt△DCH（HL）， ∴BO＝CH， ∵梯形的高为2， ∴AO＝DH＝2， ∵AD＝3，BC＝11， ∴BO＝CH＝4，OC＝7， ∴A（0，2），B（−4，0），C（7，0），D（3，2）； （2）∵双曲线经过点D（3，2）， ∴m＝xy＝6， ∴双曲线的解析式为：， ∵直线y＝kx＋b经过A（0，2）、B（−4，0）两点， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为：； （3）①如图2，当四边形ABMN是平行四边形时， ∴BMAN且BM＝AN， ∵点N在y轴上， ∴过点B作x轴的垂线与双曲线的交点即为点M， ∴点M的坐标为M（−4，）， ∴BM＝， ∴AN＝BM＝， ∴ON＝OA−AN＝， ∴点N的坐标为N（0，）； ②如图3，当四边形NBMA是平行四边形时， 同理可得AN＝BM＝， ∴ON＝OA＋AN＝， ∴点N的坐标为N（0，）； ③如图4，当四边形MABN是平行四边形时， ∵点A、N在y轴上， ∴平行四边形MABN对角线的交点在y轴上， ∵B（−4，0）， ∴点M的横坐标为4， 把x＝4代入得：， ∴M（4，）， 设N（0，a），则， 解得：， ∴N（0，）， 综上所述，点N的坐标为（0，）或（0，）或（0，）． 【点睛】此题属于反比例函数与一次函数综合题．考查了待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出图形是解此题的关键． 五、函数基础知识 39．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】(1) (2)小明的步行速度为米/分 (3)小明比小杰早分钟到达终点 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据图示，设线段的表达式为：，把，代入得到关于，的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点处追上甲，根据速度路程时间，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点二者所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， （2）由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， （3）在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 六、一元二次方程 40．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 【答案】(1)这个一次函数的解析式为，2月份的利润为98万元 (2)这个企业4、5月份的利润增长率为 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）由待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数之间的函数关系式是，由待定系数法求出关于的函数关系式，再代入，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业月份的利润增长率为，利用这个企业5月份的利润这个企业3月份的利润这个企业月份的利润增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设这个企业在2022年1至3月的利润数关于月份数的函数关系式是， 将代入得：， 解得：， ∴这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数的函数关系式为， 当时，， 答：这个一次函数的解析式为月份的利润为98万元； （2）设这个企业月的利润增长率为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 答：这个企业月份的利润增长率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$