精品解析：新疆阿克苏地区阿瓦提第七中学2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年第一学期人教版八年级数学期末试卷 一、 选择题（本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，中线，交于点，连接，若的面积为2，则的面积是（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 7. 如图，中，，BE平分交AC于D，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F。下列说法：①；②：③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 一个正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ） 10. 将数字0.0000019用科学记数法表示为______. 11. 分解因式：3x2y﹣3y＝_______． 12. 若点与点关于y轴成轴对称，则_____． 13. 已知，则的值为___________． 三、 解答题 14. 计算 （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）点P是y轴上的动点，求周长的最小值． 17. 在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． （1）用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； （2）若，，求剩余草坪的面积． 18. 如图，，是的垂直平分线，的周长为10，，求的周长． 19. 为了测量楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶端C的视线与水平线的夹角，楼顶A的视线与水平线的夹角，点P到楼底的距离与旗杆的高度均为，旗杆与楼之间的距离为，求楼的高度． 20. 兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元． （1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ （2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价） 21. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 22. 阅读下面的问题，然后回答， 分解因式：， 解：原式 上述因式分解的方法称为配方法请体会配方法的特点，用配方法分解因式： ; ． 23. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，， ，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 （1）若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． （2）若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． （3）已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期人教版八年级数学期末试卷 一、 选择题（本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 2. 要使分式有意义，x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0，是解题的关键． 3. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵， ， 在中，，， ． 故选：D 4. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：． 5. 如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从图中可以得出，大正方形的边长为，大正方形的面积就为，4个矩形完全相同，且长为a，宽为b，则4个矩形的面积为，中间的正方形的边长为，面积等于，大正方形面积减去4个矩形的面积就等于中间阴影部分的面积． 【详解】解：∵四周部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b， ∴四个矩形的面积为， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形面积为， ∴中间小正方形的面积为， 而中间小正方形的面积也可表示为：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，利用正方形面积和矩形的面积的计算方法解决问题． 6. 如图，在中，中线，交于点，连接，若的面积为2，则的面积是（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，中线交点到顶点的距离与中线交点到对边中点的距离之比为：，过点D作，交于点F，先证明点F是BE的中点，可得到，即可证明，通过，计算出和，进一步计算出，即可求得答案． 【详解】解：过点D作，交于点F， ∵点D是的中点，， ∴点F是的中点， ∴， ∵， ∴ ∵，是中线， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故选B． 7. 如图，中，，BE平分交AC于D，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F。下列说法：①；②：③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可证△ABD≌△ACF，可判断①②正确，又BE平分，BE⊥CF，可判断△EBF≌△EBC，得出④⑤正确．假设③成立，推出矛盾即可； 【详解】解：∵∠BAC=∠BEC=90°，∠ADB=∠CDE， ∴∠ABD=∠ACF， 又∵AB=AC，∠BAD=∠FAC=90°， ∴△ABD≌△ACF， ∴BD=FC，AD=AF，∠ABD=∠FCA， 故①②正确； 又∵BE平分，BE⊥CF， ∴△EBF≌△EBC， ∴EF=EC，BF=BC， ∴BD=FC=2CE，故④正确． 假设AF=CE，则CF=2AF，可得∠ACF=∠ABD=30°，而题中无此条件，故③错误， ∵AB+AD=AB+AF， ∵BC=BF， ∴AB+AD=BC，故⑤正确， 正确个数为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转与轴对称发现图形中的两个全等三角形． 8. 一个正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形外角和为360度进行求解即可． 【详解】解：由题意得，这个多边形的边数是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，熟知多边形外角和为360度是解题的关键． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程． 【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天， 由题意得：． 故选：C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 二、 填空题（本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ） 10. 将数字0.0000019用科学记数法表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】将数字0.0000019用科学记数法表示为1.9×10-6． 故答案为1.9×10-6． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 11. 分解因式：3x2y﹣3y＝_______． 【答案】3y(x+1)(x﹣1) 【解析】 【分析】先提取公因式3y，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：3x2y﹣3y ＝3y（x2﹣1） ＝3y（x+1）（x﹣1）． 故答案为：3y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题主要考查了运用提取公因式、公式法进行因式分解，灵活应用相关因式分解的方法成为解答本题的关键． 12. 若点与点关于y轴成轴对称，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质—轴对称，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数列式求出m，n，然后计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴成轴对称， ∴,， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，再将代入化简即可得解； 【详解】解：， ， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握整体代入方法． 三、 解答题 14. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的乘法、零指数幂、负整数指数幂计算即可得解； （2）根据单项式除以单项式、平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案． 【详解】解：原式 当时，原式， 故答案是： ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键． 16. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）点P是y轴上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1） 如图，即为所作． ． （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、轴对称的性质、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先分别作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）利用一个正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （3）连接，与轴的交点即为点，再利用两点之间的距离公式求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点， 由轴对称的性质得：，， ∴， 由两点之间线段最短可知，点共线时，的值最小，最小值为， ∵，， ∴周长的最小值为． 17. 在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． （1）用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； （2）若，，求剩余草坪的面积． 【答案】（1）平方米 （2）260平方米 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用； （1）根据图形利用平移的性质可得剩余草坪的面积为宽为米，长为米的长方形面积，根据多项式乘以多项式，即可求解； （2）将，代入（1）中结果，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，剩余草坪的面积为 答：剩余草坪的面积为平方米． 【小问2详解】 当，时，原式， ∴剩余草坪的面积是260平方米． 18. 如图，，是的垂直平分线，的周长为10，，求的周长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 先根据垂直平分线的性质得出，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴的周长， ∵周长，， ∴的周长. 19. 为了测量楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶端C的视线与水平线的夹角，楼顶A的视线与水平线的夹角，点P到楼底的距离与旗杆的高度均为，旗杆与楼之间的距离为，求楼的高度． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再证明，可得，再利用线段的和差运算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴楼的高度是． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有，以及全等三角形对应边相等． 20. 兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元． （1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ （2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价） 【答案】（1）第一批T恤衫每件的进价是90元；（2）剩余的T恤衫每件售价至少要80元. 【解析】 【分析】（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数可得方程； （2）设剩余的T恤衫每件售价y元，由利润=售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于650元，可列不等式求解. 【详解】解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，由题意，得 ， 解得x=90 经检验x=90是分式方程的解，符合题意. 答：第一批T恤衫每件的进价是90元. （2）设剩余的T恤衫每件售价y元． 由（1）知，第二批购进=50件． 由题意，得120×50×+y×50×﹣4950≥650， 解得y≥80. 答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元. 21. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 【答案】 (1)证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD． ∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE． (2) 40°. 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE； （2）由（1）可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数． 【详解】（1）略 （2）∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线．解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC=∠ECD；（2）利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=70°． 22. 阅读下面的问题，然后回答， 分解因式：， 解：原式 上述因式分解的方法称为配方法请体会配方法的特点，用配方法分解因式： ; ． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意给出的方法加4减4进行配方，即可求解； （2）根据题意给出的方法加9减9进行配方，即可求解. 【详解】解： . 【点睛】因式分解是本题的考点，用到了完全平方公式和平方差公式，根据题意正确配方是解题的关键. 23. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，， ，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 （1）若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． （2）若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． （3）已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 【答案】（1）12 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设这个三角形中最小的内角为，根据题意结合三角形内角和定理得出，求解即可； （2）分两种情况：当是“开心角”时，当不是“开心角”时；分别求解即可； （3）由题意可得另一个“开心角”是，由三角形内角和定理可得第三个内角是，由题意可得，求解即可． 【小问1详解】 解：设这个三角形中最小的内角为， ∵为开心三角形，， ∴， 解得：， ∴这个三角形中最小的内角为； 【小问2详解】 解：∵为开心三角形，， ∴当是“开心角”时，最小角为； 当不是“开心角”时，设这个三角形中最小的内角为， 则， 解得：，此时最小角为， 综上所述，这个三角形中最小的内角为或 【小问3详解】 解：∵是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角， ∴另一个“开心角”是， ∴第三个内角是， ∵是最小的内角， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $