第02讲 一次函数的图像与性质（6个知识点+6种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第02讲 一次函数的图像与性质（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点2．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点3．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点4．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点5．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点6．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 题型强化 题型一．一次函数的性质 1．（2024春•崇明区期中）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•松江区期中）已知一次函数的图象经过点，、，，如果，那么　　．（填“”、“ ”、“ ” 3．（2024春•浦东新区校级月考）如果点、点在直线上，那么 　　（填“”、“ ” ． 题型二．一次函数图象上点的坐标特征 4．（2024春•嘉定区期末）一次函数在轴上的截距是　　 A．2 B． C．3 D． 5．（2024春•虹口区期末）如果一次函数的图象经过，那么的值是 　　． 6．（2024春•黄浦区期中）如图，已知一次函数图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值： （2）求△的面积． 题型三．一次函数图象与几何变换 7．（2024春•金山区校级月考）要得到直线的图象，可把直线　　 A．向下平移4个单位 B．向上平移4个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位 8．（2024春•青浦区校级期末）将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 　　． 9．（闵行区期末）已知把直线沿着轴向上平移3个单位后，得到直线． （1）求直线的解析式； （2）求直线与坐标轴围成的三角形的周长． 题型四．待定系数法求一次函数解析式 10．（闸北区期中）已知直线过点，确定该直线的表达式是　　 A． B． C． D． 11．（2024春•金山区期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 　　． 12．（2024春•普陀区期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于、两点．过点的直线交轴正半轴于点，且直线把分成面积之比为的两部分． （1）求点、的坐标； （2）求直线的表达式； （3）当时，试在直线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 题型五．一次函数与一元一次方程 13．（2021春•杨浦区校级期中）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法正确的有　　 A．随的增大而减小 B．， C．当时， D．关于的方程的解为 14．（浦东新区期中）一次函数的图象如图所示，则由图象可知关于的方程的解为　　． 15．（2021春•长宁区校级期中）已知关于的方程有无数个解． （1）求出、的值． （2）求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积． 题型六．一次函数与一元一次不等式 16．（2024春•宝山区期末）下面是两位同学对于某个一次函数、为常数，且图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•浦东新区校级期末）已知一次函数，、均为常数）的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是　　． 18．（普陀区校级月考）已知一次函数． （1）画出函数图象； （2）说出不等式解集是 　　；不等式解集是 　　； （3）求出函数图象与坐标轴的两个交点之间的距离． 分层练习 一、单选题 1．已知一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第二、三、四象限 C．的值随值的增大而增大 D．当时， 3．一次函数y＝kx+m的图象如图所示，若点(0，a)，(﹣2，b)，(1，c)都在函数的图象上，则下列判断正确的是(   ) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c 4．已知一次函数，当时，，且它的图象与y轴交点的纵坐标是，那么该函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线y=kx+b过A(-1,2),B(-2,0)两点,则0≤kx+b≤-2x的解集为(     ) A．x≤-2或x≥-1 B．0≤y≤2 C．-2≤x≤0 D．-2≤x≤-1 6．如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数图象的方程是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．设一次函数y=kx+3． 若当x=2时，y=－1，则k= 8．直线向下平移3个单位长度得到的直线的解析式是 ． 9．如果把直线y＝x+1沿y轴向上平移2个单位，那么得到的直线的表达式为 ． 10．将一次函数的图像沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图像的函数表达式为 ． 11．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为 ． 12．一次函数的图象如图所示，当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是 ．    13．已知一次函数的图像经过点A（0,2）和点B（2，－2）：（1）求出y关于x的函数表达式为 ；（2）当－2＜y＜4时，x的取值范围是 ． 14．如图，放置的，都是边长为4的等边三角形，点A在x轴上，点，都在正比例函数的图象l上，则点的坐标是 ． 15．如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 ．    