章末综合检测(一)平面向量及其应用（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末综合检测(一) (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知a＝(－3，－2)，b＝(4，4)，则|2a＋3b|＝(　　) A．10 B．5 C．6 D．8 解析：选A.因为a＝(－3，－2)，b＝(4，4)，则2a＋3b＝(－6，－4)＋(12，12)＝(6，8)，所以|2a＋3b|＝＝10. 2．已知e1，e2是不共线的单位向量，若a＝e1＋2e2，b＝λe1－e2，且a∥b，则λ＝(　　) A．2 B．－2 C．－ D． 解析：选C.因为a∥b，设a＝tb(t∈R)，则e1＋2e2＝t(λe1－e2)，即解得 3．已知△ABC中，点D，E满足＝，＝2，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a－3b B．－a＋3b C．5a－3b D．－5a＋3b 解析：选A.由＝得＝a，则＝2＝2a，＝－＝a－b，又＝2，所以＝3＝3(a－b)，则＝＋＝3(a－b)＋(－2a)＝a－3b. 4．在△ABC中，若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状为　(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形 解析：选C.在△ABC中，由＝，可得＝，所以＝.又因为a2tanB＝b2tan A，所以＝，所以＝，所以sinA cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是(　　) A．x>2 B．x<2 C．2<x<2 D．2<x<2 解析：选C.依题意，a>b，即x>2，由sin A＝＝<1，得x<2，所以x的取值范围是2<x<2. 6．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90 m到达B点(A，B，C，P，Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P的仰角为60°，则鼎湖峰的山高PQ为(　　) A.96－32 m B．60 m C．45(＋) m D．45(－) m 解析：选C.由题知，∠PAQ＝45°，∠BAQ＝15°，则∠PAB＝30°，∠APQ＝45°， 又∠PBC＝60°，所以∠BPC＝30°， 所以∠BPA＝15°，∠PBA＝135°， 在△ABP中，AB＝90, 根据正弦定理有＝， 且sin 15°＝sin (60°－45°) ＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝， 则AP＝＝＝＝， 在Rt△PAQ中，PQ＝AP sin 45°＝×＝45(＋). 所以山高PQ为45(＋) m． 7．已知Rt△ABO的面积为4，O为直角顶点，设向量a＝，向量b＝，向量＝a＋2b，则·的最大值为(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 解析：选B.由题知，以O为原点，OA，OB分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 设A(m，0)，B(0，n)， 且m>0，n>0， 则mn＝8， 则a＝＝(1，0)，b＝＝(0，1)， ＝a＋2b＝(1，2)， 所以P(1，2)，＝(m－1，－2)， ＝(－1，n－2)， 所以·＝5－(m＋2n)≤5－2＝－3， 当且仅当m＝2n，即n＝2，m＝4时取等号． 故·的最大值为－3. 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，b＝4，C＝2B，则△ABC的面积为(　　) A． B． C．3 D．2 解析：选C.因为＝， sin C＝sin 2B＝2sin B cos B， 所以c＝＝＝2b cos B， 即cos B＝， 由余弦定理的推论得cos B＝＝， 解得c＝2，所以cos B＝， 因为B∈(0，π)， 所以sin B＝＝＝， 所以S△ABC＝ac sinB＝×6×2×＝3. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．关于非零向量a，b的说法中，正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a＝－b，则a∥b C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．若|a|>|b|，则a>b 解析：选BC.对于A，两个非零向量的模相等，可能方向不相同，所以A错误；对于B，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B正确；对于C，非零向量a，b，若a∥b，b∥c，则a∥c成立，所以C正确；对于D，向量不能比较大小，所以D错误． 10．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且a＝3，b＝，c＝，则下列结论正确的是(　　) A．△ABC是锐角三角形 B．B＝ C．△ABC的面积为 D．AB的中线长为 解析：选BC.