精品解析：北京市西城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末试卷 八年级数学 注意事项 1．本试卷共6页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足0.0006米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”．将0.0006用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：0.0006用科学记数法表示应为． 故选C． 2. 下列图案中，不能看成是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”进行求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选B． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：D． 4. 若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三边长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可，也是解题关键． 【详解】解：由题意得：它的第三边长小于，大于， ∴A、B、C选项都可能，只有D选项不可能． 故选D． 5. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定等于，即A项不合题意， B、无法再约分，不一定等于，即B项不合题意， C、分式的分子和分母同时加上一个数，与原分式不相等，即C项不合题意， D、，即D项符合题意， 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，点（2，-3）关于轴的对称点坐标是（ ） A. （2，3） B. （-2，-3） C. （-2，3） D. （-3，2） 【答案】A 【解析】 【分析】关于轴的对称点坐标，横坐标不变，将纵坐标改为相反数. 【详解】横坐标不变，将纵坐标改为相反数，可得（2，3），故选A. 所以本题答案选A. 【点睛】本题考查了求某点关于x轴的对称点坐标，横坐标不变，将纵坐标改为相反数的知识点，掌握该知识点是解题的关键. 7. 如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质结合题意可证，即得出，故①正确；由平行线的性质结合题意可证，又可求出，即得出，结合勾股定理即可求出，故②错误；过点C作于点G，根据角平分线的性质定理得出，再由，即得出，故③正确；由题意可求，即得出，根据，即，可证，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴，故②错误； 如图，过点C作于点G， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴，故④错误． 综上可知正确结论是①③ 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键． 8. 在正方形中，点P在边上运动，连接，过点P作，连接．以下结论正确的是（ ） A. 点P与点B重合时，线段的长取得最大值 B. 点P与边的中点重合时，线段的长取得最大值 C. 点P与点C重合时，线段的长取得最大值 D. 点P运动的过程中，线段的长不发生变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，延长，作于点，证明，可得，则可得为等腰直角三角形，当取最大值，则取最大值，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，作于点， ， ，四边形为正方形， ，， ， 在与中， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 当点P与点C重合时，取最大值， 线段的长取得最大值， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 计算：（1）________；（2）________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算即可，也是解题关键． 【详解】解：（1）． 故答案为：； （2）． 故答案为：1． 10. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】六 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 11. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的意义，分式有意义的条件为，即可求得的范围，要求掌握意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故答案为：． 12. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定填写即可． 【详解】解：添加的条件为：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．根据题意有，结合整式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 一辆汽车从A地途经B地开往C地，它在这两个路段的行驶情况如下表所示．已知这辆汽车从A地到B地行驶的时间比从B地到C地行驶的时间多，那么可列出关于v的方程为________． 路段 路程（） 平均速度（） A地—B地 40 B地—C地 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，利用汽车从A地到B地行驶的时间比从B地到C地行驶的时间多，列出分式方程，即可解答，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：汽车从A地到B地行驶的时间为， 汽车从B地到C地行驶的时间为， 根据题意可得， 故答案为：． 15. 如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动．另有长度与相等的两根木条，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足：，则此时________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，可得为等边三角形，再利用，求得即可解答，熟知等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 为等边三角形， ， ， ， , ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ，即， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过点作于点， ， ， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值， 此时，设，则， ， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题9分．第22题8分，第23题9分，第24题8分） 17. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． （1）先提取公因数3，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 当时，原式． 19. 解方程：． 【答案】分式方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，按照解分式方程的步骤进行解答即可，关键在于“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，最后一定注意要验根． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验，为原分式方程的增根，故原分式方程无解． 20. 如图，点E，F分别在四边形的边，的的延长线上，连接，分别交，于点G，H，． （1）求证：； （2）判断线段与的位置关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）根据得到，再利用得到，即可证明； （2）根据（1）中可得，再利用平行线得到，即可得到． 小问1详解】 解：， ， ， ，即， 在与中， ， ； 【小问2详解】 解：，证明如下： ， ， ， ， ， ． 21. 已知：如图1，角α和线段m． （1）求作：等腰三角形，使得它的底角为α，底边． 作法：①作； ②在上取点C，使； ③作线段的垂直平分线，交射线于点A； ④连接． 则为所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）； 其中的依据是________； （2）求作：等腰三角形，使得它的顶角，，底边上的高为m． 作法：①作； ②作的角平分线； ③在上取点H，使； ④过点H作的垂线，分别交，于点P，点Q； 则为所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹），并完成以下证明． 证明：平分． ． ， ． ， ．（________）（填推理的依据） 为等腰三角形． 【答案】（1）图见解析；线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等 （2）图见解析；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可； （2）根据所给的作法和作垂线的方法画出图形即可，再根据等腰三角形的判定，等角对等边即可证得． 【小问1详解】 解：补全图形如下： 其中的依据是：线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等； 【小问2详解】 解：补全图形如下： 证明：平分， ∴． ， ． ， ．(等角对等边) 为等腰三角形． 22. 对于多项式，当时，此多项式的值记为，即，例如． （1）求的值： （2）有以下两个结论：①对于任意实数a，都有；②对于任意两个实数a、b（且），都有．判断这两个结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）6 （2）①是错误的，②是正确的，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可把代入进行求解即可； （2）①先求出和，再分当时和当时进行求解即可；②根据题意可分当时和当时进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得： ①，则， 当时，则有； 当时，则有； 所以对于任意实数a，都有这个说法错误； ②当时， ； 当时， ， 所以对于任意两个实数a、b（且），都有这个说法正确． 23. 在中，，点D在边上，．点E在边上或内部，连接，． （1）如图1，当点E在边上时，连接． ①________°； ②求证：； （2）如图2，当点E在的内部时，用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）①45；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理结合题意即可求得； ②根据题意易证，即得出，结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求出．由题意可求出，根据三角形外角性质得出，即得出； （2）在线段上取，易证，得出．设，则，可求出，即得出，从而得． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，即； ②∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：， 证明：如图，在线段上取， ∵，， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键． 24. 在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． （1）点的“型对照变换图形”的坐标为________； （2）已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； （3）已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；②， （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，中点坐标公式，解题的关键是理解“型对照变换图形”的定义． （1）根据“型对照变换图形”的定义求解即可； （2）①根据“型对照变换图形”的定义求解即可；②根据点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为，列方程即可求解； （3）当时，，可得，，当时，则，可得，，根据线段与第一、三象限的角平分线存在交点，列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ； ②点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为， ， 解得：； 【小问3详解】 解： ，，，，，三点顺时针排列， 当时，， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ，， 解得：， 当时，则， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ∴，， 解得：， ∴． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 如图所示的网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．将与全等，并与有且只有一条边重合的格点三角形称为的“友好格点三角形”． （1）画出以为公共边的的所有“友好格点三角形”； （2）共有________个“友好格点三角形”． 【答案】（1）画图见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解新定义是解答关键. （1）根据新定义画出图形即可； （2）根据新定义和全等三角形的性质画出图形来求解． 【小问1详解】 解：根据题意作图如下 以为公共边的的所有“友好格点三角形”为：,,． 【小问2详解】 解：根据题意画图如下，的“友好格点三角形”有,,，，，，共7个． 故答案为：7． 26. 对于点P，直线l和图形N，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在图形N的内部或边上，则称点P为图形N关于直线l的“镜像点”． 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．设点，直线为过点且与y轴垂直的直线． （1）若在点中，点________是关于直线的“镜像点”； （2）当时，若x轴上存在关于直线的“镜像点”，则t的最小值为________； （3）已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围； ②已知边长为1的正方形的对角线的交点为，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）点和点 （2） （3）①，② 【解析】 【分析】（1）将已知点放入直角坐标系中，根据对称性求得对应的对称点，结合“镜像点”逐点判断即可； （2）根据题意可知这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的，观察竖直方向，上离x轴最远的点为C，则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C．此时，直线位于x轴和点C的正中间即可． （3）①结合图像可知t取最小值和最大值时直线上存在关于直线的“镜像点”，结合对称性和临界点的性质即可求得最大值和最小值； ②根据正方形的性质可知四个顶点坐标分别为，，，．设正方形边上一点，其关于直线：的对称点，则正方形四个顶点及对角线交点关于直线∶的对称点的坐标，进一步列出不等式组求解，再结合对称正方形的对角线交点纵坐标不能小于0即可． 