第2讲 整式及其运算（讲义） -备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第2讲 整式及其运算 ( 课标要求 ) 1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念. 2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算. 3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解. 4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 代数式相关概念 ☆ 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 考点2整式的相关概念 ☆☆☆ 考点3整式的运算 ☆☆ 考点4 整式的化简求值 ☆☆☆ 考点5因式分解 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1.代数式及相关概念 （1）代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. （2）代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 2. 整式及相关概念 （1）单项式：由 或 相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的 ，单项式中的数字因数叫做这个单项式的 ． （2）多项式：由几个 组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的 ，不含字母的项叫做 ． （3）整式： ． 3.整式的加减 （1）同类项：多项式中，所含 相同，并且 也相同的项，叫做同类项．所有的常数项都是同类项. （2）合并同类项的法则：同类项的系数 ，所得的结果作为系数，字母和字母的 ． （3）添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去) 括号不变号，括号外是“-”，添(去) 括号都变号. （4）整式的加减法则：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项 4.整式的乘除 （1）幂的运算性质： ①同底数幂相乘：am·an＝ (m，n都是整数，a≠0)． ②幂的乘方：(am)n＝ (m，n都是整数，a≠0)． ③积的乘方：(ab)n＝ (n是整数，a≠0，b≠0)． ④同底数幂相除：am÷an＝ (m，n都是整数，a≠0)． （2）整式乘法：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． ②单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ． ③多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ． （3）乘法公式： ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ ． ②完全平方公式：(a±b)2＝ ． ③乘法公式的常见恒等变形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab (a－b)2＝(a＋b)2－4ab （4）整式除法： ①单项式相除，把系数、同底数幂分别 ，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的商相加． 3.因式分解 （1）因式分解的概念： 把一个多项式化成几个 的形式，叫做因式分解．因式分解与 是互逆变形． （2）因式分解的基本方法： ①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝ ． ②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝ ． 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ ． （3）因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式． ②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解． ③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式． ( 深度讲练 ) ■考点一　代数式的相关概念► ◇典例1： （2024•曹妃甸区模拟）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（　　） A．ba B．a+b C．10a+b D．10b+a 【变式训练】 1．（2024•广安）下列对代数式﹣3x的意义表述正确的是（　　） A．﹣3与x的和 B．﹣3与x的差 C．﹣3与x的积 D．﹣3与x的商 2．（2024•嘉兴一模）用代数式表示“x的2倍与y的差”为　 　． 3．（2024•洛阳模拟）某种商品的原价每件a元，第一次降价打“八折”，第二次降价又减10元，则两次降价后的售价为 　 ． 4．（2024•广州）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　 　． 5．（2024•河北模拟）数学课上，老师给出如下运算程序 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． （1）当输入的数是﹣3时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； （2）当输入x后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 6．（2024•宁夏）观察下列等式： 第1个：1×2﹣2＝22×0； 第2个：4×3﹣3＝32×1； 第3个：9×4﹣4＝42×2； 第4个：16×5﹣5＝52×3． … 按照以上规律，第n个等式为 　 　． ■考点二 整式的相关概念► ◇典例2： （2024•凉州区二模）下列说法错误的是（　　） A．的系数是 B．x2﹣2xy+y2是二次三项式 C．a可以表示负数，a的系数为0 D．﹣1是单项式 【变式训练】 1．（2024•凉州区二模）在代数式x2+5，﹣1，x2﹣3x+2，π，，x2+中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2024•泰安）单项式﹣3ab2的次数是　　． 3．（2024•武威三模）多项式x2﹣4﹣3xy2的次数和常数项分别是（　　） A．1和﹣4 B．﹣3和﹣4 C．2和﹣4 D．3和﹣4 ■考点三 整式的加减► ◇典例3：（2024•德阳）若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 　y2﹣1　． 