小专题(一) 二次根式的运算&小专题(二) 二次根式常用的求值方法-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 云南专版）

16.2二识根式的采标 例塑引晋 参考答案 第1深时二次根式的乘法 【鳞1vgV合【.1源式-45+9--学，原t-G+4 新地核理 第十六章二次根式 00 +9+6 例暖引 161二灾根式 基稿过关 第1课时二次根式的讽命 【例w11期式-，/0正-/公万-万原式-8y%×子-8×2-4 L.A1.D32【变式型414在万片死，于&C6.D 新妇核理 【到w:式-×可-万×m-08,20原式-/·了·了 0a0 9a0 2万2在长照式-2像t-2不+4石-4， 脚吸引结 基圈议吴 量力提升 【9例1】斯：(2(3》是二次限式 【例出已明.得二沙解得x-1.y一5， LD2B表D425解，11第式=10=√2×了=3正11象式- 9,CnB11,3以，解：117式+4后-2.至+35+4,2-7石+2厘(23式 V田×号一-0式-/网-对-1，期式-一×￥x深而 4作-3落+J-43原-2整-12+4,22.3 ,日，期，1月 基础过关 =一4√2平一-I,,6A7,C:《解(1家式=，而×y万=4×3✉12(2)期 2矩式-1正+8夏+3-8区+3 式-酒- 围维无展 1A1A1A4A系81h-00,得，(2)幽+10，得-子 管力提异 交（油广一，借L6B1mkD 4,周长为√停平+平V屈+v防+要-平当： 9A桶D1-写2解：米-h-石×有-42,5-山-3网 能力规开 匹领江.1且解，写d一如.1=L2时m=5×工正西=2的经× 一》时，母长为子风而一24，《答圣不一脊合题在甲可 葛2课时二次根式的部合运算 气n1nA1.2解，1由号h赠意群一20且2-e-2 2449R8m/h容，军事汽的车速大的是88m/h 例随引略 一，即：一2一4身得种情风计论D肖：是糖长林，三角影的边长分期为22， 恩顺拓展 【例11解，1式=匠+=4+1(2式-4÷23一3落÷18-1 4,2十24，品不使组或三角题：当。是底边卡时，三角用的三边长分明为2，，1， 4期，9,5的21由，5X==师-1：V1号 能组减三角积：比等腰三角形的州长为2中4+4#A13解：()设这个长方用过 g【倒斯厚或-6-学-4-2(2式-g-×v西 通的长为um宽为2：m阴据增道：得可，2红一10，解程一士1，？，不使为黄数： V9-√×厚-而-，a。-m而-溪而- w2)2-46+g14-4 r=1:r一5：22，答：这个长方形这题的长为5m:观为2(2设这种地板砖 2X6 基毽过关 晦边发士m…嘴0-a-子一士√于-上安y不佛发负数心 第2深时二次根式的除油 上目2C1山-在2-4解，1原武-1，区-区-12腺式一花X 是整：这种老质秘的边长为寸m 知镜理 E-i2+12-15-2-25-15--2-11.&e601.m8D10 即推拓满 ®√丹≥刘电目分好亚开释母方的四酸或得大 8.解，1)像式-5-Ψ-5-1=1」复式=建2)=2×22×5+3'=4 4有在，幽条件持新箱六整数。的单值可德为8.4 例显引泽 1,g+=11-% 5,16,7,家，，21，具中传合系件四的整我几有1绵，且国同时符合条件8，=1风 【例D【例2】解.短式-√厚-5-：2)原或一×景×√0等-4× 能力提升 线.CnB1.2+12解，(1D算式(25+5)X-22区w+8×,配 第2课时二火根式的性嘴 -21=4,3+3-月-22=4百+2：(9摩式-2-1+4-4,2+1=8-4，Z 套划核理 √0×-面 0>0:0一0本运符号 基则过关 玉解，1长克形空地AD的期长■2×(V店+级)2×（四于+8） 刷题引籍 18,石+16，m答，能方电丝胞AD的树长是1%万+4受)：2i×[区 【例事【到2功【倒解1w式-号2深式一元 1-4百+14wT-1门=×9g×8E-14-1门=i×(2,g-18)= 基毽过关 V号×-顶-1压原式-√密-压，4e4e4前：那式 (00得—商元答，集境通通活密花模〈30污一1龙 更维无展 05 2原武K7=8国原式子D员B6【度安】-2：解，红深式 4解，仙式*×g一而 二-g-2可-而0u晾t店 密力提升 -十-至+-√落++w2西-√西-西-1-√6-4 么3g原成---3深式-吉-卡心多解，8感0防 又CNL3行z师”sm-士，-A船，C,S 小专题〔一一》二次根式的运算 是代数式 1前：6源t-8万+2点后-5-5+，2限武-5-+4- 能力提开 1组D11.B以.4发7线813解11甲车-5时，一0，V-可的化篇 恩里佰展 平+6属2，顺武-丽-的深武-一士号-一专 靖果为一1白原式1-十/一F一1+如一1■面一■i×2一坐■及 14解：由数.0.一<0原式一一一一一一4 a新：有防8+g+h 单女√骨+√晋×江3解单女-8+，× =8+l.t-1=8a-1P-2.厚w-+1-2,÷-2a=1,∴./w6u-1 思橡托展 3a2-}-18×1-12 -×,后-g式-4+1-店-，a原式-√厚-V2x于-- 15解：1受+2=0.周7=一2，令一20.得1=3.干2与可的零 16.3二安根式的加浅 5+万-53+2-83-5(4)眼式=-2v6+v区-T+43=-2I-2+49 点暂分别是-2,3.2原式=+订+√=+21十年-1.当<- 弟1谋时二次根式的加减 =2万-山式m6z3+×3-a1+T=12+8一35=L.411二次 时，原式-十)-一)-一十1，%-3时.原式-+2-一》- 新顿理 ,当3N,源式-x4)+a-)=21 0耀可二次根式被开方酸 限式牌供选则21二桥号情最食号，去括号脂第二项授有安号(》拉婴 第1夏（共《2页） 第2页（失42第） 第3页（共42期》 5解：1)题式-号=平+2+4万+1=54+e41万十1=14+4瓦，3)原式 第十七章勾股定理 AB=E一5-一1)L由题意，得∠A.在民△AC中，由的霞定理，副 (22-1Fa×22+3=×(2月十3)-[112-3)×(2F十11×(2，正十3 17.1勾投定理 f十别=，辱一1于+=F.丽得x且五暮：罪通M的长度为R5m 苏C4银解：设BV=,山折叠的性婚，到DN=AV-ABBN一一黑芒D是 =-m×2,+-12@+-2,2+4解，5V日V月 第1课时句暖定理 斯如横理 X的中意0-号度-×一1，在民△BND中，山勾段控理，得W十W √币-+V玉1且为整数，E用下左边√ 2十= ND,即十云=一，解群一，线及HN的长为41解：在和△A中， 例是引座 =G.仪一8+由勾橙坐理，得AB=√A=/=103,:精能 【例1】引9【例2】解，1”∠Ce:c=&,6=2,由匀取定连，得a一= 片静D斯我，直角边C给好落作斜边上，题与AE康白，∴E-C=Gm:D 7,解，1行2力：11=2，而=1+4而=万+w6-2店×后=元 一型5：2)”∠（如，年量2.■，白妇取定理，得62司 (D,∠E事0.EuAH一AE=0一4■4in,设D=DExm.期HDd 在△用中，由勾段定月，荐+一形.年+广一塔一).解料话 不，V1I-gv5-P@B一m+-5 一1平=4 小专题（二）二次根式常用的求值法 蒸西说美 -,摩店-3m△惑的再阻为令×4×一)2解：由低叠的性置，得 1C330人C4A【使式0成275解，10-2G-2-=2 E=(4=(:国边郡4是长方形，.AB-《-s.∠B一∠-在的△A 1C2解：-v可+西-.六都得4-14-6 2=行干0=V干=7a=6=高图=4，&C 中，由句量定理.得g=A公A修=√而=长仪=特=10.“.军=仪 -9.(g)543b一9时.，面-√容4,2√T一T=6--1,人A 繁力母升 E-1一4，，点E的聚标为(4，.设-r,蝴r,CD=8一r.在C是 +h5A6解：”ay十2-2.a+h=(.F十F+(w万-万》2，h 里.心生.A象解：日)正形同D由4个全等的直角三角时和个小正方彩E于 中，由为定到，得D是一少■飞，目一(8一x)=,解得=5，O■：，局 -1w3+,8一2)=8一2=1，(11原式446h+=1×2万=2，⑧：12)原式 G出组或A因E正>).2一×b十一a夕，悬理得十- D的标为(u,51: 2+址.u+1-2-士如-2型-g-2--10.1第，14<行 17,2勾般定理的逆定理 2下直角三角形UE的厘积为4，r=5,六字a63,+#2一1旷■ 第1这时自璧定理的送定理 下，2c香3，的小数8分4=7-二片而心C不，2<百C a风小正方形ER的肩积为一a泸=a2十一2b=2密一2×好一， 基础过关 百的聚数常计4-.“十--+1×7-订-12，(2)“C万c万，1 .小正方形H的造长为头 L.目1.C3解，小)4+可4，矿■闭，4+位≠.这个三角形不是直角目 角冠，设这个角形的边长分别为染，h,5无，：(1于十《论产=5(，( C<2,1<书十万C生6+5一十y,八中r是一个整段.0C1-7,y-8 厚里后深 1n解：(1)D是是(2>出△C是直角延角形，∠'=，品十B=日 安，请十(4月=4..这个角是直角三角4①①，必与市 5.解，1)命题成卓：毛合画：问房内角种，两直线平1：通命通促议：(2)命题成立：递 第十六章整合与提升 图=F一，△A?是“可爱三角形”，=2，三种情况：①昏十 自迪者r一10，调x=1:遥的赠不线之，《D 真繁考点突被 A下=度，甲A十■2A一M).品A■3=3×(2,F=4,AB= 能力提升 1D1D30428答案不常一5B41g元员压1解：19原式 2,(我值已含表.西AF+a”=2,甲AB十UP一M=2,2A甲 7,8米角，第(1)16一a十-8十一r=,4-al.一820 1,21f=3X2=.AB=￥万角值已舍表，①下十w=Af 0一0,0-u=0h-8=0,10一7=0，解月a=6,h一4，c=10,2以2bc为0 2+万-35：(2原式4一1,5十5-含=8一含，臭A14,91L解：第式= 24F,“此种情况不减立缩上所楼.B的长为2域2石， 长能胸成直角兰角形星出如下：+8一+平=02-1一：d+8一， x一3-F十4十9=十长当r一至-1时.家武-例r十1)山8×至-1十1u8园 第？课时利用勾般定建解决米际阿题 二双a,心方边长体构成有角三角聪. 11解，a-2+,A-2-,6叶0=ba+的=(2+5)(2V512十5+2 幕侧过关 第2课时幻股定理及其逆定理的棕合应周 西--x4-t这A4解，当6m时需V震-0- 1D玉4 基键过关 能力提升 L.C工解：青天“号量北偏有0方向航.理由下，中思套，刹RP-12量e-可 风1。容，物体从45m的商空落到期度的时0为】：（☒）小南的料断正确弗山妇下，再 表D表：设拔行的高度AD为xm由题意，得MG=A=rm,AB=《一1m.批 15nikQ眼-20n回k10+1正十1H=00-,Q+我严=Q, 一4：时语一倍-总-64-别m在空抽特对能-mx4×0 =m在△AC中，由女酸宽理，得AF+=A的，厚一25+果=，解得上 △FQ是直角三角形：∠RQ一，“医触”号沿北相东方底脑行，“南天”号 一1容：直杆的再度D为了品戈，解：(1)由题意，得AB-是=1，了m自 首上倒西了友到候行.10国 1间力，145，这个玩具产生的餐公表到楼下的行人，得小南的判斯正确 △DF中：由匀设定理，得D=√图了一一下=12m),.E-DF+ 健力慢升 版可-1前，影式-(1+)+(+}十(1十)十+(1中 DE一1+1.T例且.7).答，此时风筝的看直高度2下为13T=(2)由题意，荐（于 18m:DF-1:m:D=F+平-18+2=1m,在△kD中，由股定型 段=径，：△U是直具之角形，L∠AB一0，(2到港会受到台风影麻观山 而-1+1-士+1+日合+1+士青+一+1+片-6--市-品 荐=8=6千=4m,÷a-HF=34一0=1m1.若：经需截 过点C作D1A0于点以.由()可知，△A度 根倍易屋专度 当风第线4m 第3课时约酸定理的作图与计算 1粉：式-石（得+一登-是-草玉都：达个化周过程不正 蒂圈过美 路直角三角形.∠-56w-A·D-号A汇·改，D-:风 电“√骨一学成立的嘉件为a,>,虚一节<m,一<，六这个化调过程不E LD玉于3解，如图-点A零为两求. 4A5.u -Wm<nm,二海C金受行风影响 逸E新爷甜限厚√厚-厚 能力提界 6D1.C8.-i或8象解，H2如图（答率不明一） 小专题四) 刊用勾位定理解决量短路径问题 上.解，周 常有距屋清海 作点A关干直线N的村释盛C,蓬报压笑直线 1D2B4%:6V-+于w)-w当一 ,身n≥号时.那式-w一令9w一吉n串<号明.短式一w+号乙的8 1N于点P,连援P,刷比时A+P带的长度最小，点C为点A关于直线N的刻 鲜点，=AA+=十属过点作年D1CA.交A的蓝长线T 紫E确.星由如下：背e=时.一g:原式=十a一u十w一)=如 小专遵（三）方程想在勾股定理中的应用 点D.AM口：B=4hm,AB'=im,,AC-2m,DE=8n,期TD=1 1-×一1-7，乙的答室里确3川4-1中+7-中2了 1.A2(1)42(2一4+一2D■于19州4D59k解，设C- 十A纪B十AC4十2=8(k,在N△B中，由期取定理，得(B —1川+￥-rl,当=时.一10,2-0.÷一1川+12-r=一1+一2 N∠Cn9,∠A■5，C=MC■头由震定座，得A甲=AC十C,32) +F-w8-0km),县AP+B一Dm酸最知距离为I0kL2C -2r一3..周=5明.原式gX3一1=5-a 十y,y=别角图已象去，A=发-3，方，解：设A=(n则AE=N-r 3片4解：将长体送开，分对用列打若明①.答闲回，答图0所示的三种情配，或接 第4页4共42页) 第5有（共42黄） 第6页〔共42页》小专题（一）二次根式的运算 类型1二次根式的加减 类型3二次根式的混合运算 1.计算： 3.计算： (1)(2024·昆明寻甸县期末)(12+√20)+ (1)(W6+10×15)×3: (w3-5): 2亚-205+v露-√得 (2)2×(3+√5)-25： 类型2二次根式的乘除 (3)(昆明期末)27÷3+2×写-5： 2.计算： (1)6√8×(-32)： (2(-45)÷51 (4)(2024·昆明嵩明县期末)一√24÷√2 x亚+s, 33号÷1g (5)(玉溪红塔区校级期中)（√6+√3）√一 3w√14÷√7. 13数学1八年级下册 4.新考向过程性学习下面是小鑫同学进行实数 类型5与二次根式有关的规律探究题 运算的过程，认真阅读并解答相应的问题. 方法指导 √g-2xv+8) 求解与二次根式有关的规律探究题时，常运用从 特珠到一般的推理方法，即通过简单、特殊的例子发 x(+3) …第一步 现规律，并进行一般化的推广 2 -32-23×26+2B×3√ 2 …第二步 6观察下列各式：+写=22+ 2 -32-122+62 …第三步 2 =-9 请你猜想： 2 …第四步 (1)以上化简步骤中，第一步化简的依据是 14+=5+7= (2)请你将猜想到的规律用含有自然数 (2)第 步开始出现错误，请写出错误的 n(n≥1)的等式表达出来，并证明. 原因： (3)该运算正确的结果应是 类型4利用乘法公式计算 5.计算： (1)(昆明期未)（√5+2）(W5-2)+(2√3+1)2： 7.(2024·昆明五华区校级期中)有这样一类 题目：将√a十2b化简，如果你能找到两个 数m,n,使m2+=a且m=√b,则将a十 2vb变成m十m2十2mn,即变成(m十n)2,从 而使得Va+2v石得以化简. (1)例如：，5十2√6=3+2十26=(w3)2+ (W2)2+2√2×√3=（√3+√2）2， (2)(22-3)221X(2√2+3)22. ∴.√5+26=√(3+√2)2= (2)请仿照上例化简：√11一2√30 第十六章二次根式14 小专题（二）二次根式常用的求值方法 类型1 利用二次根式的非负性求值 6.已知a=3十√2，b=3-√2，求下列各式 1.若a,b为实数，且|a十1|十b-1=0,则 的值： (ab)2o2s的值是 (1)ab+ba2: A.0 B.1 C.-1 D.±1 2哈+号 2.已知a,b满足等式b=√2a-6+√9一3a一9. (1)求a,b的值： (2)试求√12a一√的值. 类型4利用二次根式的整数部分和小 数部分求值 7.(2024·昆明寻甸县期中)阅读下列材料： a(a≥0)， 类型2利用va=|a= 化 I<2<4, -a(a<0) ∴.1<2<2， 简求值 ∴√2的整数部分为1，小数部分为√2一1. 3.实数a在数轴上的对应位置如图，则 请你根据材料所提供的信息，解答下列问题： √(-a)+1+|a一1的化简结果是( (1)W7的小数部分是a,√51的整数部分是b, 01”2 求a十2b-√7的值： A.2a B.2a-1C.0 D.1-2a (2)已知6十√3=x+y,其中x是一个整数， 4.已知a,b,c是△ABC三边的长，则√(a一一c+ 0<y<1,求2.x十(y-√3)24的值. |a十b-c的值为 类型3 巧用整体代入法求值 方法指得 对于给定的数学问题，按照常规求解不易时，可 打破常规，把具有共同特征的某些部分看成一个整 体，根据问题的特征，关注题目的条件与结论，进而解 决问题，这种方法就是整体思想方法。 5.(教材Pg复习题T变式)已知x=√5十1， y=√5-1，则x2+2xy十y的值为( A.20 B.16 C.2w5D.45 15数学八年级下册