北京市通州区2024-2025学年高三上学期期末摸底考试数学试卷

通州区2024一2025学年高三年级摸底考1风 数学试卷 2025年1川 本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 答无效。考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。 (1)已知全集U=(-2一10,1,2.3，集合A={x∈Zx2<4},则CuA= (A){-2,-1,0,1,2) (B)(-1,0,1)(C)-2,2,3} (D)(3) (2)若复数z满足(x一1)i=1十i,其中i为虚数单位，则z= (A)2+i (B)2-i (C)-i (D)1 (3)已知函数fx)=e十e,则f(x) (A)是偶函数，且在(0，十∞)上是增函数 (B)是偶函数，且在(0，十∞)上是减函数 (心)是奇函数，且在(0，十∞)上是增函数 (DV是奇函数，且在(0，十∞)上是减函数 (W在二项式(x可”的展开式中，常数项为 (A)540 (B)20 (C)-20 (D)-540 (5)圆0：x2+y2一2x+4y+4=0与圆02：x2+y2=1的位置关系是 (A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)外离 (6)设a1,a2,a3,a,为1,2,3,4的一个排列，则满足|a1一a2|十|a4一44|=4的不同排列的个数为 (A)24 (B)16 (C)8 (D)2 〔)B知直线4)=2，双曲线C后-兰-16>0)，则a=1是直线1与双曲线C无交点的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (℃)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ,8)如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知AB=10cm,A1B,= 20cm,棱台的高为12cm,先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若 每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是 (A)640元 (B)440元 (C)390元 (①)347.5元 高三数学试卷第1页（共4页） 9》关开函数f(x)=3sin(2z+)(x∈R),有下列命题： ①若f(x1)=f(x2)=0,则x1一x2=π(k∈Z); ②f(x)=3sin(2x十)(x∈R)的图象可由g(x)=3sin(2x(x∈R)向左平移君得到： ③若xx∈（-号，0)且x>x则一定有f(x)>f(x): ④函数f(x)=3sin(2x十晋)(x∈R)的图象关于直线x=吾对称。 其中正确命题的个数有 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (l0)已知数列{a}的各项均为正数，其前n项和为S.,且an=a+1一2a+1,下列说法正确的是 (A)当a1=1时，数列(an)为递减数列 (B)数列{an}不可能为等比数列 (C)当a>4时，Vn≥2，都有3n<S,<na1(D)当a1=1时，3m∈N”,Vn>m,都有a>4 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (1注)已知函数fx)=x量十log2(x-2),则f(4)= (12)A,B,C三个班共有120名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通选分层抽#获得了部分学生 一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A班 6 6.5 7 7.5 8 8 B班 7 9 10 11 12 C班 6.5 8 8.5 10 12.5 13.5 估计A班的人数有 人：设B班体育锻炼时间的方差为，C班体育锻炼时间的方差 为，则好 (填：>，<，= (13)E知抛物线C寸=4z的焦点为F,点M,N在C上，若|MF|+|NF|=8,则线段MN的中 点的横坐际内 (14)已知a,b,c是同一平面上的三个向量，满足|a|=bl=2,ab=一2，则a与b的夹角等于 二：若c一a与c一b的夹角为对，则|c的最大值为 (15)如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直.M为BC中点，P为正方形 CDEF内一点（包括边界），且满足∠APD=∠MPC,Q为正方形ABCD内一点（包括边 界)，设AB三3，给出下列四个结论： E ①3P,Q,使EQ⊥MP; ②3P,Q,使PQ=6: ③点P到DF的最小值为2√2一2； @四棱锥P-AMCD体积的最大值为y D 其中正确策论的序号是 B 高三数学试卷第2页(# 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明进程， (16)(本小题13分) 在△ABC中，√3 atan B=2 bsin A. (I)求∠B: (Ⅱ)若a=8,BC边上中线的长为2，求△ABC的面积. (17)(本小题14分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，且PB=AB=2,B⊥平面ABCD,E是 PC的中点. (I)求证：CD∥平面ABE; (Ⅱ)再从条件①、条件②中选择一个作为已知， 求直线DE与平面ABE所成角的正弦值. 条件①平面PDC⊥平面PBC; 条件②PD=2√5. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分， (18)(本小题13分) 为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物 馆)游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳 服务，无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数 的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据.如下： 车次序号 乘车人数 1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 7 11-20号 9 -9 8 9 9 9 9 9 8 用频蜜估★概率， (I)威估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (Ⅱ)假设微公交乘车人数相互独立，记X为肃来该站点客流量高峰期两辆徽公交乘车人数之和， 求X的分布列及数学期望E(X); (Ⅲ)假设客流量高峰期该站点每辆微公交乘车人数只受前一辆微公交乘车人数影响，若该站点连续两 辆微公交都满载9人的概率不低于50%，则儒要缩短连续两辆微公交的时间间隔，判断公交公司 在客流量高峰期是否需要缩短发车间隔.（写出结论，不用说明理由） 高三数学试卷第3页（共4页） (19)(本小题15分) 已知袖圆C:号+学-1（®>6>0），以精圆C的一个焦点和短销端点为顶点的三角形是边长 为2的等边三角形 (I)求椭圆C的方程及离心率； (Ⅱ)斜率存在且不为0的直线L与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M,点A关于y轴的对 称点为4'，查践A'B交y轴于点N.在x轴上是否存在定点E,使得∠OEM=∠ONE(O 为坐标原点)？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由。 (20)(本小题15分) 已知f(x)=2xlnx十ax2+b在点(1，f(1)处与x轴相切. (I)求a,b的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间： （)若m>>0,求证m<n (21)(本小题15分) 定义：若正整数m能表示成m=a2+ab+6(a,b为正整数且a≠b)的形式，则称m为“T型 数”，也称m具有“T结构”若数列(a,)中的项均为“T型数”，则称数列(a,}为“T型数列”. (I)写出7,14,21,28这四个数中的“T型数”， (1)若{a,}为等差数列，且a2=5,a=14,求证(a,}中任意一项均不为“T型数”； (Ⅲ)若数列{a,},{b.}均为“T型数列”，设cn=a,b.,求证数列{cn}为“T型数列”. 高三数学进业一