【变式训练】 1．（2024•内江）下列单项式中，ab3的同类项是（　　） A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a3b 2．（2024•青海）计算12x﹣20x的结果是（　　） A．8x B．﹣8x C．﹣8 D．x2 3．（2024•望城区一模）先化简，再求值：（﹣2ab+3a2）﹣2b2﹣（a2﹣2ab），其中a＝1，b＝﹣2． ■考点四　 整式的乘除及混合运算► ◇典例4：1．（2024•浙江）下列式子运算正确的是（　　） A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4 2．（2024•广水市二模）计算：[（3a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）]÷2a． 【变式训练】 1．（2024•镇江）下列运算中，结果正确的是（　　） A．m3•m3＝m6 B．m3+m3＝m6 C．（m3）2＝m5 D．m6÷m2＝m3 2．（2024•兰州）计算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（　　） A．a B．﹣a C．2a D．﹣2a 3．（2024•株洲模拟）已知x2﹣y2＝12，x﹣y＝4，则x+y＝　　． 4．（2024•石家庄模拟）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形的边长是 　　；（用含a、b的式子表示） （2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系； （3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值． 5．（2024•浙江模拟）对于实数a，b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0． （1）求3⊕5的值； （2）若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕（2﹣x）的值为n，请你判断m﹣n的值是否与x的取值有关？并给出证明． ■考点五　 整式的化简求值► ◇典例5：（2023•内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1． 【变式训练】 1．（2024•石景山区二模）若x2﹣3x+1＝0，则代数式（x+2）（x﹣2）+x（x﹣6）的值为 　　． 2．（2024•长沙）先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m＝． 3．（2024•甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1． ■考点六　 因式分解► ◇典例6：（2024•云南）分解因式：a3﹣9a＝（　　） A．a（a﹣3）（a+3） B．a（a2+9） C．（a﹣3）（a+3） D．a2（a﹣9） 【变式训练】 1．（2024•济宁二模）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3 C．x2•5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 2．（2024•镇江）分解因式：x2+3x＝　 　． 3．（2024•西藏）分解因式：x2﹣4x+4＝　 　． 4．（2024•东营）因式分解：2a3﹣8a＝　 　． 5．（2024•淄博）若多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 　 　． 6．（2024•广西）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．9 ( 真题演练 ) 1．（2024•红花岗区一模）某快递公司的收费标准：5千克以内收费a元，超过5千克的部分每千克按3元收费，小天寄8千克的包裹，需要支付（　　） A．（a+24）元 B．（15+a）元 C．（9+a）元 D．（5a+3）元 2．（2024•广东一模）单项式πr3表示球的体积，其中π表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是（　　） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是4 3．（2024•常州）计算2a2﹣a2的结果是（　　） A．2 B．a2 C．3a2 D．2a4 4．（2024•烟台）下列计算结果为a6的是（　　） A．a2•a3 B．a12÷a2 C．a3+a3 D．（a2）3 5．（2024•湖南）下列计算正确的是（　　） A．3a2﹣2a2＝1 B．a3÷a2＝a（a≠0） C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a3 6．（2024•云南）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（　　） A．2xn B．（n﹣1）xn C．nxn+1 D．（n+1）xn 7．（2024•东河区校级一模）已知（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，那么m、n的值分别是（　　） A．m＝32，n＝﹣4 B．m＝4，n＝﹣32 C．m＝﹣32，n＝4 D．m＝﹣4，n＝﹣32 8．（2024•廊坊模拟）现定义一种新运算“※”，对任意有理数m，n都有m※n＝mn（m﹣n），则（a+b）※（a﹣b）＝（　　） A．2ab2﹣2b2 B．2a2b﹣2b3 C．2ab2+2b2 D．2ab﹣2ab2 9．（2024•河北区一模）计算：（﹣2a2b3）3＝　 　． 10．（2024•苏州）若a＝b+2，则（b﹣a）2＝　　． 11．（2024•广元）分解因式：（a+1）2﹣4a＝　 　． 12．（2024•通辽）分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝　 　． 13．（2024•北京模拟）计算： （1）（﹣m2n）3•（﹣2mn）÷（2m3）； （2）（a﹣2b）2﹣（a+3b）（a﹣3b）． 14．（2024•海港区一模）已知：A＝□×（2x2+5x﹣1）﹣（6x+5x2+2）． （1）当□＝5时，请你化简：5（2x2+5x﹣1）﹣（6x+5x2+2）； （2）嘉琪说：“当□＝2时，无论x取何值时，A总是非正数；”嘉琪的说法是否正确？并论证你的判断． 15．（2024•新华区校级模拟）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． （1）若图1中的阴影部分面积为a2﹣b2；则图2中的阴影部分面积为 　 　．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） （2）由（1）你可以得到乘法公式 　 　． （3）根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算：①103×97； ②（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）． 16．（2024•拱墅区模拟）观察以下等式： 第1个等式：42﹣0×8＝16； 第2个等式：52﹣1×9＝16； 第3个等式：62﹣2×10＝16； 第4个等式：72﹣3×11＝16． … 按照以上规律，解决下列问题： （1）请直接写出第5个等式． （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 17．（2024•凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　　，前15行的点数之和为 　　，那么，前n行的点数之和为 　　． （2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 　　（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第2讲 整式及其运算 ( 课标要求 ) 1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念. 2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算. 3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解. 4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 代数式相关概念 ☆ 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 考点2整式的相关概念 ☆☆☆ 考点3整式的运算 ☆☆ 考点4 整式的化简求值 ☆☆☆ 考点5因式分解 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1.代数式及相关概念 （1）代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. （2）代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 2. 整式及相关概念 （1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项． （3）整式：单项式和多项式统称为整式． 3.整式的加减 （1）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．所有的常数项都是同类项. （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去) 括号不变号，括号外是“-”，添(去) 括号都变号. （4）整式的加减法则：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项 4.整式的乘除 （1）幂的运算性质： ①同底数幂相乘：am·an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0)． ②幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0)． ③积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是整数，a≠0，b≠0)． ④同底数幂相除：am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0)． （2）整式乘法：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． ②单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb． ③多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd． （3）乘法公式： ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2． ②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2． ③乘法公式的常见恒等变形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab (a－b)2＝(a＋b)2－4ab （4）整式除法： ①单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 3.因式分解 （1）因式分解的概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式的乘法是互逆变形． （2）因式分解的基本方法： ①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)． ②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2． （3）因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式． ②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解． ③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式． ( 深度讲练 ) ■考点一　代数式的相关概念► ◇典例1： （2024•曹妃甸区模拟）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（　　） A．ba B．a+b C．10a+b D．10b+a 【思路点拨】列代数式的定义是把题目中与数量有关的词语，用含有数字字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式，根据意思代入即可． 【解析】解：∵十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数， ∴新的两位数的十位数字为b，个位数字为a，这个新的两位数用代数式表示为10b+a， 故选：D． 【点睛】本题考查列代数式的定义，解题的关键是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转换． 【变式训练】 1．（2024•广安）下列对代数式﹣3x的意义表述正确的是（　　） A．﹣3与x的和 B．﹣3与x的差 C．﹣3与x的积 D．