精品解析：辽宁省本溪市2024--2025学年上学期九年级数学期末试题

本溪市2024～2025学年上学期期末考试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 几种气体的沸点（标准大气压）如下表： 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） 其中沸点最低的气体是（ ） A. 氢气 B. 氮气 C. 氧气 D. 氦气 3. 今年，国庆节假期，辽宁文旅围绕“畅游山海，欢庆华诞”主题，整合优质资源，优化文旅服务．据统计，七天国庆假期全省共接待游客5597.6万人次，同比增长．将55976000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（ ） A. B. C. D. 7. 本溪是拥有自然和文化“双遗产”的城市，素有“山水画廊”之称，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末在本溪游玩，他们想在“本溪水洞”，“关门山森林公园”，“五女山山城”，“九顶铁刹山”这四个景点中任意选择两个游玩，则选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 我国已经成为全球最大电动汽车市场，电动汽车在环保，节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线的部分图像，其顶点坐标为．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 关于x的一元二次方程有两个解，则k的取值范围是__________． 13. 在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则__________． 14. 如图，在中，点E为边上的中点，连接交于点O，若，则的面积为__________． 15. 如图所示在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点B和点D分别在x轴和y轴上，，反比例函数过点C，则反比例函数解析式为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. “稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元． （1）求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？ （2）若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？ 18. 为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．下面是这20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）． 总评成绩频数分布直方图 小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表： 选手 测试成绩（分） 总评成绩（分） 综合知识 语言 写作 小明 83 72 80 78 小亮 86 93 （1）在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67，72，68，69，74，69，71．求这组数据的中位数； （2）请你计算小亮的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由． 19. 如图，中，，平分，过点作交延长线于点，点中点，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求边的长． 20. 如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，，可绕点O旋转，O是的中点，测得厘米．（参考数据：，，） （1）正常放置时，，求此时点A到的距离； （2）如图3，绕点O逆时针旋转到的位置，此时，求点A在竖直方向上升的高度（结果精确0.1厘米）． 21. 【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化． 【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？ 【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据： 第x天 1 2 3 4 5 … 销售价格y（元/个） 109 108 107 106 105 … 销售量z（个） 11 12 13 14 15 … 经过分析计算，小组成员得到相关信息： ①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为： ②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为： 解决问题】 （1）求该超市第10天的销售利润； （2）当时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 22. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，，，垂足是点．求证：． ①如图，小明同学给出如下解法：作，垂足是点． ②如图，小亮同学给出另一种解题方法：作，交延长线于点． 请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明与的数量关系转化为与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，并提出了下面问题，请你解答． 如图，在四边形中，，，，，交延长线于点．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，四边形中，，，和都是钝角，且，，点在上，请直接写出的最小值． 23. 在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点Pa级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． （1）点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； （2）点的1级变换点在直线上，求b值； （3）点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 本溪市2024～2025学年上学期期末考试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：B． 2. 几种气体的沸点（标准大气压）如下表： 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） 其中沸点最低的气体是（ ） A. 氢气 B. 氮气 C. 氧气 D. 氦气 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较， 根据负数相比较，绝对值大的反而小，即可得出答案． 【详解】解：由， ∵， ∴， 所以沸点最低的气体是氦气． 故选：D． 3. 今年，国庆节假期，辽宁文旅围绕“畅游山海，欢庆华诞”主题，整合优质资源，优化文旅服务．据统计，七天国庆假期全省共接待游客5597.6万人次，同比增长．将55976000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方以及完全平方公式，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形绕某点旋转，能与本身重合的图形，这样的图形称为中心对称图形． 【详解】因为图A是中心对称图形，所以A符合题意； 因为图B不是中心对称图形，所以B不符合题意； 因为图C不是中心对称图形，所以C不符合题意； 因为图D不是中心对称图形，所以D不符合题意． 故选：A． 6. 一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵重力G的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∴， 故选：C． 