16．如图，点为函数（）图象上一点，连结，交函数（）的图象于点，点是轴上一点，且，则三角形的面积为 .    17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，过点P作轴交直线于点Q，连接，已知，则点P的坐标为 ． 18．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 三、解答题 19．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点．点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求一次函数解析式； (2)在反比例函数第三象限的图像上找一点，使点到直线的距离最短，求点的坐标． 20．（1）在同一坐标系中画出函数和的图象； （2）若两函数图象分别与x轴交于点A、B，求两函数图象与x轴围成的的面积． 21．某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律．    (1)求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式． (2)若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少？（）． 22．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． (1)每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； (2)平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； (3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 23．某商店以30元/千克的单价新进一批商品．经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示． (1)求y与x的函数解析式； (2)要使利润达到600元，销售单价应定为每千克多少元? 24．某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业x天累计生产服装的数量为y件，y与x之间的关系如图所示．    (1)这批服装一共有__________件，点A的实际意义是__________； (2)求增加工人后y与x的函数表达式； (3)已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70元，从第6天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去成本） 25．如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 26．请直接在平面直角坐标系中画出函数y=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题： （1）函数图象不经过第象限． （2）将y=2x-2的图象向下平移后经过点M（1，-3），求平移后的函数解析式． 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交于点． (1)求m的值与一次函数解析式； (2)如图，一动直线分别与两直线交于P，Q两点，若，求t的值； (3)在y轴上是否存在点M，使得是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一次函数的图像与性质（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点2．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点3．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点4．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点5．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点6．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 题型强化 题型一．一次函数的性质 1．（2024春•崇明区期中）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图象确定一次函数的增减性即可． 【解答】解：由图象可知，随的增大而减小， 当时，， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，由图象确定自变量取值范围是关键． 2．（2024春•松江区期中）已知一次函数的图象经过点，、，，如果，那么　　．（填“”、“ ”、“ ” 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【解答】解：， 随的增大而减小， 又一次函数的图象经过点，、，，且， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 3．（2024春•浦东新区校级月考）如果点、点在直线上，那么 　　（填“”、“ ” ． 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【解答】解：， 随的增大而减小， 又点、点在直线上，且， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 题型二．一次函数图象上点的坐标特征 4．（2024春•嘉定区期末）一次函数在轴上的截距是　　 A．2 B． C．3 D． 【分析】令，则，即一次函数与轴交点为，即可得出答案． 【解答】解：由，令，则， 即一次函数与轴交点为， 故一次函数在轴上的截距为：3． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是令求出一次函数与轴的交点坐标． 5．（2024春•虹口区期末）如果一次函数的图象经过，那么的值是 　　． 【分析】把点代入一次函数，求出的值即可． 【解答】解：一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 6．（2024春•黄浦区期中）如图，已知一次函数图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值： （2）求△的面积． 