【小问1详解】 解：将各个点标示在平面直角坐标系中， ∵关于直线的对称点为，，， ∴点和点是关于直线的“镜像点”． 故答案为：点和点； 【小问2详解】 解∶求t的最小值，这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的， 所以观察竖直方向，上离x轴最远的点为C， 则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C． 此时，直线位于x轴和点C的正中间． 因此，t的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解∶ ①由题意可知直线的解析式为， 则直线上的点关于的对称点为， 那么，过点的直线为， ∴与直线有交点，且交点的临界值为和． ∴当过点A时，t的最大值为；当过点C时，t的最小值为， 故直线上存在关于直线的“镜像点”，t的取值范围为． ②正方形的对角线交点为，边长为1，则四个顶点坐标分别为，，，． 如果设正方形边上一点，过点P作交直线：于点B，则点，连接，结合直线和对称性即可知， 那么，点关于直线：的对称点． ∴正方形四个顶点及对角线交点关于直线：的对称点的坐标分别为，，，，， ∵正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，并且正方形位于直线的右下方， ∴对称正方形的左边顶点的横坐标不小于，对称正方形的上面顶点的纵些标不大于1， 即，解得， 同时，对称正方形的对角线交点纵坐标不能小于0(不能在x轴以下)，即，解得， 综上，t的取值范围为． 【点睛】本题主要考查直角坐标系中轴对称的性质，等腰三角形的性质和正方形的性质，解一元一次不等式方程组，解题的关键是在新定义“镜像点”下结合对称轴的性质和正方形的性质找到对称点和不等式组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末试卷 八年级数学 注意事项 1．本试卷共6页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足0.0006米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”．将0.0006用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，不能看成是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三边长不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点（2，-3）关于轴的对称点坐标是（ ） A. （2，3） B. （-2，-3） C. （-2，3） D. （-3，2） 7. 如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 8. 在正方形中，点P在边上运动，连接，过点P作，连接．以下结论正确的是（ ） A. 点P与点B重合时，线段的长取得最大值 B. 点P与边中点重合时，线段的长取得最大值 C. 点P与点C重合时，线段长取得最大值 D. 点P运动的过程中，线段的长不发生变化 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 计算：（1）________；（2）________． 10. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 11. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 12. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（写出一个即可） 13. 已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则________． 14. 一辆汽车从A地途经B地开往C地，它在这两个路段的行驶情况如下表所示．已知这辆汽车从A地到B地行驶的时间比从B地到C地行驶的时间多，那么可列出关于v的方程为________． 路段 路程（） 平均速度（） A地—B地 40 B地—C地 15. 如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动．另有长度与相等的两根木条，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足：，则此时________． 16. 如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为________． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题9分．第22题8分，第23题9分，第24题8分） 17. 分解因式： （1） （2） 18. 计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 19. 解方程：． 20. 如图，点E，F分别在四边形的边，的的延长线上，连接，分别交，于点G，H，． （1）求证：； （2）判断线段与的位置关系，并证明． 21. 已知：如图1，角α和线段m． （1）求作：等腰三角形，使得它底角为α，底边． 作法：①作； ②在上取点C，使； ③作线段的垂直平分线，交射线于点A； ④连接． 则为所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）； 其中的依据是________； （2）求作：等腰三角形，使得它的顶角，，底边上的高为m． 作法：①作； ②作的角平分线； ③在上取点H，使； ④过点H作的垂线，分别交，于点P，点Q； 则为所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹），并完成以下证明． 证明：平分． ． ， ． ， ．（________）（填推理的依据） 为等腰三角形． 22. 对于多项式，当时，此多项式的值记为，即，例如． （1）求的值： （2）有以下两个结论：①对于任意实数a，都有；②对于任意两个实数a、b（且），都有．判断这两个结论是否正确，并说明理由． 23. 在中，，点D在边上，．点E在的边上或内部，连接，． （1）如图1，当点E在边上时，连接． ①________°； ②求证：； （2）如图2，当点E在的内部时，用等式表示线段的数量关系，并证明． 24. 在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． （1）点的“型对照变换图形”的坐标为________； （2）已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； （3）已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 如图所示网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．将与全等，并与有且只有一条边重合的格点三角形称为的“友好格点三角形”． （1）画出以为公共边的的所有“友好格点三角形”； （2）共有________个“友好格点三角形”． 26. 对于点P，直线l和图形N，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在图形N的内部或边上，则称点P为图形N关于直线l的“镜像点”． 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．设点，直线为过点且与y轴垂直的直线． （1）若在点中，点________是关于直线的“镜像点”； （2）当时，若x轴上存在关于直线的“镜像点”，则t的最小值为________； （3）已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行． ①若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围； ②已知边长为1的正方形的对角线的交点为，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $