专题6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 利用向量关系研究几何图形的性质 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 2．（24-25高一下·天津和平·阶段练习）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B．与共线 C．与共线 D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：. 4．（24-25高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    题型2 向量共线定理及其应用 1．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 2．（23-24高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 4．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 题型3 向量线性运算的几何应用 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 2．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 4．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 题型4 向量的夹角（夹角的余弦值）问题 1．（23-24高一下·北京通州·期中）已知两个单位向量，满足，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北·期末）已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知向量与满足，，与的夹角为. (1)当为何值时，； (2)求向量与向量的夹角的余弦值. 4．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，且与的夹角为 (1)求 与的夹角； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数k的取值范围. 题型5 向量共线、垂直的坐标表示 1．（23-24高一下·福建宁德·期中）已知平面向量，，，若，，则（    ） A．6 B． C．2 D． 2．（2024·四川宜宾·二模）已知向量，向量满足，，则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量. (1)若，求； (2)若，求，并求出向量与的夹角. 4．（23-24高一下·甘肃·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 题型6 向量坐标运算的几何应用 1．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 4．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 题型7 用向量解决夹角、线段的长度问题 1．（2024·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 3．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 4．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 题型8 向量与几何最值问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24高一下·北京·期中）如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 题型9 正、余弦定理判定三角形形状 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 2．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 题型10 三角形面积的最值或范围问题 1．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏无锡·期中）从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答． 在中，三边分别是角的对边， 若______. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值． 4．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形中，. (1)若，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 题型11  求求求 1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 4．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且． (1)求的值； (2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围． 题型12 距离、高度、角度测量问题 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 4．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 利用向量关系研究几何图形的性质 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【解题思路】根据向量条件可判断四边形为正方形，据此判断各选项. 【解答过程】四边形中，则其为平行四边形， 若同时满足，即邻边相等，就是菱形， 最后，即对角线相等，就满足了矩形的条件. 于是三项都满足的四边形为正方形，故A，B，D正确，C错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·天津和平·阶段练习）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B．与共线 C．与共线 D． 【解题思路】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可. 【解答过程】四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形， ，即三点共线， ，， 即，，与共线，ABD正确； 对于C：若与共线，则必有，即，该条件不一定成立， 如时，，故与共线不一定成立， 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：. 【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出. 【解答过程】证明：由可知且， 所以四边形为平行四边形， 从而. 又M，N分别是，的中点，于是. 所以且. 所以四边形是平行四边形. 从而. 4．（24-25高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【解题思路】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明. 【解答过程】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，． 所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形． 即证. 题型2 向量共线定理及其应用 1．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【解题思路】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确. 【解答过程】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D. 2．（23-24高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【解题思路】利用共线向量定理列式计算即得. 【解答过程】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【解题思路】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【解答过程】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C， 故三点共线. 4．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点． (1)记向量，，试以向量，为基底表示，； (2)若，求m，n的值； (3)求证：A，G，H三点共线． 【解题思路】（1）根据向量的减法法则结合题意求解； （2）对结合（1）化简用，表示，而，然后列方程组可求得结果； （3）设，，由，，用用，表示，列方程组求出，从而可得，进而证得结论. 【解答过程】（1）因为在中，E，H分别是AD，BC的中点，， 所以， ． （2）由（1）知，， 所以， 因为，所以，解得； （3）， 设，，则 ， 又， 所以，解得，所以， ∴， ∴，即A，G，H三点共线． 题型3 向量线性运算的几何应用 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【解题思路】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【解答过程】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【解答过程】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B. 3．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【解题思路】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【解答过程】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以， 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 4．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 题型4 向量的夹角（夹角的余弦值）问题 1．（23-24高一下·北京通州·期中）已知两个单位向量，满足，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先同平方求出，再利用向量夹角公式即可. 【解答过程】，两边同平方有， 即，解得，则， 又因为，所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·湖北·期末）已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解. 【解答过程】因为 ， ，， 又与的夹角为， 所以，即， 解得：. 故选：D. 3．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知向量与满足，，与的夹角为. (1)当为何值时，； (2)求向量与向量的夹角的余弦值. 【解题思路】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可根据数量积的运算律求解， （2）根据模长公式求解长度，即可由夹角公式求解. 【解答过程】（1），, ，， ，解得， 当时，. （2）， ， . 4．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，且与的夹角为 (1)求 与的夹角； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数k的取值范围. 【解题思路】（1）先求出再由向量的夹角公式求解即可； （2）由题意得，且向量与不共线，从而可求出实数k的取值范围. 【解答过程】（1）设与的夹角为θ， 因为，且与的夹角为 所以，， 所以 ， 因为，所以 ； （2）因为向量与的夹角是锐角， 所以，且向量与不共线， 由，得， 所以，即， 解得或， 当与共线时，设， 因为与不共线，所以，解得或， 当时，当时，， 综上，. 题型5 向量共线、垂直的坐标表示 1．（23-24高一下·福建宁德·期中）已知平面向量，，，若，，则（    ） A．6 B． C．2 D． 【解题思路】由向量平行和垂直的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为， 所以， 又， 所以， 所以， 故选：D. 2．（2024·四川宜宾·二模）已知向量，向量满足，，则（　　） A． B． C． D． 【解题思路】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解. 【解答过程】设，则， 由，得， 又，得，即， 联立，解得. . 故选：C. 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量. (1)若，求； (2)若，求，并求出向量与的夹角. 【解题思路】（1）由得，解出的值，得到，进而得到； （2）由，解出的值，得到，由公式，再结合夹角的范围得到出向量与的夹角. 【解答过程】（1），因为， 所以， 解得，此时， 所以. （2），因为， 所以，解得， 此时， ，，， 所以， 又因为， 所以向量与的夹角. 4．