广西钦州市浦北县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年广西钦州市浦北县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关系式中，y是x的反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 2.已知点，则它关于原点的对称点坐标为(    ) A. B. C. D. 3.下列事件中，是必然事件的是(    ) A. 明天太阳从东方升起 B. 五边形的外角和等于 C. 购买一张彩票，中奖 D. 随意翻开数学课本的某页，这页的页码是偶数 4.如图，在中，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.若方程没有实数根，则k值可以是(    ) A. B. C. D. 6.如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是(    ) A. B. C. D. 7.如图，的半径为13，弦，于点则OC的长为(    ) A. B. C. D. 8.将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是(    ) A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 9.如图，在等边中，，点D是BC的中点，将绕点A逆时针旋转后得到，那么线段DE的长为(    ) A. B. 6 C. D. 10.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 11.学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温将至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是(    ) A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过的水 D. 水温不低于的时间为 12.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是(    ) A. 25 B. 30 C. 40 D. 50 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13.掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是______. 14.若方程的两根为、，则的值为______. 15.在如图所示的方格纸格长为1个单位长度中，的顶点都在格点上，将绕点O按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是          . 16.圆锥体的高，底面圆半径，则圆锥体的全面积为______ 17.下列是关于抛物线的性质：①图象开口向上；②对称轴是直线；③当时，y随x的增大而减小；④当或时，，其中正确的是______填写序号 18.如图，三个顶点分别在反比例函数，的图象上，若， 轴， 轴，，则k的值为______. 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19.解方程： 四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题6分 如图，和关于点O成中心对称. 找出它们的对称中心O； 若，，，求的周长. 21.本小题10分 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同. 搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为______； 搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？用画树状图或列表的方法说明 22.本小题10分 直线与双曲线相交于点，与x轴交于点 求双曲线表达式； 请在平面直角坐标系中直接画出直线与双曲线的图象. 23.本小题10分 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面的距离为 建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式； 一大型货车装载设备后高为7m，宽为如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？ 24.本小题10分 如图，AB为的直径，点C在直径AB上点C与A，B两点不重合，，点D在上且满足，连接DC并延长到E点，使 求证：BE是的切线； 当时，求半径的长. 25.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线： 抛物线的对称轴为______；抛物线与 y轴的交点坐标为______； 若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； 若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，求m的取值范围. 26.本小题10分 综合与探究. 【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘.老师出示了一个问题：如图1所示，在中，，，点D是边BC上一点，连接AD，将绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到 连接DE，试判断的形状，并说明理由； 【深入探究】 希望小组受此启发，如图2，在线段CD上取一点F，连接AF，使得，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由； 智慧小组在图2的基础上继续探究，发现CF，DF，DB三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、，y是x的正比例函数，故不符合题意； B、，y是x的二次函数，故此选项不符合题意． C、，y是x的反比例函数，故此选项符合题意； D、，不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选： 直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案． 此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握反比例函数的定义是解题关键． 2.【答案】D  【解析】解：点关于原点的对称点的坐标是： 故选： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 此题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 3.【答案】A  【解析】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，符合题意； B、五边形的外角和等于是不可能事件，不符合题意； C、购买一张彩票，中奖是随机事件，不符合题意； D、随意翻开数学课本的某页，这页的页码是偶数是随机事件，不符合题意； 故选： 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4.【答案】B  【解析】解：连接OC， ，， ， ， 故选： 连接OC，根据弧，弦，圆心角之间的关系得出，根据圆周角定理得出，求出答案即可． 本题考查了圆周角定理和弧，弦，圆心角之间的关系，能熟记知识点是解此题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：方程没有实数根， ， 解得：， 值可以是 故选： 利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：圆被等分成4份，其中灰色区域占2份， 指针落在灰色区域的概率为 故选： 首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在灰色区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 7.【答案】C  【解析】解：，， ， 的半径为13， 在中，， 故选： 先利用垂径定理得到，然后利用勾股定理计算OC的长． 本题考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理的应用是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况． 【解答】 解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 点向右平移3个单位可得到， 将抛物线向右平移3个单位得到抛物线 故选 9.【答案】C  【解析】【分析】 此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．勾股定理等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 由等边中，，D是BC的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得AD的长为，又由将绕点A逆时针旋转得，证明是等边三角形，继而求得答案． 