﹣3与x的商 【思路点拨】代数式﹣3x可以表述为：﹣3与x的积，或者3与x的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【解析】选项A：﹣3与x的和应为：﹣3+x，不合题意； 选项B：﹣3与x的差应为：﹣3﹣x，不合题意； 选项C：符合题意； 选项D：﹣3与x的商应为：，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序． 2．（2024•嘉兴一模）用代数式表示“x的2倍与y的差”为　2x﹣y　． 【思路点拨】根据题意可以用代数式表示出x的2倍与y的差． 【解析】解：用代数式表示“x的2倍与y的差”为：2x﹣y， 故答案为：2x﹣y． 【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 3．（2024•洛阳模拟）某种商品的原价每件a元，第一次降价打“八折”，第二次降价又减10元，则两次降价后的售价为 　（0.8a﹣10）元　． 【思路点拨】先表示出打“八折”后售价为0.8a元，再表示出第二次降价又减10元的售价为（0.8a﹣10）元． 【解析】解：第一次降价打“八折”，为0.8a元， 第二次降价又减10元，为（0.8a﹣10）元， 故答案为：（0.8a﹣10）元． 【点睛】本题主要考查列代数式，列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系．③注意运算顺序．④规范书写格式． ⑤正确进行代换． 4．（2024•广州）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　11　． 【思路点拨】由已知条件可得a2﹣2a＝5，将原式变形后代入数值计算即可． 【解析】解：∵a2﹣2a﹣5＝0， ∴a2﹣2a＝5， ∴原式＝2（a2﹣2a）+1 ＝2×5+1 ＝11， 故答案为：11． 【点睛】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 5．（2024•河北模拟）数学课上，老师给出如下运算程序 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． （1）当输入的数是﹣3时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； （2）当输入x后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【思路点拨】（1）根据运算顺序和规则逐步计算即可； （2）根据题意，可得2x+4＞0，正确求解即可． 【解析】解：（1）第一次运算：（﹣3）×2+4＝﹣6+4＝﹣2， 第二次运算：（﹣2）×2+4＝﹣4+4＝0， 第三次运算：0×2+4＝0+4＝4， ∴需要经过3次运算才能输出结果，输出的结果是4； （2）根据题意可得：2x+4＞0， 解得：x＞﹣2， ∵x为非正整数， ∴x的值为﹣1，0． 【点睛】本题考查的是代数式求值和有理数的混合运算，根据上述运算规则和顺序进行求解是解题的关键． 6．（2024•宁夏）观察下列等式： 第1个：1×2﹣2＝22×0； 第2个：4×3﹣3＝32×1； 第3个：9×4﹣4＝42×2； 第4个：16×5﹣5＝52×3． … 按照以上规律，第n个等式为 　n2×（n+1）﹣（n+1）＝（n+1）2×（n﹣1）　． 【思路点拨】分析所给的等式的形式，总结出规律，再对等式的左边进行整理即可． 【解析】解：第1个：1×2﹣2＝22×0； 第2个：4×3﹣3＝32×1； 第3个：9×4﹣4＝42×2； 第4个：16×5﹣5＝52×3． … 按照以上规律，第n个等式为n2×（n+1）﹣（n+1）＝（n+1）2×（n﹣1）， 故答案为：n2×（n+1）﹣（n+1）＝（n+1）2×（n﹣1）． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是对由所给的等式总结出存在的规律． ■考点二 整式的相关概念► ◇典例2： （2024•凉州区二模）下列说法错误的是（　　） A．的系数是 B．x2﹣2xy+y2是二次三项式 C．a可以表示负数，a的系数为0 D．﹣1是单项式 【思路点拨】直接利用单项式以及多项式的次数与系数、项数确定方法分别判断即可． 【解析】解：A、﹣的系数是﹣π，此说法正确，不合题意； B、x2﹣2xy+y2是二次三项式，此说法正确，不合题意； C、a可以表示负数，但a的系数为1，故此说法错误，符合题意； D、﹣1是单项式，此说法正确，不合题意， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了多项式和单项式等知识，正确把握相关定义是解题关键． 【变式训练】 1．（2024•凉州区二模）在代数式x2+5，﹣1，x2﹣3x+2，π，，x2+中，整式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】根据整式的定义进行解答． 【解析】解：和分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式． 故选：B． 【点睛】本题重点对整式定义的考查：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母．单项式和多项式统称为整式． 2．（2024•泰安）单项式﹣3ab2的次数是　3　． 【思路点拨】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【解析】解：∵单项式﹣3ab2中，a的指数是1，b的指数是2， ∴此单项式的次数为：1+2＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是单项式次数的定义，即一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 3．（2024•武威三模）多项式x2﹣4﹣3xy2的次数和常数项分别是（　　） A．1和﹣4 B．﹣3和﹣4 C．2和﹣4 D．3和﹣4 【思路点拨】根据多项式的次数和常数项的意义判断即可． 【解析】解：多项式x2﹣4﹣3xy2的次数是3次，常数项是﹣4， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的次数和常数项的意义是解题的关键． ■考点三 整式的加减► ◇典例3：（2024•德阳）若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 　y2﹣1　． 【思路点拨】根据题意，列出3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）去括号化简即可． 【解析】解：3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4） ＝3xy+2y2﹣5﹣y2﹣3xy+4 ＝y2﹣1． 故答案为：y2﹣1． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号和合并同类项是关键． 【变式训练】 1．