7. 本溪是拥有自然和文化“双遗产”的城市，素有“山水画廊”之称，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末在本溪游玩，他们想在“本溪水洞”，“关门山森林公园”，“五女山山城”，“九顶铁刹山”这四个景点中任意选择两个游玩，则选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及选到“本溪水洞”，“关门山森林公园”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“本溪水洞”，“关门山森林公园”，“五女山山城”，“九顶铁刹山”这四个景点分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的结果有：，，共2种， ∴选到“本溪水洞”和“关门山森林公园”的概率为． 故选：D． 8. 我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保，节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：电动车充电费为300元时能行驶的总路程燃油车燃油费为300元时能行驶的总路程，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 详解】解：由题意得， 故选：B． 9. 如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意可得， ∴四边形为菱形， ∴， 设 ∵ ∴ ∴， 而， ∴， 故选：A． 10. 如图是抛物线的部分图像，其顶点坐标为．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据对称轴判断①，再根据当时，判断②；然后根据顶点纵坐标判断③；最后根据抛物线与直线有一个交点，即可解答④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴， 所以①正确； 当时， 即， 所以②正确； ∵， ∴， 即， 所以③正确； ∵抛物线与直线有一个交点， ∴抛物线与直线有两个交点， 即方程有两个不相等的实数根， 所以④正确． 其中正确的个数是4个． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式． 提公因式即可． 详解】解： 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有两个解，则k的取值范围是__________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个解， ∴且， 即且， 解得：且． 故答案：且． 13. 在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．点对应点C的坐标为，知道平移的轨迹为向右平移4个单位，点对应点，知道平移轨迹是向下平移3个单位，根据平移规律得出a、b的值，即可作答． 【详解】解：∵点对应点C的坐标为，点对应点， ∴线段向右平移4个单位，向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，在中，点E为边上的中点，连接交于点O，若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，先证明得到，进而得到，，求得，利用平行四边形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点B和点D分别在x轴和y轴上，，反比例函数过点C，则反比例函数解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作轴于,过作轴于,过作轴于,设与轴交于,得到,,根据矩形的性质得到,根据勾股定理得到,求得,根据全等三角形的性质得到,根据矩形的性质得到,求得,根据相似三角形的性质得到,设反比例函数解析式为,将代入即可得解. 详解】解：如图，过作轴于,过作轴于,过作轴于,设与轴交于, , ,, 四边形是矩形， , , , , , ， , , , 四边形是矩形, , , , , , , , , 设反比例函数解析式为, , 反比例函数解析式为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的混合运算， 对于（1），根据，再计算； 对于（2），先计算括号内的，再将除法变为乘法，因式分解，并约分即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 17. “稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元． （1）求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？ （2）若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？ 【答案】（1）甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元 （2）500千克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和不等式． （1）设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，根据“购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元”即可列出方程组，求解即可； （2）设超市采购甲种稻花香大米m千克，根据“采购费用不多于18000元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元． 【小问2详解】 解：设超市采购甲种稻花香大米m千克， 依题意得：， 解得：． 答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克． 18. 为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．下面是这20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）． 总评成绩频数分布直方图 小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表： 选手 测试成绩（分） 总评成绩（分） 综合知识 语言 写作 小明 83 72 80 78 小亮 86 93 （1）在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67，72，68，69，74，69，71．求这组数据的中位数； （2）请你计算小亮的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由． 【答案】（1）69分 （2）81分 （3）小明不能入选，小亮能入选，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，加权平均数，中位数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法． （1）根据中位数和平均数的定义即可求出答案； （2）根据加权平均数公式计算即可求解； （3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案； 【小问1详解】 解：将七位评委的分数从小到大排序：67，68，69，69，71，72，74， 排序后处在中间位置的数据是69分， 答：这组数据的中位数是69分． 【小问2详解】 解：小亮语言这项测试的得分为：， ∴． 答：小亮的总评成绩为81分． 【小问3详解】 解： 小明不能入选，小亮能入选． ∵由这20名选手的总评成绩频数直方图可知，分数小于80分的有10人， 又∵学校准备根据总评成绩择优选拔10名广播员， ∴小亮总评成绩超过80分，能够入选；小明总评成绩没超过80分，不能入选． 19. 