【解答】 解：是等边三角形， ，， ， ， ， 绕点A逆时针旋转后得到， ，， ， 是等边三角形， ， 故选 10.【答案】A  【解析】解：设原正方形的边长为xm，依题意有 ， 故选： 可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为，宽为根据长方形的面积公式方程可列出． 本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键． 11.【答案】D  【解析】解：开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为：， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， 水温下降过程中，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； 令，则， ， 即饮水机每经过40分钟，要重新从开始加热一次， 从8点到9点30分钟，所用时间为90分钟， 而水温加热到，仅需要8分钟， 故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从加热了10分钟， 令，则， 故C选项不符合题意； 水温从加热到所需要时间为：， 令，则， ， 水温不低于的时间为， 故选： 因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意，利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令，则，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间． 本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键． 12.【答案】D  【解析】解：如图，连接AC，BD相交于点M， 点H和点G分别为AD和CD的中点， 是的中位线， ， 同理可得， ， 四边形EFGH是矩形， ， ，， 则 矩形EFGH的周长为20， ， ， 则当时， 有最大值为 故选： 由四边形EFGH是矩形，可得出AC与BD互相垂直，则用对角线AC和BD的乘积表示出四边形ABCD的面积即可解决问题． 本题考查二次函数的最值，能正确表示出四边形ABCD的面积是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：点数为 故本题答案为： 掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是有6种情况，故其概率为 本题考查的是随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率 14.【答案】  【解析】解：方程的两根为、， 故答案为： 根据根与系数的关系得，直接填空即可． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则， 15.【答案】  【解析】【分析】 根据旋转角的概念找到是旋转角，从图形中可求出其度数． 本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角． 【解答】 解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且， 故答案为 16.【答案】  【解析】解：底面圆的半径为2cm，则底面周长， 底面半径为2cm、高为， 圆锥的母线长为4cm， 侧面面积； 底面积为， 全面积为： 故答案为： 表面积=底面积+侧面积底面半径底面周长母线长 本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键． 17.【答案】①③  【解析】解：抛物线， ，该抛物线开口向上，故①正确； 其图象的对称轴是直线，故②错误； 当，y随x的增大而减小，故③正确； ， 抛物线与x轴的交点为， 抛物线开口向上， 当或时，，故④错误； 故答案为：①③． 根据题目中抛物线和二次函数的性质，图象与x轴的交点可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18.【答案】5  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点C的坐标，表示出点A、B的坐标是解题的关键． 设点C的坐标为，则点A的坐标为，点B的坐标为，由此即可得出AC、BC的长度，再根据三角形的面积结合，即可求出k值，取其正值即可． 【解答】 解：设点C的坐标为，则点A的坐标为，点B的坐标为， ，， ， 或 反比例函数的图象在第一象限， 故答案为： 19.【答案】解： ， 或， ，  【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 通过观察方程形式，利用因式分解法解方程比较简单． 20.【答案】解：如图所示，点O即为所求； 和关于点O成中心对称， ≌， ，，， 的周长； 答：的周长为  【解析】连接AD，CF，其交点就是对称中心O； 依据和关于点O成中心对称，即可得到≌，进而得出的周长． 本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 21.【答案】解：； 画树状图如下： 一共有在16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1出现了3次， 第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大  【解析】解：一共有4个编号的小球，编号为2的有一个， 摸出1个球，这个球的编号是； 见答案. 直接利用概率公式求出即可； 用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可． 本题考查概率公式，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 22.【答案】解：由题意，将代入直线， 将代入双曲线， 双曲线的表达式为 由题意，结合所得解析式， 一次函数为，双曲线为 作图如下．   【解析】依据题意，将代入直线从而求得m，再将点A代入双曲线求出k后即可得解； 依据题意， 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 23.【答案】解：如图，以所在直线为x轴，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 根据题意得，，， 设抛物线的解析式为，把代入，得： ， 解得： 抛物线的解析式为 根据题意，把代入解析式， 得 ， 货运卡车能通过．  【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，恰当地建立平面直角坐标系、利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键． 建立坐标系，根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为，再把代入，求出a的值即可； 隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可． 24.【答案】证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：设的半径为r， ， ， ， ， 在中，， ， ，舍去， 半径的长为  【解析】先证，再由，得，，进而得，于是有，从而即可证明结论成立； 设的半径为r，在中，利用勾股定理得，求得； 此题考查了圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的运用以上知识解题是关键． 25.【答案】1    【解析】解：， 当时，， 所以抛物线的对称轴是直线，抛物线与y轴的交点坐标是， 故答案为：1，； 抛物线的顶点恰好在x轴上； 抛物线的顶点坐标为， 把代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 关于对称轴的对称点为， 关于对称轴的对称点为， 若要，则， 解得： 根据对称轴是直线求出对称轴即可；把代入函数解析式求出y即可； 把点代入，再求出a即可； 先求出A、B关于直线的对称点坐标，再根据二次函数的性质和已知条件得出，再求出答案即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键． 26.【答案】解：是等腰直角三角形，理由如下： 绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到， ，， 是等腰直角三角形； ，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ，， ≌， ； ，， ， 绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到， ，， ， ， 由知：，   【解析】由旋转的性质得出，，从而是等腰直角三角形； 可证得，进而证得≌，从而； 可推出，，进而得出，从而，进一步得出结果． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$