第16章 二次根式 章节整合练习（11个知识点+40题练习） - 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第16章 二次根式 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点11．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 章节题型整合练习 一、二次根式 1．（23-24八年级下·广东惠州·期末）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 3．（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列4个算式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算： 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算：； 9．（23-24八年级下·河北承德·期中）计算 ． 10．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 11．（21-22八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 12．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，，D为线段上一点，连接，且，于点E，F是的中点，连接．    (1)若，，求的长； (2)若，求证：． 13．（22-23八年级下·云南昆明·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的式子是 ． 14．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 15．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 16．（23-24八年级下·河南郑州·期中）写出一个能与合并的最简二次根式： ． 17．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)． 19．（22-23八年级下·河南漯河·期末）在下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 21．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算的结果是 ． 22．（24-25八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 23．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 24．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 25．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为32和2的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．6 D．12 26．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．    二、有理数 27．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 28．（24-25八年级下·全国·期末）实数a、b在数轴上位置如图，化简： ． 三、代数式 29．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 30．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 31．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 32．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 33．（22-23八年级下·广西钦州·期中）已知，，则代数式的值为 ． 34．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 四、实数 36．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 37．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 38．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 39．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 五、分式 40．（22-23八年级下·四川成都·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点11．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 章节题型整合练习 一、二次根式 1．（23-24八年级下·广东惠州·期末）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、是二次根式，A符合题意； B、，不是二次根式，B不符合题意； C、不是二次根式，C不符合题意； D、不是二次根式，D不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【知识点】求二次根式中的参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 3．（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数x有可能为负数，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数3为正数，所以是二次根式，故此选项不符合题意； D、根指数为3，所以不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列4个算式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘除法．根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后选择正确选项． 【详解】解：（1），原计算错误； （2），原计算错误； （3），原计算正确； （4），原计算错误． 正确的只有（3）． 故选：C． 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的除法运算，先算除法再化简即可． 【详解】， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算：； 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 9．（23-24八年级下·河北承德·期中）计算 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 10．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故选：A． 11．（21-22八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 12．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，，D为线段上一点，连接，且，于点E，F是的中点，连接．    (1)若，，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先求解，再求解，，再结合勾股定理可得答案； （2）过C点作，交的延长于点G，根据平行线性质可推出，先证明，即有，再证明，得到问题得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：如图，过C点作，交的延长于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∵的中点为F， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，勾股定理的应用，化为最简二次根式等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键． 13．（22-23八年级下·云南昆明·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的式子是 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是最简二次根式； 故答案为：． 14．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 15．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 16．（23-24八年级下·河南郑州·期中）写出一个能与合并的最简二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，正确理解其概念是解题的关键． 同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴能与其合并的最简二次根式可以是． 故答案为：（答案不唯一） ． 17．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式．先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 【详解】解：A．，不能与合并，故本选项不符合题意； B．的被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； C．，其被开方数是，能与合并，故本选项符合题意； D．，其被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 18．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除进行计算即可； （2）根据二次根式的加减以及零次方幂进行计算； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．（22-23八年级下·河南漯河·期末）在下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的化简，加减运算，乘法运算，根据运算公式，性质化简计算即可． 【详解】A．，原选项错误，不符合题意； B．，原选项错误，不符合题意； C．，原选项错误，不符合题意； D．，原选项正确，符合题意； 故选D． 20．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 21．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用平方差公式计算，再进行约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式， ， 23．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 25．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为32和2的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是求出阴影部分的长和宽，准确运用二次根式乘法法则进行计算． 根据正方形面积求出阴影部分的长和宽，再求面积即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 26．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．    【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的是二次根式的应用，利用二次根式的性质和正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，进而求出长方形木板的长和宽，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：面积为和的正方形木板边长分别为 ， ∴原来长方形的长为，宽为， ∴原来长方形的面积为， 故答案为：． 二、有理数 27．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 28．（24-25八年级下·全国·期末）实数a、b在数轴上位置如图，化简： ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先根据数轴确定的正负，然后运用绝对值、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴， ∴． 故答案为：． 三、代数式 29．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求二次根式的值、多项式除以单项式、程序流程图与代数式求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式； （2）把已知数据代入求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时， ， ∴输出的结果是． 30．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【知识点】求二次根式中的参数、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 31．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【知识点】积的乘方的逆用、二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 32．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)14 (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值 （1）先计算出， 再利用完全平方公式得到，进而即可得解； （2）由（1）知出，再算出，然后利用平方差公式化简即可得解； 熟练掌握二次根式的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）知 ， ∵， ． 33．（22-23八年级下·广西钦州·期中）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式化简求值，现将整式化为，代值计算，即可求解；能将整式进行因式分解化简是解题的关键． 【详解】解：原式， 当，时， 原式 ． 34．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 35．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】比较二次根式的大小、运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 四、实数 36．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式运算及实数大小比较，先平方得，求出，比较大小得，即可求解；能熟练进行无理数运算及大小比较是解题的关键． 【详解】解：设， 两边平方得 ， 所以， 又因为， 所以． 37．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式，先根据得出a，b的值，再将变形为，将a，b的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是a，小数部分是b， ，， ， 故答案为：． 38．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算、比较二次根式的大小、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较与，与的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 39．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】D 【知识点】二次根式的混合运算、比较二次根式的大小、无理数的大小估算 【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的结果在和之间． 故选：D． 五、分式 40．（22-23八年级下·四川成都·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 学科网（北京）股份有限公司 $$