【分析】（1）由一次函数图象经过点，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的值，再利用三角形的面积公式，即可求出△的面积． 【解答】解：（1）一次函数图象经过点， ， 解得：， 的值为； （2）由（1）可知：直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为，， ， ． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）代入点的坐标，求出值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标． 题型三．一次函数图象与几何变换 7．（2024春•金山区校级月考）要得到直线的图象，可把直线　　 A．向下平移4个单位 B．向上平移4个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位 【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律解答即可． 【解答】解：将直线的图象向下平移4个单位即可得到直线的图象． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的图象平移变换，解题的关键是根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律解答即可． 8．（2024春•青浦区校级期末）将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 　　． 【分析】根据平移不改变的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可得出直线的函数解析式． 【解答】解：设平移后直线的解析式为． 把代入直线解析式得， 解得． 所以平移后直线的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换及待定系数法求函数的解析式，掌握直线平移时的值不变是解题的关键． 9．（闵行区期末）已知把直线沿着轴向上平移3个单位后，得到直线． （1）求直线的解析式； （2）求直线与坐标轴围成的三角形的周长． 【分析】（1）根据题意求出平移后解析式； （2）根据解析式进而得出图象与坐标轴交点，再利用勾股定理得出斜边长，进而得出答案． 【解答】解：（1）直线沿着轴向上平移3个单位后，得到直线， 可得：直线的解析式为：； （2）在直线中，当，则，当，则， 直线与两条坐标轴围成的三角形的周长为：． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换以及一次函数与坐标轴交点求法，得出各边长是解题关键． 题型四．待定系数法求一次函数解析式 10．（闸北区期中）已知直线过点，确定该直线的表达式是　　 A． B． C． D． 【分析】直接把已知点的坐标代入求出的值，从而得到直线解析式． 【解答】解：把代入得， 所以直线的解析式为． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 11．（2024春•金山区期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 　　． 【分析】根据截距的定义可求出的值，再将点代入函数解析式即可解决问题． 【解答】解：因为直线的截距等于1， 所以， 将点代入得， ， 解得， 所以这条直线的表达式是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的图象和性质是解题的关键． 12．（2024春•普陀区期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于、两点．过点的直线交轴正半轴于点，且直线把分成面积之比为的两部分． （1）求点、的坐标； （2）求直线的表达式； （3）当时，试在直线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 【分析】（1）根据图象上点的坐标特征即可求得； （2）根据直线把分成面积之比为的两部分，求得的坐标，然后利用待定系数法求得即可； （3）根据同底等高的三角形面积相等可知点的坐标是直线与直线的交点或是直线与直线的交点，解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标． 【解答】解：（1）令，则，解得， ， 令，则， ； （2）直线把分成面积之比为的两部分， 的坐标为或 设直线的解析式为， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 直线的解析式为或； （3）由（2）可知当时，直线的解析式为， ， 点的坐标是直线与直线的交点或是直线与直线的交点， 由，解得， 由，解得， 点的坐标为，或，． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 题型五．一次函数与一元一次方程 13．（2021春•杨浦区校级期中）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法正确的有　　 A．随的增大而减小 B．， C．当时， D．关于的方程的解为 【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：图象过第一、二、三象限， ，，随的增大而增大，故，错误； 又图象与轴交于， 的解为，故正确； 当时，图象在轴上方，，故错误； 故选：． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 14．（浦东新区期中）一次函数的图象如图所示，则由图象可知关于的方程的解为　　． 【分析】关于的方程的解其实就是求当函数值为0时的值，据此可以直接得到答案． 【解答】解：从图象上可知则关于的方程的解为的解是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是知道通过图象怎么求方程的解． 15．（2021春•长宁区校级期中）已知关于的方程有无数个解． （1）求出、的值． （2）求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）把方程整理后得出，根据关于的方程有无数个解得出且，再求出、即可； （2）先求出直线与两坐标轴的交点坐标，再求出三角形的面积即可． 【解答】解：（1）， ， ， 关于的方程有无数个解， 且， 解得：，； （2），，， ， 当时，， 当时，， 解得：， 所以一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，三角形的面积和方程的解等知识点，能求出和是解此题的关键． 题型六．一次函数与一元一次不等式 16．（2024春•宝山区期末）下面是两位同学对于某个一次函数、为常数，且图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【解答】解：该函数的图象经过点， ， 故， 故正确，不符合题意； 该函数的图象不经过第三象限，经过点， ，， 故， 故、正确，不符合题意； ， ， ， ， 故错误，符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 17．（2024春•浦东新区校级期末）已知一次函数，、均为常数）的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是　　． 【分析】从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【解答】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小， 所以当时，函数值大于0，即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 18．（普陀区校级月考）已知一次函数． （1）画出函数图象； （2）说出不等式解集是 　　；不等式解集是 　　； （3）求出函数图象与坐标轴的两个交点之间的距离． 【分析】（1）分别将、代入一次函数，求出与之相对应的、值，由此即可得出点、的坐标，连点成线即可画出函数图象； （2）根据一次函数图象与轴的上下位置关系，即可得出不等式的解集； （3）由点、的坐标即可得出、的长度，再根据勾股定理即可得出结论．（或者直接用两点间的距离公式也可求出结论） 【解答】解：（1）当时，， 一次函数与轴交点的坐标为； 当时，解得：， 一次函数与轴交点的坐标为． 描点连线画出函数图象，如图所示． （2）观察图象可知：当时，一次函数的图象在轴上方；当时，一次函数的图象在轴下方． 不等式解集是；不等式解集是． 故答案为：；． （3），， ，， ． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象以及勾股定理，解题的关键是：（1）找出一次函数与坐标轴的交点坐标；（2）根据一次函数图象与轴的上下位置关系找出不等式的解集；（3）利用勾股定理求出直角三角形斜边长度． 分层练习 一、单选题 1．已知一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定k的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数图象经过第一、三象限或第一、三、四象限， 当函数图象只经过第一、三象限时，则， 解得：， 当函数图象经过第一、三、四象限时，，， 解得：； 综上分析可知，，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；k时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 2．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第二、三、四象限 C．的值随值的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】代入x＝−1求出y值，进而可得出点（−1，0）不在一次函数y＝−2x＋2的图象上，结论A不正确；由k＝−2＜0，b＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝−2x＋2的图象经过第一、二、四象限，结论B不正确；由k＝−2＜0，利用一次函数的性质可得出y的值随x的增大而减小，即结论C不正确；代入x＝1求出y值，结合y的值随x的增大而减小，可得出当x＞1时，y＜0，即结论D正确． 【详解】解：解：A、当x＝−1时，y＝−2×（−1）＋2＝4， ∴函数y＝−2x＋2的图象经过点（−1，4），选项A不符合题意； B、∵k＝−2＜0，b＝2＞0， ∴函数y＝−2x＋2的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意； C、∵k＝−2＜0， ∴y的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意； D、当y＜0时，−2x＋2＜0，解得：x＞1， ∴当x＞1时，y＜0，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 3．一次函数y＝kx+m的图象如图所示，若点(0，a)，(﹣2，b)，(1，c)都在函数的图象上，则下列判断正确的是(   ) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】由一次函数y＝kx+m的图象，可得y随x的增大而减小，进而得出a，b，c的大小关系． 【详解】解：由图可得，y随x的增大而减小， ∵﹣2＜0＜1， ∴c＜a＜b， 故选B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 4．已知一次函数，当时，，且它的图象与y轴交点的纵坐标是，那么该函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查求函数解析式，利用待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：直线过点， 将点代入中，得， 解得， 故该函数的表达式是． 故选C． 5．如图，直线y=kx+b过A(-1,2),B(-2,0)两点,则0≤kx+b≤-2x的解集为(     ) A．x≤-2或x≥-1 B．0≤y≤2 C．-2≤x≤0 D．-2≤x≤-1 【答案】D 【分析】先确定直线OA的解析式为y=-2x，然后观察函数图象得到当-2≤x≤-1时，y=kx+b的图象在x轴上方且在直线y=-2x的下方． 【详解】解：直线OA的解析式为y=-2x， 当-2≤x≤-1时，0≤kx+b≤-2x． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6．如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数图象的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式 【分析】根据函数图象确定A点和B点的坐标，代入一次函数解析式，即可求出． 【详解】试题解析: 设这个一次函数的解析式为y=kx+b. ∵这条直线经过点B(1,2)和点A(0,3)， 解得 故这个一次函数的解析式为: 即：x+y−3=0. 故选D. 二、填空题 7．设一次函数y=kx+3． 若当x=2时，y=－1，则k= 【答案】-2 【知识点】求一次函数解析式 【分析】把x=2时，y=-1代入一次函数y=kx+3，解得k的值即可． 【详解】解：把x=2时，y=-1代入一次函数y=kx+3得 -1=2k+3，解得k=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式．一般函数解析式中有几个常量不知道，就需要代入几个函数上的点就可以求出函数解析式． 8．直线向下平移3个单位长度得到的直线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】利用一次函数平移规律“左加右减，上加下减”即可得． 【详解】解：∵直线y=−3x+6向下平移3个单位长度， ∴平移后得到的直线解析式是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的平移，解题的关键是牢记平移规律． 9．如果把直线y＝x+1沿y轴向上平移2个单位，那么得到的直线的表达式为 ． 【答案】y＝x+3 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据一次函数“上加下减”的性质分析即可． 【详解】解：将函数y＝x+1向上平移两个单位，得： y＝x+1+2＝x+3， 即平移后的直线的表达式为：y＝x+3． 故答案为：y＝x+3． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 10．将一次函数的图像沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图像的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答． 【详解】解：由上加下减”的原则可知，将一次函数的图像沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图像的函数表达式为：． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 11．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题需注意在计算平面直角坐标系中的三角形面积时，用不确定的未知字母来表示线段长时，应该使用该字母的绝对值表示．直线与轴的交点为，与轴的交点是，由题意得，求解即可． 【详解】∵直线与轴的交点为，与轴的交点是，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．一次函数的图象如图所示，当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是 ．    【答案】0＜y＜4． 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝﹣3和x＝3时y的值，再利用一次函数的性质，即可得出当﹣3＜x＜3时y的取值范围． 【详解】解：当x＝﹣3时，y＝﹣x+2＝4； 当x＝3时，y＝﹣x+2＝0． ∴当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是0＜y＜4． 故答案为：0＜y＜4． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，分别求出当x=−3和x=3时y的值． 13．已知一次函数的图像经过点A（0,2）和点B（2，－2）：（1）求出y关于x的函数表达式为 ；（2）当－2＜y＜4时，x的取值范围是 ． 【答案】 y=－2x+2 －1＜x＜2 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【详解】试题分析：将A、B两点坐标代入一次函数解析式，求出解析式；分别将y=－2和y=4代入一次函数求出x的值，得到x的取值范围. 考点：一次函数的性质. 14．如图，放置的，都是边长为4的等边三角形，点A在x轴上，点，都在正比例函数的图象l上，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、一次函数的规律探究问题 【分析】根据等边三角形的性质可得出、且直线l的解析式为，进而可得出点、、、…的坐标，根据坐标的变化即可得出变化规律“”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：∵△OAB，△B1A1B1，△B2A2B2，都是边长为4的等边三角形， ∴，且直线l的解析式为， 过B1作B1D⊥轴于D， ∴OD=OB1=2，即点B1的横坐标为，纵坐标为， ∴B1的坐标为(，)， 同理 ，…， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 15．如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 ．    【答案】8或18 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、列一次函数解析式并求值 【分析】先利用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的表达式，然后将分别代入两个表达式中，即可求出x的值． 本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数和反比例函数的表达式，以及已知因变量的值求相应的自变量的值，熟练掌握待定系数法及数形结合法是解题的关键． 【详解】解：设时，正比例函数的表达式为， 则， 解得， ∴正比例函数的表达式为． 设时，反比例函数的表达式为， 则， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 当时，把代入得， ， 解得． 当时，把代入得， ， 解得． 综上，当时，x的值是8 或18． 故答案为：8或18． 16．如图，点为函数（）图象上一点，连结，交函数（）的图象于点，点是轴上一点，且，则三角形的面积为 .    【答案】12 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、三线合一 【分析】设点A的坐标为，点B的坐标为，由可得点C的坐标为，根据点B在直线上，可得A、B的横坐标之间的关系， 最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为，点B的坐标为， 点是轴上一点，且， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， ， ， （负值不合题意，舍去）， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数，正比例函数，三角形面积等，解题的关键是求出A、B的横坐标之间的关系． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，过点P作轴交直线于点Q，连接，已知，则点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与几何综合 【分析】过A作AC⊥PQ，由等腰三角形的三线合一可得C为PQ的中点，设Q的纵坐标为m，由解析式可表示出P，Q的横坐标，由中点坐标公式可得m的值，进而求出P点坐标． 【详解】解：过A作AC⊥PQ，垂足为C， ∵一次函数的图象与x轴交于点A， ∴A（2，0）， ∵轴， ∴P和Q点的纵坐标相同， ∵P在一次函数的图象上，Q在直线上， ∴设Q的纵坐标为m，则Q(m，m)，P(，m），C(2，m)， ∵，AC⊥PQ， ∴PC=QC， ∴2=， 解得m=3， ∴P（1，3）， 故答案为：（1，3）. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质—三线合一，中点坐标公式，一次函数等知识，表示出P、Q的横坐标并运用中点坐标公式是解题的关键． 18．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 三、解答题 19．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点．点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求一次函数解析式； (2)在反比例函数第三象限的图像上找一点，使点到直线的距离最短，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】（1）先利用反比例函数求出，的坐标；再利用一次函数与反比例函数的交点可以求出一次函数的解析式 (2) 过点作直线，当直线与反比例函数的图像只有一个公共点时，点到直线的距离最短，构建方程组把问题转化为一元二次方程，利用判别式等于零，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵的横坐标是，反比例函数经过点 ∴将代入中 ∴ ∴ ∵点的纵坐标为，反比例函数经过点 ∴将1代入中 ∴ ∴ ∴将，代入一次函数 ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为： （2）解：如图所示，过点作直线 ∵当直线与反比例函数的图像只有一个公共点时，点到直线的距离最短 ∴设直线的解析式为：， ∴由 ∴解得： ∴由题意得 ∴或(舍去) ∴解方程得： ∴解得： ∴ ∴ 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元一次方程的根的判别式等知识，理解题意、灵活运用知识点解决问题是解题的关键． 20．（1）在同一坐标系中画出函数和的图象； （2）若两函数图象分别与x轴交于点A、B，求两函数图象与x轴围成的的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了两直线相交问题． （1）根据描点法画出图象即可； （2）联立两个方程得出两直线交点点C的坐标，利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）令，和， 令，和，解得和 ∴直线经过点，， 直线经过点，， 画出函数和的图象如图： ； （2）联立，解得， ∴的面积． 21．某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律．    (1)求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式． (2)若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少？（）． 【答案】(1) (2)95元 【知识点】求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设函数解析式为，将，代入即可； （2）每千克利润乘以销售量即为总利润；根据某月获得的利润等于1350元，求出的值即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， 与销售单价之间的函数关系式为． （2）根据题意得：； 解得， 解得，（舍去）． 答：销售单价为95元． 【点睛】本题一元二次方程及一次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数和方程模型，难度不大． 22．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． (1)每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； (2)平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； (3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】(1) (2) (3)每顶头盔应降价20元 【知识点】求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据利润售价进价，列出代数式即可； （2）利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式； （3）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 故答案为：； （3）解：根据题意得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每顶头盔应降价20元． 23．某商店以30元/千克的单价新进一批商品．经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示． (1)求y与x的函数解析式； (2)要使利润达到600元，销售单价应定为每千克多少元? 【答案】(1) (2)要使销售利润达到600元，销售单价应定为每千克40元或90元 【知识点】求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据销售利润达到600元，及“总利润=（销售单价-进价）×销售数量”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 把，代入，得，解得， ∴与的函数解析式为． （2）解：由题意得：， 解得，， 答：要使销售利润达到600元，销售单价应定为每千克40元或90元． 【点睛】本题主要考查求一次函数的解析式、一元二次方程的应用等知识点，正确求得一次函数的解析式是解题的关键． 24．某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业x天累计生产服装的数量为y件，y与x之间的关系如图所示．    (1)这批服装一共有__________件，点A的实际意义是__________； (2)求增加工人后y与x的函数表达式； (3)已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70元，从第6天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去成本） 【答案】(1)800，该企业前5天累计生产服装200件 (2) (3)前10天 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、用一元一次不等式解决实际问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800件，点表示该企业前5天累计生产服装200件； （2）设增加工人后与的函数表达式为，把、代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可； （3）设前天的总利润恰好为13500元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可知，这批服装一共有800件，点表示该企业前5天累计生产服装200件， 故答案为：800，该企业前5天累计生产服装200件； （2）解：设增加工人后与的函数表达式为， 将、代入，得， 解得， ∴； （3）解：设前天的总利润恰好为13500元． 当时，，不符合题意； 当时，， 解得， 答：前10天的总利润恰好为13500元． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，不等式的应用，理解题意，找准等量关系是解题的关键． 25．如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】（1）由点为线段的中点，可得点坐标为，进而可知点坐标为：，代入解析式即可求出； （2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由即可证明； ②设点，由可得，进而求出直线解析式和反比例函数解析式，联立求出点坐标，最后求的面积即可． 【详解】（1）解：点为线段的中点，， ，即点坐标为， 又轴，， ， 把代入可得：， ； （2）解：①在为等腰直角三角形中，，， ， ∵过点A、B分别作y轴的垂线、， ，， ， 在和中， ， ∴， ②解：设点坐标为，则，， ∵， ，， ， 设直线解析式为：，将两点代入得： 则． 解得， 当时，，，，符合； 当时，，，，不符，舍去； ∴， ∴， ∴直线解析式为， 把代入可得：， ∴反比例函数， 联立，解得或， ∴， 过作轴于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键． 26．请直接在平面直角坐标系中画出函数y=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题： （1）函数图象不经过第象限． （2）将y=2x-2的图象向下平移后经过点M（1，-3），求平移后的函数解析式． 【答案】（1）二；（2）y=2x-5； 【知识点】一次函数图象平移问题、画一次函数图象 【分析】用两点法画出图像即可； （1）根据图像解答即可； （2）设平移后的函数解析式为y=2x+b，把（1，-3）代入即可求解. 【详解】当x=0时，y=-2； 当y=0时，2x-2=0，x=1. （1）由图像可知，函数图像不经过第二象限； （2）设平移后的函数解析式为y=2x+b，把（1，-3）代入，得 2+b=-3， ∴b=-5， ∴y=2x-5. 【点睛】本题考查了两点法画一次函数图像，一次函数的图像与性质以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解答本题的关键. 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交于点． (1)求m的值与一次函数解析式； (2)如图，一动直线分别与两直线交于P，Q两点，若，求t的值； (3)在y轴上是否存在点M，使得是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，且点或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了一次函数交点的应用，待定系数法求一次函数的解析式，分类计算线段的长度；分类判定等腰三角形． (1)根据正比例函数过点，确定点，设一次函数的解析式为，构建方程组解答即可． (2)根据正比例函数，一次函数，设，，根据，得到，求解即可． (3)根据一次函数，确定，计算，分别以B为圆心，A为圆心，5为半径画弧，与y轴的交点就是所求的点M，利用等腰三角形的性质，确定坐标即可． 【详解】（1）∵正比例函数过点， ∴， 解得， 故点， 设一次函数的解析式为， ∴， 解得， 故一次函数的解析式为． （2）∵正比例函数，一次函数，直线分别与两直线交于P，Q两点， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或． （3）存在，且点或或．利用如下： ∵一次函数与y轴交于点B，， ∴， ∴， 故以B为圆心，5为半径画弧，与y轴的交于点， ∴ 解得， 故点，； 以A为圆心，5为半径画弧，交y轴于点，根据等腰三角形三线合一性质，得到， 故， 综上所述，存在这样的点M，且点或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$