对于A，由题意可知a边最大，所以角A为△ABC的最大内角，易知cos A＝＝＝－<0，因此角A为钝角，A错误；对于B，易知cos B＝＝＝，又B∈(0，π)，可得B＝，B正确；对于C，由S△ABC＝ac sin B＝×3××＝，可得△ABC的面积为，C正确；对于D，设AB的中线为CD，易知CD2＝a2＋2－2a×cos B＝9＋－3＝，可得CD＝，D错误． 11．我们知道正、余弦定理推导的向量法，是在△ABC中的向量关系＋＝的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系．如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠ADE＝θ，则下列结论正确的有(　　) A．a2＋b2＋c2＝2ab cos C＋2bc cos A＋2ac cos B B．c cos A＋a cos C＝b C．a sin (B－θ)＋b sin (A＋θ)＝c sin θ D．a cos (B－θ)＋b cos (A＋θ)＝c cos θ 解析：选ABD.对于A，由余弦定理知，b2＋c2－a2＝2bc cos A，a2＋c2－b2＝2ac cos B，a2＋b2－c2＝2ab cos C，上述三个等式相加得a2＋b2＋c2＝2ab cos C＋2bc cos A＋2ac cos B，A正确；对于B，因为sin C cos A＋sin A cos C＝sin (A＋C)＝sin B，所以c cos A＋a cos C＝b，B正确；对于C，当θ＝时，式子左边＝－a cos B＋b cos A，右边＝c，由sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B得c＝a cos B＋b cos A，此时，只有当cos B＝0时，等式才成立，由于角B的任意性，所以等式不一定恒成立，C错误；对于D，设m＝，则|m|＝1，则〈m，〉＝π－(A＋θ)，〈m，〉＝π－(B－θ)，〈m，〉＝π－θ，因为＝＋，所以m·＝m·＋m·，即|m|||·cos (π－θ)＝|m|·||cos [π－(A＋θ)]＋|m|·||cos [π－(B－θ)]，整理得c cos θ＝b cos (A＋θ)＋a cos (B－θ)，D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．设向量a，b满足|a|＝4，|b|＝9，〈a，b〉＝，则a·(a－b)＝________． 解析：a·(a－b)＝a2－a·b＝16－4×9×＝16－18. 答案：16－18 13．如图，在△ABC中，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋(m∈R)，则m的值为________． 解析：因为＝2，即＝， 所以＝m＋＝m＋，又C，P，D三点共线，所以m＋＝1，解得m＝. 答案： 14．已知在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，则该平面四边形ABCD面积的最大值为_________． 解析：连接AC(图略)，由余弦定理得， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D， 即12＋22－2×1×2×cos B＝42＋32－2×4×3×cos D， 即6cos D－cos B＝5， 又四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ADC＝AB·BC·sin B＋AD·DC·sin D ＝×1×2sin B＋×4×3sin D＝sin B＋6sin D， 则S2＋52＝(sin B＋6sin D)2＋(6cos D－cos B)2 ＝37＋12(sin B sin D－cos B cos D) ＝37－12cos (B＋D)， 即S2＝12－12cos (B＋D)≤24，即S≤2，当且仅当B＋D＝π时，等号成立， 所以平面四边形ABCD面积的最大值为2. 答案：2 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)已知向量a＝(2，3)，b＝(1，2)，c＝ka＋b(k∈R). (1)若向量c与a－3b共线，求实数k的值；(6分) (2)若向量c与b的夹角为锐角，求实数k的取值范围．(7分) 解：(1)由题意可得c＝ka＋b＝(2k＋1，3k＋2)，a－3b＝(2，3)－3(1，2)＝(－1，－3)， 若向量c与a－3b共线， 可得－3(2k＋1)＋3k＋2＝0，解得k＝－. (2)若向量c与b的夹角为锐角可得c·b>0，且c与b不共线， 即可得 解得k>－且k≠0， 即实数k的取值范围为. 16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b cos A－c)＝b sin A. (1)求B；(7分) (2)若a＝2，b＝，求△ABC的面积．(8分) 解：(1)方法一：由(b cos A－c)＝b sin A和正弦定理可得sin B cos A－sin C＝sin B sin A， 又sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B) ＝sin A cos B＋cos A sin B， 则sin B cos A－sin A cos B－cos A sin B＝sin B sin A， 化简得－sin A cos B＝sin B sin A， 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0， 可得tan B＝－， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 方法二：在△ABC中，c＝b cos A＋a cos B，所以b cos A－c＝－a cos B，因为(b cos A－c)＝b sin A，所以－a cos B＝b sin A，根据正弦定理可得－sin A cos B＝sin B sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，可得tan B＝－，因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 可得7＝4＋c2＋2c， 即c2＋2c－3＝0，解得c＝1或c＝－3(舍去)， 故△ABC的面积为ac sin B＝×2×1×＝. 17．(本小题满分15分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，AC与EF交于点G，记＝a，＝b. (1)试用基底{a，b}表示，；(7分) (2)记△ABC的面积为S1，△CEG的面积为S2，求的值．(8分) 解：(1)由题图可知＝＋， 因为AB∥CD，AB＝2CD， 所以＝＋＝a＋b. 因为＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＝－＝a－b. (2)方法一：由AC与EF交于点G， 可设＝λ，＝μ(λ，μ∈(0，1)). 则＝－＝λ－(＋) ＝λ－＝a＋(λ－1)b， μ＝a－b， 则解得 设△ABC边AB上的高为h1，△CEG边CE上的高为h2， 则＝＝6，则＝＝18. 方法二： 如图所示，延长EF，与AB的延长线交于点M，设DE＝x，因为＝，所以CE＝2DE＝2x，CD＝3x，AB＝2CD＝6x.因为AB∥CD，所以BM∥CE，所以△BMF∽△CEF.因为＝，所以＝2，所以＝＝2，即BM＝2CE＝4x，所以AM＝10x.因为AM∥CE，所以△AMG∽△CEG，所以＝＝＝5，即AG＝5CG，所以AC＝6CG，又∠CAB＝∠ECG，所以＝＝＝18. 18．(本小题满分17分)如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离为60海里的B处有毒贩正驾驶小船以每小时15(－1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时15海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；(8分) (2)试确定缉毒船的行驶方向．(9分) 解：(1)设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝60，AC＝15t，BC＝15(－1)t， 由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC， 即(15t)2＝602＋[15(－1)t]2－2×60×15(－1)t×， 整理可得(t－2)[(＋1)t＋4]＝0，解得t＝2， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕． (2)由(1)可知∠ABC＝120°，AB＝60，AC＝30， 在△ABC中，由正弦定理＝ 可得sin ∠ACB＝＝＝， 且∠ACB为锐角，则∠ACB＝45°，可得∠BAC＝180°－120°－45°＝15°， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东75°－15°＝60°. 19．(本小题满分17分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B＝b cos C. (1)求角B的大小；(5分) (2)若c＝，a＋b＝2，求△ABC的面积；(5分) (3)若a＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．(7分) 解：(1)因为(2a－c)cos B＝b cos C， 由正弦定理可得 (2sin A－sin C)cos B＝sin B cos C， 所以2sin A cos B＝(sin B cos C＋cos B sin C)＝sin (B＋C)＝sin A， 因为A∈(0，π)，则sin A>0，所以cos B＝， 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为c＝，a＋b＝2， 在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋3－2a××， 所以a2＋3－3a＝(2－a)2，解得a＝1， 所以S△ABC＝ac sin B＝×1××＝. (3)在△ABC中，由正弦定理＝＝， 得＝＝＝， 所以b＋c＝ ＝ ＝＝＋＝＋＝＋， 又△ABC为锐角三角形， 所以 即<A<，所以<<，所以<tan <1， 所以1<<，所以＋1<b＋c<2， 所以3＋<a＋b＋c<2＋2， 故△ABC周长的取值范围为(3＋，2＋2). 学科网（北京）股份有限公司 $