如图，中，，平分，过点作交延长线于点，点是中点，连接，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求边的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由直角三角形的性质得，则，又，则，从而证明，即可证明四边形是平行四边形，再由菱形的判定方法即可求证； （）作交延长线于点，则，通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等角对等边，直角三角形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 20. 如图1，是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如图2，是其侧面示意图，，可绕点O旋转，O是的中点，测得厘米．（参考数据：，，） （1）正常放置时，，求此时点A到的距离； （2）如图3，绕点O逆时针旋转到的位置，此时，求点A在竖直方向上升的高度（结果精确0.1厘米）． 【答案】（1） （2）厘米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点D，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数求出的长； （2）作于点E，根据在中，可求，然后在中，，即可解答． 【小问1详解】 解：作于点D， ∴． ∵O是中点且， ∴． 在中，，， ∵， ∴． 答：点到的距离是4． 【小问2详解】 作于点E，∴． 在中，，， ∵， 又∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∴． 答：点在竖直方向上升的高度约为2.1厘米． 21. 【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化． 【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？ 【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据： 第x天 1 2 3 4 5 … 销售价格y（元/个） 109 108 107 106 105 … 销售量z（个） 11 12 13 14 15 … 经过分析计算，小组成员得到相关信息： ①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为： ②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为： 【解决问题】 （1）求该超市第10天的销售利润； （2）当时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）1400元 （2）第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元 【解析】 【分析】（1）根据已知函数解析式求出第10天的销售价格，销售量，再由销售利润=（销售价格-成本）销量即可计算利润； （2）根据利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质得出最大利润即可． 本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键． 【小问1详解】 解：当时， ， ， ∴元． 答：第10天销售利润是1400元． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴是， ∴时，w随x的增大而减小． 又∵， ∴时，w有最大值，此时． 答：第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元． 22. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，，，垂足是点．求证：． ①如图，小明同学给出如下解法：作，垂足是点． ②如图，小亮同学给出另一种解题方法：作，交延长线于点． 请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明与的数量关系转化为与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，并提出了下面问题，请你解答． 如图，在四边形中，，，，，交延长线于点．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，四边形中，，，和都是钝角，且，，点在上，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】 【分析】（1）①小明同学的解法：根据题意证明四边形 是矩形；，即可得证；②小亮同学的解法：证明四边形 是矩形，，即可得证； （2）作 交 延长线于点 则，证明四边形是矩形，，则，根据，等量代换进而，即可求解； （3）过点作的垂线交的延长线于点，由（2）可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，作关于的对称点，连接交于点，则，此时最小，在中，，勾股定理求得，进而根据，结合三角形的三角函数关系求得，最后在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：①小明同学的解法： 如图所示， ， ， ， 四边形 是矩形 ， ， ， ， 又， ， ， ②小亮同学的解法： 如图所示， ， ， ， 四边形 是矩形 ， ， ， 又， ， ， （2）解：如图所示，作 交 延长线于点 则 ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 又 ， ，， ， ， ， （3）解：如图所示，过点作的垂线交的延长线于点，作 交 延长线于点 则 由（2）可得四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， 作关于的对称点，连接交于点，则 ∴，此时最小， ∵， ∴点在的延长线上，且， ∴， ∵， ∴ 又， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴在中， 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． （1）点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； （2）点的1级变换点在直线上，求b值； （3）点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 【答案】（1）2 （2）7 （3）①②或 【解析】 【分析】（1）根据定义可知点的1级变换点是，再代入函数关系式可得答案； （2）分两种情况讨论：当时，确定1级变化点，代入关系式求出答案；当时，求出1级变换点，代入关系式，求出答案； （3）①分两种情况：当时，将点代入关系式即可；当时，将点代入关系式可得答案； ②先画出图象，观察图象可得取值范围． 【小问1详解】 解：点的1级变换点是， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案：2； 【小问2详解】 解：当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得； 当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得，不符合题意舍去． 所以b的值是7； 【小问3详解】 ①当时，即， 则点在函数的图象上， ∴， 即； 当时，即， 则点在函数的图象上， ∴， 即． ∴n与m的函数关系式为； ②如图所示，， 当时，； ， 当时，； 当时，线段与图象只有一个交点； ， 当时，； ， 当时，． 当时，线段与图象只有一个交点． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数图象上的点，一次函数图象上的点，求二次函数关系式，二次函数的图象和性质，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $