第七章 相交线与平行线（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第七章 相交线与平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、相交线的规律 【解惑】平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 【融会贯通】 1．五条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同五点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（　　） A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝10 【答案】A 【分析】五条直线两两相交，每对相交的直线就会形成2对对顶角，这五条直线每两条都相交，相交直线的对数，与是否交于同一点无关，因而m＝n． 【详解】解：因为五条直线两两相交形成的对顶角的个数与是否交于同一点无关，所以m＝n， 故选：A． 【点睛】此题考查的是对顶角与邻补角，掌握直线相交形成的对顶角的对数，只与有多少对直线相交有关是解决此题关键． 2．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【答案】45 【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案． 【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点． 3．在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点． 当时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分； 当时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分； 则：当时，三条直线将一个平面分成 部分； 当时，四条直线将一个平面分成 部分； 若n条直线将一个平面分成个部分， 条直线将一个平面分成 个部分． 试探索、、n之间的关系． 【答案】7；11； 【分析】一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分． 【详解】解：当时，分成2部分， 当时，分成部分， 当时，分成部分， 当时，分成部分， 规律发现，有几条直线，则分成的部分比前一种情况多几部分， ∴、、n之间的关系是． 【点睛】本题是对图形变化问题的考查，根据前四种情况发现有几条直线则分成的空间比前一种增加几部分是解题的关键． 类型二、平行线之间的距离 【解惑】在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，因为直线的位置不明确，所以分①直线在直线、外，②直线在直线、之间两种情况讨论．解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 【详解】解：①当直线在直线、外时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； ②当直线在直线、之间时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； 综上，与之间的距离为或， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果． 【详解】解：设点到的距离为， ∵， ∴点到的距离也为， ∴； 故选B． 2．如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间距离处处相等得到，则，得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？    【答案】阴影部分的面积为平方厘米 【分析】连接，，根据正方形的性质及三角形面积公式推出阴影部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积， ∵厘米， ∴平方厘米， ∴阴影部分的面积为平方厘米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 类型三、逻辑推理 【解惑】A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 【答案】D 【分析】此题考查了推理与论证．若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意． 【详解】解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意， 同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，． 故选：D． 【融会贯通】 1．甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了逻辑推理．熟练掌握找出突破口，是解题的关键． 先根据每个名次中都有人猜对，猜第二名是乙的只有一个同学，则乙是第二名，然后依次类推即可得出答案． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名乙只有丁猜到， ∴乙只能是第二名，不能是第三名； ∴甲是第三名，不可能是第一名； ∴只有丙是第一名，丙不可能是第五名，只有丁是第五名； ∴丁不可能是第四名，故第四名只能是戊． 故第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁． 故选：C． 2．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 【答案】 鲁班锁 1，2，3 【分析】本题主要考查了逻辑推理： （1）根据小云参与了所有活动．可得小云第一个挑战必定成功，再由只挑战成功一个，可得小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，即可； （2）根据题意可得小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，然后分三种情况讨论，即可． 【详解】解：∵小云参与了所有活动． ∴小云第一个挑战必定成功， ∵小云只挑战成功一个， ∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”， ∴挑战成功的活动名称为鲁班锁； 故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功， ∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败， 若第一次挑战华容道， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战魔方， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战鲁班锁， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3． 故答案为：1，2，3 3．一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”请判断李四是老实人还是骗子？ 【答案】李四也是骗子 【分析】此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理．本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论． 【详解】解：∵圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人， 如图： ∴老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数， ∵张三说有45人是奇数， ∴说明张三说了假话，张三是骗子， ∴李四却说张三是老实人，也说了假话， 即李四也是骗子． 类型四、平移中的阴影面积 【解惑】如图，在中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M．若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为（    ） A．2 B．3 C．4.5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，首先求出，然后根据平移的性质得到，，进而得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵把沿点A到点E方向平移至处， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴平移距离为2． 故选：A． 【融会贯通】 1．将图①中周长为16的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为24的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式和整体代入思想，设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，利用图形的特征分别表示出3号正方形，4号正方形和5号长方形的边长，利用长方形的周长的意义列出等式求得的值，再利用平移的性质和长方形的周长解答即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y， 则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， ∵图①中周长为16的长方形， ∴， ∴． 如图： ∵大长方形的周长为24， ∴． ∴， ∴， 由平移的性质和题意得：没有覆盖的阴影部分的周长与长方形的周长相等， ∴没有覆盖的阴影部分的周长， 故选：D． 2．如图所示，将三张边长分别为，，正方形纸片按图甲、乙两种方式放置在相同的长方形内（图甲、图乙中三张正方形纸片均有部分重叠），未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图甲中阴影部分的周长为，图乙中阴影部分的周长为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了平移和整式的运算，先根据平移的性质求出的值，再进行作差求解，掌握平移的性质是解题的关键. 【详解】解：在长方形中，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图①，将线段A1A2向右平移2个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移2个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）． （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； （2）请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1=_______，S2=____________，S3=__________； （3）如图④，一块长方形草地，长为20米，宽为10米，草地上有一条弯曲的小路（小路任何地方的宽度都是2米），请你写出小路部分所占的面积是多少米2； （4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1米），请你写出小路部分所占的面积是多少米2． 【答案】（1）画图见解析；（2）S1=2b，S2=2b，S3=2b；（3）20米2；（4）38米2． 【分析】（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，再向右平移2个单位，得到一个封闭图形即可； 部分的面积都可看作是以b为长，2为宽的长方形的面积； （3）结合图形，通过平移，阴影部分可平移为以10米为长，2米为宽的长方形，根据长方形的面积可得小路部分所占的面积； （4）结合图形可知，小路部分所占的面积=10米为长，2米为宽的长方形的面积+20米为长，1米为宽的长方形的面积-2米为长，1米为宽的长方形的面积． 【详解】（1）如图． （2）三个图形中阴影部分的面积都可看作是以b为长，2为宽的长方形的面积，故S1=2b，S2=2b，S3=2b； （3）小路部分所占的面积是2×10=20米2； （4）小路部分所占的面积是10×2+20×1-2×1=38米2． 【点睛】本题结合图形的平移考查有关面积的问题．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． 类型五、三角板旋转平行 【解惑】在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，三角形外角定理，依次根据四个选项中的度数进行判断即可． 【详解】解：当时，如下图所示， ∵， ∴， ∴， 当时，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，如下图所示， 三角形没有边与平行； 当时，延长交于点F，如下图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【融会贯通】 1．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三角板，三角板绕点在平面内旋转，当（    ）时，．    A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，根据，利用平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示：当时，；    如图所示：当时，， ；    故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系． 2．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．分两种情况进行讨论：当点B在上方时，当点B在下方时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点B在上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 当点B在下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 3．如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点 P作直线，作直线，分别交直线，于点G，H．    (1)如图1， 求的度数为 °； (2)如图2，将直角三角板绕顶点 M逆时针旋转，旋转角为β，且，在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角β的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板的旋转速度是每秒，旋转时间为t秒，作平分 ，作平分，当射线平分时， 求t的值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 (3) 【分析】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和等知识是解题的关键． （1）直接利用平行线的性质结合三角形内角和即可求解； （2）①设与交于点，由，可得，再利用补角和三角形内角和得出即可； ②由（1）可知，然后分情况讨论：当时；当时；当时；三种情况分别得出结论即可； （3）先找出满足题中给出条件时的图形，利用平分，平分，设，再利用平分和列式求出即可计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴； ②由（1）可知，， 当时，如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示，    ∵， ∴， ∴； 当时，（舍， 综上，或； （3）解：当点在直线下方时，如图，    此时在外部，故不存在平分， 当点在直线上方时，如图，    ∵平分，平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角， ∴旋转时间． 类型六、平行线中的折线模型 【解惑】阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，作出辅助线构造平行线是解题的关键． 对于（1），先由材料中的结论得，再根据平行线的定义得，然后根据平行线的性质得，最后代入整理可得结论； 对于（2），作，可得，由上述可得，及，再根据平行线的性质得，即可得，进而得出，最后根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）解：如图2所示，猜想：． 证明：由材料中的结论得， ∵分别平分和， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图3，过点作， ∵， ∴， 由结论可得， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ， 2．如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 3．（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 类型七、平行线中的角平分线 【解惑】【阅读理解】 （1）把下列证明过程或理由补充完整，如图1，，点E，F分别在直线，上，点P为直线，内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接，．求证：． 证明：如图2，过点P作， ， ． （                 ）． ， ． ， （                ）． 【问题解决】 请直接利用（1）中的结论解答下列问题． （2）如图3，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M．若，求的度数； （3）如图4，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M，再分别作和的角平分线交于点N．若，，请直接写出之间满足的数量关系式． 【答案】（1）见详解，（2），（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质， 过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得和，利用等量代换即可得到； 由（1）知，，，结合角平分线的性质得，根据平角定义可得，即可求得； 由（1）知，，，角平分的性质得，，进一步求得，，即可求得三者之间关系． 【详解】证明：（1）如图2，过点P作， ， ． （两直线平行，内错角相等）． ， ． ， （等量代换）； （2）由（1）知，，， ∵和的角平分线交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3）由（1）知，，， ∵和的角平分线交于点M， ∴， ∵和的角平分线交于点N ∴， ∵， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， 即， 则． 【融会贯通】 1．【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； ②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （2）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ， ，， ， ， ， 即． 解：②，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， 即． （2）解：设，， 平分，平分， ，， ， 由（1）可知，， 由材料的结论可知，， ． 2．如图，直线，点E、F分别在、上，点M为两平行线内部一点．    (1)如图1，探究、、的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若和的角平分线交于点N，且，直接利用（1）中的结论，求的度数； (3)如图3，点G为直线上一点，连接并延长交直线于点Q，在线段上取一点P，连接，使，在射线取一点H，连接，使，设，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质可得，，由，等量代换可得结论； （2）利用（1）中的结论以及角平分线的定义解答即可； （3）设，，则，，设交于．证明，求出即可解决问题． 【详解】（1），理由如下： 如图，过点作，   ，， ， ，， ， ； （2）由（1）中的结论可得： ，， ， ， ，分别平分和， ，， ， ， 即； （3）设，，则，，设交于，如图：   ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质．解题的关键是作出适当的辅助线，学会利用参数解决问题． 3．综合与实践． (1)【阅读理解】如图，与的边与互相平行，另一组边 交于点，且点在，之间，且在直线右侧，证明：．请你完成下面的证明： 解：如图，过点作． ∴（______）． ∵（______）． ∴______（______）． ∴______． ∴． ∴． (2)【理解应用】如图，当图中的点在直线左侧时，其它条件不变，若 ，求的度数； (3)【拓展提升】与的边与互相平行，且点在直线 同侧，另一组边交于点，且点在，之间．若的角平分线与的角平分线交于点，设，请借助图和图，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)两条直线平行，内错角相等；已知；；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确试图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据两条直线平行，内错角相等得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行，进而得，即可得到答案． （2）过点作，根据平行线的性质得，再证，进而得，由此可得，然后根据，可得出与的和是． （3）根据题意分成两种情况，当点在直线右侧时，当点在直线左侧时，结合角平分线的定义，即可得出的度数． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴（两条直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两条直线平行，内错角相等；已知；；平行于同一条直线的两条直线平行；． （2）过点作，如图③所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴与的和是． （3）分两种情况讨论如下： 当点在直线右侧，如图所示： 设，， ∵是的角平分线， ∴，， ∵是的角平分线， ∴，， 由（1）的结论得：，， ∴， ∵， ∴． 当点在直线左侧时，如图所示： 设，， ∵是的角平分线， ∴，， ∵是的角平分线， ∴，， 由（1）的结论得：， 由（2）的结论得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的度数为或． 类型八、平行线中的数量关系 【解惑】如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不变，，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （3）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （4）先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ， 所以的度数为． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． （3）解：不变，，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）如图4，过点C作．得出．根据平行线的性质即可求解； （2）设，如图5，过点C作．得出．根据平行线的性质得．根据，即可得出．结合，即可求解； （3）设，，．如图6，过点A作．得出．根据平行线的性质得．由已知，得．结合，，即可求解； 【详解】（1）解：． 如图4，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：设． 如图5，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． （3）解：设，，． 如图6，过点A作． ∵， ∴． ∴． 由已知，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 3．如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 【答案】(1)，证明见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行性的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识． （1）作，证明，即可得到，，根据等量代换即可证明； （2）作，证明，即可得到，，从而证明； （3）分点P在线段左侧和点P在线段右侧两种情况，分别画出图形，结合（1）、（2）结论，根据角平分线的定义进行角的代换即可求解． 【详解】（1）解：如图①，作，             图① ∵ ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图②，作，              图② ∵ ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （3）解：如图③，当点P在线段左侧时，            图③ 由（2）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 如图④，当点P在线段右侧时，                图④ 由（1）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 故答案为：或． 类型九、平行线中的光线旋转 【解惑】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】(1)平行，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）在△BEG中，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得； （2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，，可得α与β的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴ ； （3）解：或． 理由如下：①当时，如下图所示：    ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 则， 则， 由内角和，得 ②当时，如果在边反射后与平行，则， 与题意不符； 则只能在边反射后与EF平行， 如下图所示：    根据三角形外角定义，得 ， 由，且由（1）的结论可得， ， 则． 综上所述：γ的度数为：或150°． 【融会贯通】 1．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．    (1)如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） (3)如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)，理由见解析； (2)当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底； (3)存在，或 【分析】（1）计算的值即可求解； （2）先计算，进一步得的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解 ； （3）分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底； （3）解：时，如图：    若，则 解得：； 时，如图：   ，不满足题意； 时，如图：   不满足题意； 时，如图：    若，则 解得：； 综上所述：当或时，使得与平行 【点睛】本题以物理知识为背景，考查了平行线的判定与性质．熟记相关定理内容，掌握分类讨论思想是解题关键． 2．为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）由可得，，由可得，代入即可求解； （）分三种情况：当与相遇前，两灯的光线；当与相遇后， 为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线；当与相遇后，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线；列出方程解答即可求解； 本题考查了补角性质、平行线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， 由 () 知， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当与相遇后，灯的光线转动秒，为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴此时不合，舍去； 当与相遇后，灯的光线转动秒时，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， ∴， ∴， 解得； 综上，或时，两灯的光线互相平行， 故答案为：或． 3．为了安全起见，在某条河流的两岸各安置了一应旋转探照灯．如图1所示，灯A的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度．假定这段河流的两岸是平行的，即，且． (1)求的度数； (2)如果灯的光线先转动5秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯的光线到达之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A的光线到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，则在转动过程中，探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请用等式表示出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)和关系不会变化， 【分析】（1）根据，，即可得到的度数，再根据求得； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，根据和两种情况展开 讨论，当根据平行直线的性质得到；当得到，分别建立方程，解方程即可得到答案； （3）设灯A射线转动时间为t秒，得到，从而得到，根据推算出，最后推算出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 当时，灯光A转值C处，灯光B转值D处，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化． 理由：设灯A射线转动时间为t秒， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴和关系不会变化． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 类型十、平行线中的比值与定值 【解惑】已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)∠EGF＝90° (2)∠EGF＋∠EHF＝180°；理由见解析 (3)∠MGF​的度数是为定值，且∠MGF＝45°​ 【分析】（1）根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠GFE，由干 到∠BEF＋∠EFD＝180°，于是得到2∠FEG＋2∠GFD＝180°，即可得到结论： （2）过点G作，因为，所以．设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．由已知可得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β，即可解答； （3）过点 G作，因为，所以．所以设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．即∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β．根据∠EMH、∠EFD的平分线相交于G，得到∠MEF＝∠EFD＝2β．所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再因为MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据MG平分∠BMH，利用等量代换即可得到结论MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据条件MG平分∠BMH，得到∠EMG＝45°−β，即可得解． 【详解】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD， ∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG， ∵， ∴∠BEF＋∠EFD＝180°， ∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°， ∴∠FEG＋∠GFE＝90°， ∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°， ∴∠EGF＝90°． （2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°， 过点G作， ∵， ∴， ∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β， ∴∠EHF＝180°−α−β＝180°−∠EGF， ∴∠EGF＋∠EHF＝180°． （3）解：结论：∠MGF＝45°，理由如下： 过点 G作， ∵， ∴， ∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵， ∴∠MEF＝∠EFD＝2β， ∵MH⊥EF， ∴∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β， ∵MG平分∠BMH， ∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME， ∴∠EMG＝α＝∠HME＝(90°−2β)＝45°−β， ∴∠MGF＝α＋β＝45°−β＋β＝45°， ∴∠MGF＝45°， ∴∠MGF的度数是为定值． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线上，H为直线下方一点． (1)如图1，和相交于点H，求证：．（温馨提示：可过点H作的平行线） (2)延长至点G，的平分线和的平分线相交于点E，与相交于点F． ①如图2，若，求的度数； ②如图2，当点F在点N左侧时，若的度数为，的度数为，且的值是一个定值，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． ③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不变，；③不变， 【分析】（1）过点H作HQAB．可得HQCD，从而得到，即可求证； （2）①根据，可得，，从而得到，．再由，即可求解；②根据题意可得，，再由，即可求解；③过点H作OH∥AB，根据平行线的性质，可证得．从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点H作HQAB． ∵HQAB且ABCD， ∴HQCD， ∴， ∴； （2）解：①平分， ∴， ∵NE平分∠DNG，∠DNE=30°， ∴， ∴，． 由（1）可知：． ∴； ②∵平分，， ∴， ∵NE平分∠DNG，∠DNE=y°， ∴， ∴，， ∴． ∵为一个定值， ∴不会随x的变化而发生改变，度数为； ③不变，的度数为．理由如下： 如图，过点H作OHAB， ∴∠BMH=∠OHM， ∵ABCD， ∴OHCD， ∴∠DNH=∠OHN， ∴． ∵平分， ∴ ∵NE平分∠DNG，∠DNE=y°， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵为一个定值， ∴不会随x的变化而改变． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质和判定，利用类比思想解答是解题的关键． 2．如图，已知AM∥BN，∠A=80°，点P是射线AM上的动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，∠APB∶∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律． （3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数． 【答案】（1）50°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1，理由详见解析；（3）∠ABC=25°． 【分析】（1）先根据平行线的性质求出∠ABN，然后再根据角平分线的定义即可求出∠CBD； （2）先根据平行线的性质可得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，然后再由角平分线的定义即可发现规律； （3）由平行线的性质可得∠ACB=∠CBN=50°+∠DBN，再结合条件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，即可求解． 【详解】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A=180°， 又∵∠A=80°， ∴∠ABN=180°－80°=100°， ∴∠ABP+∠PBN=100°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP=100°， ∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°； （2）不变，∠APB：∠ADB=2：1． ∵AM∥BN， ∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN=2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB=2：1； （3）∵AM∥BN， ∴∠ACB=∠CBN， 当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC=∠DBN， 由（1）可知∠ABN=100°，∠CBD=50°， ∴∠ABC+∠DBN=50°， ∴∠ABC=25°． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定是解题的关键，即：①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角相等两直线平行． 3．如图，已知AB∥CD，∠A=40°，点P是射线B上一动点（与点A不重合），CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，分别交射线AB于点M,N． （1）求∠MCN的度数． （2）当点P运动到某处时，∠AMC=∠ACN，求此时∠ACM的度数． （3）在点P运动的过程中，∠APC与∠ANC的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律． 【答案】（1）∠MCN=70°；（2）∠ACM=35°；（3）不变．（详见解析） 【分析】（1）由AB∥CD可得∠ACD=180°-∠A，再由CM、CN均为角平分线可求解； （2）由AB∥CD可得∠AMC=∠MCD，再由∠AMC=∠ACN可得∠ACM =∠NCD； （3）由AB∥CD可得∠APC=∠PCD，再由CN为角平分线即可解答． 【详解】解：（1）∵A B∥CD， ∴∠ACD=180°﹣∠A=140°， 又∵CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD， ∴∠MCN=∠MCP+∠NCP=（∠ACP+∠PCD）=∠ACD=70°， 故答案为：70°． （2）∵AB∥CD， ∴∠AMC=∠MCD， 又∵∠AMC=∠ACN， ∴∠MCD=∠ACN， ∴∠ACM=∠ACN﹣∠MCN=∠MCD﹣∠MCN=∠NCD， ∴∠ACM=∠MCP=∠NCP=∠NCD， ∴∠ACM=∠ACD=35°， 故答案为：35°． （3）不变．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠APC=∠PCD，∠ANC=∠NCD， 又∵CN平分∠PCD， ∴∠ANC=∠NCD=∠PCD=∠APC，即∠APC：∠ANC=2：1． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行，内错角相等． 【一览众山小】 1．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 又， ． 故选：D． 2．小明在复习《第3章图形的初步认识》和《第4章相交线和平行线》时，总结了这两章的基本事实如下：①两点确定一条直线；②两点之间直线最短；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等，两直线平行．他总结的三个正确基本事实是（   ） A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，直线的性质，线段的性质，平行公理及推论，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据平行线的判定，直线的性质，线段的性质，平行公理及推论，逐一判断即可解答． 【详解】解： ①两点确定一条直线，故①正确； ②两点之间线段最短；故②不正确； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故③正确； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；故④不正确； ⑤同位角相等，两直线平行；故⑤正确； 他总结的三个正确基本事实是①③⑤， 故选：D． 3．如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 【详解】解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 5．如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则边扫过的图形的面积为5，正确的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了利用平移的性质求解，熟练掌握平移的性质是解题的关键：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行且相等． 利用平移的性质即可判断结论；利用平移可得，根据，，即可判断结论；根据边扫过的图形的面积等于，即可判断结论． 【详解】解：∵沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴且，且，故结论正确； 由平移的性质得，， ∴和的周长和为，故结论正确； 根据平移可知，， ∵，， ∴，故结论正确； 根据平移可知，， 则边扫过的图形的面积为： ，故结论错误； 综上可知，正确的是， 故答案为：． 6．如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂直定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出，，再根据角的和差即可判断②；根据平行线的性质即可判断③；根据角的和差计算即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 7．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． 如图：已知，，于点，于点，求证：． 证明：∵，，（已知） ∴ ______， ∴（______）， ∴ ________（          ）， ∵，，（已知） ∴，，（           ） ∴． ∴（           ） ∴ __________（            ） ∴．（          ） 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，根据平行线的判定与性质，垂直的定义即可求证，熟知平行线的判定与性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知）， ∴，（垂直的定义） ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换． 8．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 【答案】(1)①；② (2)．理由见解析 (3)可能为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质． （1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； ②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分2种情况进行讨论：当时，当时，分别求得角度即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②因为，， 所以， 所以， 故答案为：； （2）解：猜想：．理由如下： 因为，， 所以， 即； （3）解：可能为或． 当时， 所以， 因为， 所以； 当时， ． 9．如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)； (4)，求解过程见解析 【分析】（）过点作，可得，进而得，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，过点作，可得，同理（）解答即可求解； （）过点作，可得，得到，进而根据角平分线的定义可得，同理可得； （）过点作，过点作，得，同理（）解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：与（1）同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 按照上述方法可知， ∵，平分，平分，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：，； （4）解：过点作，过点作，如图所示，则，    ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 10．如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，． (1) ____（填“”“ ”或“=”）． (2)如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求α的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可． ②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如答图1，过点P作，交于点Q， 则. 答图1 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：=. （2）解：①∵， ∴ 又∵的平分线交直线于点O． ∴ 又∵， ∴. 又∵， ∴. ②当点N在点G的右侧时． ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. 又∵平分， ∴ 又∵， ∴； 当点N在点G的左侧时，如答图2. 答图2 ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴ 又∵平分， ∴， ∴. 综上所述，的度数为或. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、相交线的规律 【解惑】平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．五条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同五点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（　　） A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝10 2．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 3．在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点． 当时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分； 当时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分； 则：当时，三条直线将一个平面分成 部分； 当时，四条直线将一个平面分成 部分； 若n条直线将一个平面分成个部分， 条直线将一个平面分成 个部分． 试探索、、n之间的关系． 类型二、平行线之间的距离 【解惑】在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【融会贯通】 1．如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，梯形中，，与相交于点O，，如果，那么 ． 3．如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？    类型三、逻辑推理 【解惑】A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 【融会贯通】 1．甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 3．一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”请判断李四是老实人还是骗子？ 类型四、平移中的阴影面积 【解惑】如图，在中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M．若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为（    ） A．2 B．3 C．4.5 D．1 【融会贯通】 1．将图①中周长为16的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为24的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 2．如图所示，将三张边长分别为，，正方形纸片按图甲、乙两种方式放置在相同的长方形内（图甲、图乙中三张正方形纸片均有部分重叠），未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图甲中阴影部分的周长为，图乙中阴影部分的周长为，则 ．    3．如图①，将线段A1A2向右平移2个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移2个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）． （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； （2）请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1=_______，S2=____________，S3=__________； （3）如图④，一块长方形草地，长为20米，宽为10米，草地上有一条弯曲的小路（小路任何地方的宽度都是2米），请你写出小路部分所占的面积是多少米2； （4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是1米），请你写出小路部分所占的面积是多少米2． 类型五、三角板旋转平行 【解惑】在一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线的上方，目，要使三角形有一条边与平行，则的度数不可能为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三角板，三角板绕点在平面内旋转，当（    ）时，．    A． B．或 C．或 D．或 2．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为 ． 3．如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点 P作直线，作直线，分别交直线，于点G，H．    (1)如图1， 求的度数为 °； (2)如图2，将直角三角板绕顶点 M逆时针旋转，旋转角为β，且，在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角β的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板的旋转速度是每秒，旋转时间为t秒，作平分 ，作平分，当射线平分时， 求t的值． 类型六、平行线中的折线模型 【解惑】阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 【融会贯通】 1．（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 2．如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 3．（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 类型七、平行线中的角平分线 【解惑】【阅读理解】 （1）把下列证明过程或理由补充完整，如图1，，点E，F分别在直线，上，点P为直线，内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接，．求证：． 证明：如图2，过点P作， ， ． （                 ）． ， ． ， （                ）． 【问题解决】 请直接利用（1）中的结论解答下列问题． （2）如图3，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M．若，求的度数； （3）如图4，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M，再分别作和的角平分线交于点N．若，，请直接写出之间满足的数量关系式． 【融会贯通】 1．【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 2．如图，直线，点E、F分别在、上，点M为两平行线内部一点．    (1)如图1，探究、、的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若和的角平分线交于点N，且，直接利用（1）中的结论，求的度数； (3)如图3，点G为直线上一点，连接并延长交直线于点Q，在线段上取一点P，连接，使，在射线取一点H，连接，使，设，求的度数（用含的代数式表示）． 3．综合与实践． (1)【阅读理解】如图，与的边与互相平行，另一组边 交于点，且点在，之间，且在直线右侧，证明：．请你完成下面的证明： 解：如图，过点作． ∴（______）． ∵（______）． ∴______（______）． ∴______． ∴． ∴． (2)【理解应用】如图，当图中的点在直线左侧时，其它条件不变，若 ，求的度数； (3)【拓展提升】与的边与互相平行，且点在直线 同侧，另一组边交于点，且点在，之间．若的角平分线与的角平分线交于点，设，请借助图和图，求的度数（用含的式子表示）． 类型八、平行线中的数量关系 【解惑】如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【融会贯通】 1．如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？ 2．如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 3．如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 类型九、平行线中的光线旋转 【解惑】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【融会贯通】 1．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．    (1)如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） (3)如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 2．为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 3．为了安全起见，在某条河流的两岸各安置了一应旋转探照灯．如图1所示，灯A的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度．假定这段河流的两岸是平行的，即，且． (1)求的度数； (2)如果灯的光线先转动5秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯的光线到达之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A的光线到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，则在转动过程中，探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请用等式表示出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由． 类型十、平行线中的比值与定值 【解惑】已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线上，H为直线下方一点． (1)如图1，和相交于点H，求证：．（温馨提示：可过点H作的平行线） (2)延长至点G，的平分线和的平分线相交于点E，与相交于点F． ①如图2，若，求的度数； ②如图2，当点F在点N左侧时，若的度数为，的度数为，且的值是一个定值，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． ③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 2．如图，已知AM∥BN，∠A=80°，点P是射线AM上的动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，∠APB∶∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律． （3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数． 3．如图，已知AB∥CD，∠A=40°，点P是射线B上一动点（与点A不重合），CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，分别交射线AB于点M,N． （1）求∠MCN的度数． （2）当点P运动到某处时，∠AMC=∠ACN，求此时∠ACM的度数． （3）在点P运动的过程中，∠APC与∠ANC的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律． 【一览众山小】 1．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．小明在复习《第3章图形的初步认识》和《第4章相交线和平行线》时，总结了这两章的基本事实如下：①两点确定一条直线；②两点之间直线最短；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等，两直线平行．他总结的三个正确基本事实是（   ） A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤ 3．如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 4．图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 5．如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则边扫过的图形的面积为5，正确的是 ．（填序号） 6．如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 7．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． 如图：已知，，于点，于点，求证：． 证明：∵，，（已知） ∴ ______， ∴（______）， ∴ ________（          ）， ∵，，（已知） ∴，，（           ） ∴． ∴（           ） ∴ __________（            ） ∴．（          ） 8．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 9．如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 10．如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，． (1) ____（填“”“ ”或“=”）． (2)如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求α的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$