复习篇 02 空间建系与坐标求法+求直线方向向量与平面法向量 -2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

02 空间建系与坐标求法+求直线方向向量与平面法向量 【题型1】 建立空间直角坐标系 【基础知识】 建立直角坐标系的方法 (1) 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 (2) 利用线面垂直关系构建直角坐标系 (3) 利用面面垂直关系构建直角坐标系 特殊地，遇到等腰三角形，利用三线合一；遇到菱形，利用对角线相互垂直. 【经典例题】 【例1】（24-25高二下·全国·课前预习）正三棱柱，底面边长为2，高为3，建立适当的空间直角坐标系． 【详解】以的中点为原点，分别以有向直线，为轴、轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示． 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京·阶段练习）如图所示，平面，底面边长为1的正方形，建立适当的坐标系。 【详解】（1）因为平面，且平面， 所以，， 在正方形中，， 所以两两垂直， 如图，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系， 2如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．建立适当的坐标系． 【详解】 取的中点，连接，是正三角形， 又平面底面 平面 则以点为原点，分别以所在直线为轴，以过点作的垂线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 【题型2】 确定空间直角坐标系中点坐标的方法 【基础知识】 射影法 看所求点分别在轴的投影对应的数值. 如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是； 或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标. 一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法； 公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 若点， 则线段的中点坐标；三角形的重心； 点在线段上且，则. 向量法 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质. 待定系数法：设点，利用已知条件求出. 【经典例题】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知在正三棱锥中，高为1，底面正三角形的边长为，建立适当的空间直角坐标系写出A，B，C，D四点的坐标，并求侧棱AB的长度. 【答案】，，，，侧棱AB的长为 【分析】设O为A在底面BCD上的射影，过点O作与CD平行的直线，交BC于点F，分别以有向直线OB，OF，OA为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据几何长度求出各点坐标，然后利用两点距离公式求出侧棱长度. 【详解】设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心. 过点O作与CD平行的直线，交BC于点F，分别以有向直线OB，OF，OA为x轴、y轴、z轴的正方向， 以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 延长BO交CD于点E，则点E为CD的中点，    由，O为的中心可知，，，，. 又，，. 又在z轴上，且，. 由两点间的距离公式得. 综上，，，，，侧棱AB的长为. 【巩固练习】 1一张平行四边形的硬纸中，.沿它的对角线折起，使点到达平面外点的位置.若，建系求点的坐标. 答案 ，如图建系，则. 2（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    【答案】， 【分析】侧面，而与不垂直，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系得各个点的坐标. 【详解】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 如图所示，侧面，侧面，侧面，, 又,所以两两垂直，以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则， 所以，，，，，， 为棱的中点，则有. 3（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】连接交于，由等腰三角形三线合一可知，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系和中点坐标公式可求得各点坐标. 【详解】如图，连接交于， ，为等腰三角形，又平分，； 以为坐标原点，正方向为轴，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，， 又， 则，，，，，，. 【题型3】求空间向量的夹角，证明线线平行或垂直 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，棱，点、分别是、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：    (1)求的模；(2)求；(3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】建立合适的空间直角坐标系，根据条件确定图形中每个点的坐标. （1）分别找出，的坐标，求出向量，再用模长公式即可； （2）分别求出向量，利用向量的夹角公式求解； （3）求出向量，，说明即可证明. 【详解】（1）如图，以为原点，，，分别作为x，y，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 根据题意，可得，，， 因为为中点，所以， 所以.    （2）根据题意，可得，，，， 故，， 所以. （3）根据题意，可得，为中点，所以， ，，所以， 所以，即. 【巩固练习】 1（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)写出B，D，P，F四点的坐标； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，写出； （2）利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，且，F为CD的中点， 所以，又， ； （2）. 2（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点.    (1)试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标； (2)求的长 (3)求证：. 【答案】(1)坐标系见解析，， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，即可得到所求点的坐标. （2）根据空间向量坐标运算即可.. （3）根据，即可证明结论. 【详解】（1）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.    所以， （2），，， . （3），. ，，，所以. 【题型4】 求空间直线方向向量与平面法向量 【基础知识】 1 直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. 2 平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 【经典例题】 【例1】（2021高二·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    【答案】答案见解析 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，平面的法向量可直接写出，设出平面的法向量，根据垂直关系列出方程组，求出答案. 【详解】∵⊥底面，底面是直角梯形 且， ∴两两垂直． 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，      则， 则，易知向量是平面的一个法向量． 设为平面的法向量， 则即， 取，则， 所以平面的一个法向量为. 【巩固练习】 1（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．    【答案】， 【分析】由于轴垂直于平面，则该平面法向量易得，根据法向量的性质列方程组求平面的法向量即可. 【详解】由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示， 因此是平面的一个法向量； 设是平面的法向量． 由已知得，， 因而 取，得，则是平面的一个法向量． 2（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．    (1)求. (2)求平面的一个法向量 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量法求向量的模长得到结果. （2）设平面法向量，根据得到方程，解出即可. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，    则有，，，，，，，，， . （2）设平面的法向量， ，，， 则有，即，令，则， 所以. 3（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥中，，其中，求平面的一个法向量． 【答案】. 【分析】根据给定的空间直角坐标系，求出平面的法向量作答. 【详解】依题意，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，因此 所以平面的一个法向量为． 【A组---基础题】 1（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，，点为的中点，点为上靠近点的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出与点的坐标； (2)写出向量与的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据如图所示的空间直角坐标系以及长方体的长宽高可直接写出点的坐标； （2）利用向量坐标的线性运算可得向量的坐标. 【详解】（1）由题意得，所以 （2）取此空间直角坐标系下三个方向上的单位向量为正交基底， 则， 由（1）得， 所以，． 2（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知直三棱柱中，，且D，E分别是棱的中点．建立适当的空间直角坐标系，求与的长． 【答案】， 【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，再利用两点间距离公式求解作答. 【详解】在直三棱柱中，，， 以C为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 棱的中点，棱的中点， 所以 . 3如图所示，平面，底面边长为的正方形，，是上一点，且 (1)建立适当的坐标系并求点坐标；(2)求证：． 答案 (1)点坐标 (不唯一)；(2)略 解析 (1)平面，底面边长为的正方形， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，是上一点，且， ，设， 则由，得， ，解得，点坐标． 证明：(2)，， ，． 4（24-25高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）设正方体的棱长为2， 则，，，， （1）设平面的一个法向量为， ，， 则即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） （2），， 设平面的一个法向量为． 即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） 【B组---提高题】 1（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？    【答案】答案见解析 【分析】先建立合适的空间直角坐标系，按平面的法向量的求法计算并判定是否垂直即可. 【详解】   如图所示，以A为原点，所在直线分别为横、纵、竖轴建立空间直角坐标系，则，即, 由条件易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，即平面的一个法向量为， ，故平面与平面不可能垂直． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02 空间建系与坐标求法+求直线方向向量与平面法向量 【题型1】 建立空间直角坐标系 【基础知识】 建立直角坐标系的方法 (1) 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 (2) 利用线面垂直关系构建直角坐标系 (3) 利用面面垂直关系构建直角坐标系 特殊地，遇到等腰三角形，利用三线合一；遇到菱形，利用对角线相互垂直. 【经典例题】 【例1】（24-25高二下·全国·课前预习）正三棱柱，底面边长为2，高为3，建立适当的空间直角坐标系． 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京·阶段练习）如图所示，平面，底面边长为1的正方形，建立适当的坐标系。 2如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．建立适当的坐标系． 【题型2】 确定空间直角坐标系中点坐标的方法 【基础知识】 射影法 看所求点分别在轴的投影对应的数值. 如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是； 或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标. 一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法； 公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 若点， 则线段的中点坐标；三角形的重心； 点在线段上且，则. 向量法 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质. 待定系数法：设点，利用已知条件求出. 【经典例题】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知在正三棱锥中，高为1，底面正三角形的边长为，建立适当的空间直角坐标系写出A，B，C，D四点的坐标，并求侧棱AB的长度. 【巩固练习】 1一张平行四边形的硬纸中，.沿它的对角线折起，使点到达平面外点的位置.若，建系求点的坐标. 2（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    3（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【题型3】求空间向量的夹角，证明线线平行或垂直 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，棱，点、分别是、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：    (1)求的模； (2)求； (3)求证：. 【巩固练习】 1（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)写出B，D，P，F四点的坐标； (2)求. 2（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点.    (1)试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标； (2)求的长 (3)求证：. 【题型4】 求空间直线方向向量与平面法向量 【基础知识】 1 直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. 2 平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 【经典例题】 【例1】（2021高二·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    【巩固练习】 1（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．    2（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．    (1)求. (2)求平面的一个法向量 3（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥中，，其中，求平面的一个法向量． 【A组---基础题】 1（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，，点为的中点，点为上靠近点的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出与点的坐标； (2)写出向量与的坐标． 2（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知直三棱柱中，，且D，E分别是棱的中点．建立适当的空间直角坐标系，求与的长． 3如图所示，平面，底面边长为的正方形，，是上一点，且 (1)建立适当的坐标系并求点坐标；(2)求证：． 4（24-25高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【B组---提高题】 1（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？    2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$