（23-24高一下·甘肃·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【解题思路】（1）用向量垂直的坐标结论求出，再用模公式求解即可； （2）用向量平行的坐标结论求出，再用夹角的坐标公式求解即可； 【解答过程】（1）因为，，所以. 由，可得， 即，解得， 所以，故. （2）依题意得. 因为，所以 解得，则. ，，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 题型6 向量坐标运算的几何应用 1．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】以为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积. 【解答过程】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，      则有，，,为弧上的点且，则， ， . 故选：A. 2．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【解答过程】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 3．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【解题思路】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 4．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的垂直表示建立方程，解之即可求解. 【解答过程】（1）设，又、、， ，. 又四边形是平行四边形，所以， ， 即解得 顶点A的坐标为. （2）存在. 由（1）可知，，，， 设，则. 又，， 解得，，即. 题型7 用向量解决夹角、线段的长度问题 1．（2024·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【解答过程】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 2．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【解答过程】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.    则 ， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是6. 故选：D. 3．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【解题思路】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【解答过程】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 4．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【解题思路】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【解答过程】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 题型8 向量与几何最值问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解题思路】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可. 【解答过程】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D. 2．（23-24高一下·北京·期中）如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】设的反向延长线与单位圆交于点，得出，求出到圆心的距离的最值后根据圆的性质可得． 【解答过程】如图，的反向延长线与单位圆交于点，则， ， 所以， 又由题意的最大值是，最小值是2，而在单位圆上， 因此的最大值是，最小值是，即所求值域是． 故选：B．    3．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【解题思路】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果； （2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 【解答过程】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以 ， 所以 . （2）因为，所以， 因为 ， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 【解题思路】（1）根据向量的加减法运算，可得答案； （2）建立平面直角坐标系，求得相关各点坐标，表示出P点坐标，进而表示出，求得其模的表达式，结合二次函数的性质，求得答案. 【解答过程】（1）由题意得：两个正六边形全等， , 则, 故由，可得 ； （2）如图，以O为坐标原点，FC为x轴，OI为y轴建立平面直角坐标系， 则,则 , 由于直线OD的方程为 ，故设P点坐标为 ， 则 ， 所以， 则， 由于，此时函数为增函数， 故当时，取到最大值为144， 所以的最大值为12. 题型9 正、余弦定理判定三角形形状 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【解题思路】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可. 【解答过程】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【解题思路】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解． 【解答过程】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误. 故选：D. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用诱导公式及和差角的正弦公式化简即可得解. （2）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦及诱导公式求解即得. 【解答过程】（1）在中，，由， 得，整理得， 则或，而，于是或， 所以是等腰三角形或直角三角形. （2）在中，由及正弦定理得，即， 而，因此，即， 由，得， 因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【解题思路】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【解答过程】（1）∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. （3）因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 题型10 三角形面积的最值或范围问题 1．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【解题思路】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，从而求出，由重要不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【解答过程】因为， 由正弦定理可得，即，即， 所以，又，则， 又因为，，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为，当且仅当时取得. 故选：A． 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【解答过程】 且， , 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ， ， ，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形， ，， ，， ， . 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏无锡·期中）从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答． 在中，三边分别是角的对边， 若______. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值． 【解题思路】（1）条件①，化简得到，求得，进而求得的值； 选条件②，由正弦定理得到，结合余弦定理，求得，即可求解； 选条件③：化简得到，求得，即可求解； （2）由（1）和由余弦定理得，得到，结合面积公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：若选条件①，由， 可得，即， 因为，所以，可得， 因为，可得，所以，所以，可得. 若选条件②，由， 根据正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以. 若选条件③：由，可得， 即， 因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：由（1）知：且， 又由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，所以， 则，所以面积的最大值为. 4．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形中，. (1)若，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【解题思路】（1）在中，先求出，再在利用正弦定理求出，利用大角对大边进行取舍； （2）把四边形的面积用题干中给出的变量进行表示，求解最值即可. 【解答过程】（1）解：由已知，得， 所以，所以. 在中，因为，所以，又， 由正弦定理得，得， 因为，所以，所以，所以. （2）在中，由已知， 所以， 由余弦定理 ， 在中，因为， 又，所以 所以 ， 所以四边形的面积， 因为，所以，当，即时，， 故四边形面积的最大值为. 题型11  求求求 1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据正弦定理和条件化简得到，把转化为角求解可得答案. 【解答过程】因为，所以， 整理可得，即有. 又，所以，解得，所以， 于是 . 因为三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【解答过程】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用和差公式化简即可得解. （2）方法一：利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；方法二：利用正弦定理将b表示为关于角的函数，利用正切函数性质求出b的范围，由余弦定理用b表示c，然后表示出，根据函数单调性可解. 【解答过程】（1）因为， 所以 ， 方法一：利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. 方法二：由和差公式可得， 又因为，所以， 又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 方法一：所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 方法二：所以，所以， 又，所以， 由余弦定理得， 记， 易知在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为. 4．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且． (1)求的值； (2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）在中，可得，，在中，利用正弦定理结合三角函数可得，进而可得结果. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理可得， 则，整理得， 由正弦定理可得，即， 且，所以. （2）在中，由题意可知：，， 可知， 由余弦定理可得，即， 在中，由正弦定理， 可得， 因为且为锐角三角形，则，解得， 则，可得，所以， 且三角形周长为， 所以三角形周长的取值范围为. 题型12 距离、高度、角度测量问题 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【解答过程】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 【解题思路】求出，再利用正弦定理得，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】根据题意，可得，， 在中，. 在中，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在中，，，所以. 故选：A. 3．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【解题思路】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【解答过程】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 4．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【解题思路】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【解答过程】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$