（2024•内江）下列单项式中，ab3的同类项是（　　） A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a3b 【思路点拨】根据同类项的定义：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同．据此进行解题即可． 【解析】解：根据同类项的定义可知， ab3的同类项是3ab3． 故选：A． 【点睛】本题考查同类项和单项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2．（2024•青海）计算12x﹣20x的结果是（　　） A．8x B．﹣8x C．﹣8 D．x2 【思路点拨】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案． 【解析】解：原式＝（12﹣20）x＝﹣8x， 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项，系数相加字母及指数不变是解题关键． 3．（2024•望城区一模）先化简，再求值：（﹣2ab+3a2）﹣2b2﹣（a2﹣2ab），其中a＝1，b＝﹣2． 【思路点拨】先去括号，再合并同类项，得到化简后的结果，再把a＝1，b＝﹣2代入化简后的代数式进行计算即可． 【解析】解：（﹣2ab+3a2）﹣2b2﹣（a2﹣2ab） ＝﹣2ab+3a2﹣2b2﹣a2+2ab ＝2a2﹣2b2； 当a＝1，b＝﹣2时， 原式＝2×12﹣2×（﹣2）2＝2﹣8＝﹣6． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，化简求值，熟练的去括号，合并同类项是解本题的关键． ■考点四　 整式的乘除及混合运算► ◇典例4：1．（2024•浙江）下列式子运算正确的是（　　） A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4 【思路点拨】根据合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可． 【解析】解：A．x3+x2不能合并同类项，故本选项不符合题意； B．x3•x2＝x5，故本选项不符合题意； C．（x3）2＝x6，故本选项不符合题意； D．x6÷x2＝x4，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2024•广水市二模）计算：[（3a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）]÷2a． 【思路点拨】先算完全平方，平方差，再算括号里的运算，最后算整式的除法即可． 【解析】解：[（3a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）]÷2a ＝（9a2﹣6ab+b2+a2﹣b2）÷2a ＝（10a2﹣6ab）÷2a ＝5a﹣3b． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式训练】 1．（2024•镇江）下列运算中，结果正确的是（　　） A．m3•m3＝m6 B．m3+m3＝m6 C．（m3）2＝m5 D．m6÷m2＝m3 【思路点拨】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：m3•m3＝m6，故此选项符合题意； B、m3+m3＝2m3，故此选项不符合题意； C、（m3）2＝m6，故此选项不符合题意； D、m6÷m2＝m4，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 2．（2024•兰州）计算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（　　） A．a B．﹣a C．2a D．﹣2a 【思路点拨】根据单项式乘多项式去括号，再用整式的加减法则计算即可． 【解析】解：2a（a﹣1）﹣2a2＝2a2﹣2a﹣2a2＝﹣2a． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2024•株洲模拟）已知x2﹣y2＝12，x﹣y＝4，则x+y＝　3　． 【思路点拨】运用平方差公式可得x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），代入所给式子的值可得出x+y的值． 【解析】解：由题意得：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）， ∵x2﹣y2＝12，x﹣y＝4， ∴x+y＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方差公式，解答本题的关键是掌握平方差公式的形式，这是需要我们熟练记忆的内容． 4．（2024•石家庄模拟）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形的边长是 　a﹣b　；（用含a、b的式子表示） （2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系； （3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值． 【思路点拨】（1）根据拼图可直接得出答案； （2）用代数式表示图形中各个部分的面积，根据各个部分面积之间的关系得出结论； （3）利用（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn进行计算即可． 【解析】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为a﹣b的正方形， 故答案为：a﹣b； （2）图2整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图2各个部分的面积和为（a﹣b）2+4ab， 所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 答：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （3）∵m+n＝8，mn＝12， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ＝64﹣48 ＝16， ∴m﹣n＝±4． 【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 5．（2024•浙江模拟）对于实数a，b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0． （1）求3⊕5的值； （2）若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕（2﹣x）的值为n，请你判断m﹣n的值是否与x的取值有关？并给出证明． 【思路点拨】（1）按照题目运算定义进行代入、求解； （2）先运用运算定义表示出m，n的值，再通过计算m﹣n进行辨别． 【解析】解：（1）由题意得， 3⊕5＝（3+5﹣1）2﹣2×3×5 ＝72﹣30 ＝49﹣30 ＝19， 即3⊕5的值是19； （2）m﹣n的值是否与x的取值无关， 证明：由题意得， m＝x⊕3 ＝（x+3﹣1）2﹣2×x×3 ＝（x+2）2﹣6x ＝x2+4x+4﹣6x ＝x2﹣2x+4； n＝1⊕（2﹣x） ＝（1+2﹣x﹣1）2﹣2×1×（2﹣x） ＝（2﹣x）2﹣（4﹣2x） ＝x2﹣4x+4+2x﹣4 ＝x2﹣2x， ∴m﹣n＝（x2﹣2x+4）﹣（x2﹣2x） ＝x2﹣2x+4﹣x2+2x ＝4， ∴m﹣n的值是否与x的取值无关． 【点睛】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别． ■考点五　 整式的化简求值► ◇典例4：（2023•内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1． 【思路点拨】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可． 【解析】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy ＝9xy， 当x＝﹣1，y＝+1时，原式＝9（﹣1）（+1）＝9×（6﹣1）＝45． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•石景山区二模）若x2﹣3x+1＝0，则代数式（x+2）（x﹣2）+x（x﹣6）的值为 　﹣6　． 【思路点拨】先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，求出x2﹣3x＝﹣1，最后代入求出答案即可． 【解析】解：（x+2）（x﹣2）+x（x﹣6） ＝x2﹣4+x2﹣6x ＝2x2﹣6x﹣4， ∵x2﹣3x+1＝0， ∴x2﹣3x＝﹣1， ∴原式＝2（x2﹣3x）﹣4＝2×（﹣1）﹣4＝﹣2﹣4＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，用了整体代入思想． 2．（2024•长沙）先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m＝． 【思路点拨】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解析】解：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3） ＝2m﹣m2+2m+m2﹣9 ＝4m﹣9， 当m＝时，原式＝4×﹣9＝10﹣9＝1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2024•甘肃）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1． 【思路点拨】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，然后代入a＝2，b＝﹣1，求出答案即可． 【解析】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣b2）]÷2b ＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b ＝（4ab+2b2）÷2b ＝2a+b， 当a＝2，b＝﹣1时， 原式＝2×2﹣1＝3． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键． ■考点六　 因式分解► ◇典例5：（2024•云南）分解因式：a3﹣9a＝（　　） A．a（a﹣3）（a+3） B．a（a2+9） C．（a﹣3）（a+3） D．a2（a﹣9） 【思路点拨】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解析】解：原式＝a（a2﹣9） ＝a（a﹣3）（a+3）， 故选：A． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•济宁二模）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3 C．x2•5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 【思路点拨】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【解析】解：A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．x2•5x＝5x3，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键． 2．（2024•镇江）分解因式：x2+3x＝　x（x+3）　． 【思路点拨】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案． 【解析】解：x2+3x＝x（x+3）． 【点睛】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题． 3．（2024•西藏）分解因式：x2﹣4x+4＝　（x﹣2）2　． 【思路点拨】直接用完全平方公式分解即可． 【解析】解：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2． 【点睛】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 4．（2024•东营）因式分解：2a3﹣8a＝　2a（a+2）（a﹣2）　． 【思路点拨】观察原式，找到公因式2a，提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案． 【解析】解：2a3﹣8a， ＝2a（a2﹣4）， ＝2a（a+2）（a﹣2）． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 5．（2024•淄博）若多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 　±12　． 【思路点拨】根据题意可得﹣m＝±2×2×3，解得m的值即可． 【解析】解：∵多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解， ∴﹣mxy＝±2×2x×3y， 则﹣m＝±2×2×3＝±12， 解得：m＝±12， 故答案为：±12． 【点睛】本题考查利用公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 6．（2024•广西）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．9 【思路点拨】先利用提公因式法和公式法将原式变形为ab（a+b）2，再将a+b＝3，ab＝1整体代入计算即可． 【解析】解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴原式＝a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2 ＝1×32 ＝9， 故选：D． 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•红花岗区一模）某快递公司的收费标准：5千克以内收费a元，超过5千克的部分每千克按3元收费，小天寄8千克的包裹，需要支付（　　） A．（a+24）元 B．（15+a）元 C．（9+a）元 D．（5a+3）元 【思路点拨】根据题意，把8分成5千克和3千克两部分进行计算，再相加便是答案． 【解析】解：a+（8﹣5）×3＝（9+a）元， 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题意进行分段计算． 2．（2024•广东一模）单项式πr3表示球的体积，其中π表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是（　　） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是4 【思路点拨】根据单项式的有关概念即可得出答案． 【解析】解：πr3的系数是π，次数是3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查单项式，解题的关键牢记单项式的系数与次数． 3．（2024•常州）计算2a2﹣a2的结果是（　　） A．2 B．a2 C．3a2 D．2a4 【思路点拨】利用合并同类项法则计算即可． 【解析】解：2a2﹣a2＝a2， 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 4．（2024•烟台）下列计算结果为a6的是（　　） A．a2•a3 B．a12÷a2 C．a3+a3 D．（a2）3 【思路点拨】根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可． 【解析】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，故选项不符合题意； B．a12÷a2＝a12﹣2＝a10，故选项不符合题意； C．a3+a3＝2a3，故选项不符合题意； D．（a2）3＝a2×3＝a6，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 5．（2024•湖南）下列计算正确的是（　　） A．3a2﹣2a2＝1 B．a3÷a2＝a（a≠0） C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a3 【思路点拨】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可． 【解析】解：A、3a2﹣2a2＝a2，原计算错误，不符合题意； B、a3÷a2＝a（a≠0），正确，符合题意； C、a2•a3＝a5，原计算错误，不符合题意； D、（2a）3＝8a3，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，熟知以上运算法则是解题的关键． 6．（2024•云南）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（　　） A．2xn B．（n﹣1）xn C．nxn+1 D．（n+1）xn 【思路点拨】根据题目给出的式子的特点，可以发现第n个的代数式的系数应该是n+1，而x的次数为n，然后即可写出第n个代数式． 【解析】解：∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯， ∴第n个代数式为（n+1）xn， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变换类、单项式，解答本题的关键是发现式子的变化特点，写出第n个代数式． 7．（2024•东河区校级一模）已知（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n，那么m、n的值分别是（　　） A．m＝32，n＝﹣4 B．m＝4，n＝﹣32 C．m＝﹣32，n＝4 D．m＝﹣4，n＝﹣32 【思路点拨】先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值． 【解析】解：∵（x﹣4）（x+8）＝x2+mx+n， ∴x2﹣4x﹣32＝x2+mx+n， ∴m＝4，n＝﹣32． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． 8．（2024•廊坊模拟）现定义一种新运算“※”，对任意有理数m，n都有m※n＝mn（m﹣n），则（a+b）※（a﹣b）＝（　　） A．2ab2﹣2b2 B．2a2b﹣2b3 C．2ab2+2b2 D．2ab﹣2ab2 【思路点拨】根据新定义列出算式，再计算即可． 【解析】解：∵m※n＝mn（m﹣n）， ∴（a+b）※（a﹣b） ＝（a+b）（a﹣b）[（a+b）﹣（a﹣b）] ＝（a2﹣b2）（a+b﹣a+b） ＝（a2﹣b2）•2b ＝2a2b﹣2b3． 故选：B． 【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是掌握整式相关的运算法则． 9．（2024•河北区一模）计算：（﹣2a2b3）3＝　﹣8a6b9　． 【思路点拨】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可． 【解析】解：（﹣2a2b3）3 ＝（﹣2）3（a2）3（b3）3 ＝﹣8a6b9． 故答案为：﹣8a6b9． 【点睛】此题主要考查了积的乘方的性质，熟练掌握并灵活运用性质是解题的关键． 10．（2024•苏州）若a＝b+2，则（b﹣a）2＝　4　． 【思路点拨】根据a＝b+2，可以得到b﹣a＝﹣2，然后代入所求式子计算即可． 【解析】解：∵a＝b+2， ∴b﹣a＝﹣2， ∴（b﹣a）2＝（﹣2）2＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 11．（2024•广元）分解因式：（a+1）2﹣4a＝　（a﹣1）2　． 【思路点拨】首先利用完全平方把（a+1）2展开，然后再合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可． 【解析】解：（a+1）2﹣4a＝a2+2a+1﹣4a＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2． 故答案为：（a﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2． 12．（2024•通辽）分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝　3a（x﹣y）2　． 【思路点拨】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解析】解：3ax2﹣6axy+3ay2， ＝3a（x2﹣2xy+y2）， ＝3a（x﹣y）2， 故答案为：3a（x﹣y）2． 【点睛】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13．（2024•北京模拟）计算： （1）（﹣m2n）3•（﹣2mn）÷（2m3）； （2）（a﹣2b）2﹣（a+3b）（a﹣3b）． 【思路点拨】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果． 【解析】解：（1）原式＝（﹣m6n3）•（﹣2mn）÷（2m3） ＝m4n4； （2）原式＝a2﹣4ab+4b2﹣a2+9b2 ＝﹣4ab+13b2． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（2024•海港区一模）已知：A＝□×（2x2+5x﹣1）﹣（6x+5x2+2）． （1）当□＝5时，请你化简：5（2x2+5x﹣1）﹣（6x+5x2+2）； （2）嘉琪说：“当□＝2时，无论x取何值时，A总是非正数；”嘉琪的说法是否正确？并论证你的判断． 【思路点拨】（1）根据整式的化简法则，去括号，合并同类项计算即可； （2）代入后，利用完全平方公式，化简，利用完全平方式的非负性解答即可． 【解析】解：（1）5（2x2+5x﹣1）﹣（6x+5x2+2） ＝10x2+25x﹣5﹣6x﹣5x2﹣2 ＝5x2+19x﹣7； （2）嘉琪的说法正确； 证明：A＝2（2x2+5x﹣1）﹣（6x+5x2+2） ＝4x2+10x﹣2﹣6x﹣5x2﹣2 ＝﹣x2+4x﹣4 ＝﹣（x﹣2）2， ∵无论x取何值时，（x﹣2）2≥0， ∴﹣（x﹣2）2≤0即A≤0， ∴无论x取何值时，A总是非正数． 【点睛】本题考查了整式的化简，完全平方公式的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 15．（2024•新华区校级模拟）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． （1）若图1中的阴影部分面积为a2﹣b2；则图2中的阴影部分面积为 　（a+b）（a﹣b）　．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） （2）由（1）你可以得到乘法公式 　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　． （3）根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算：①103×97； ②（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）． 【思路点拨】（1）由图2可知该长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），从而由长方形面积公式即可得出答案； （2）由图1和图2的阴影部分面积相等，即得出（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）由平方差公式和完全平方公式计算即可． 【解析】解：（1）图2中的阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）． 故答案为：（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）①103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32＝10000﹣9＝9991； ②（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]．＝（a﹣c）2﹣（2b）2＝a2﹣2ac+c2﹣4b2． 【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 16．（2024•拱墅区模拟）观察以下等式： 第1个等式：42﹣0×8＝16； 第2个等式：52﹣1×9＝16； 第3个等式：62﹣2×10＝16； 第4个等式：72﹣3×11＝16． … 按照以上规律，解决下列问题： （1）请直接写出第5个等式． （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【思路点拨】（1）根据上述等式，即可得出第5个等式：82﹣4×12＝16． （2）第n个等式：（n+3）2﹣（n﹣1）（n+7）＝16，证明等式左边＝等式右边即可． 【解析】解：（1）根据上述等式，可知第5个等式：82﹣4×12＝16． （2）第n个等式：（n+3）2﹣（n﹣1）（n+7）＝16， 证明：等式左边＝n2+6n+9﹣（n2+7n﹣n﹣7）＝n2+6n+9﹣n2﹣6n+7＝16， ∴等式左边＝等式右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 17．（2024•凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　36　，前15行的点数之和为 　120　，那么，前n行的点数之和为 　　． （2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 　不能　（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【思路点拨】（1）依次求出前n（n为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【解析】解：（1）由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为：1； 三角点阵中前2行的点数之和为：1+2； 三角点阵中前3行的点数之和为：1+2+3； 三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+3+4； …， 所以三角点阵中前n行的点数之和为：1+2+3+…+n＝． 当n＝8时， ， 即三角点阵中前8行的点数之和为36． 当n＝15时， ， 即三角点阵中前15行的点数之和为120． 故答案为：36，120，． （2）不能． 令得， 解得n＝， 因为n为正整数， 所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500． 故答案为：不能． （3）由题知， 前n排盆景的总数可表示为n（n+1）， 令n（n+1）＝420得， 解得n1＝﹣21，n2＝20． 因为n为正整数， 所以n＝20， 即一共能摆20排． 【点睛】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前n行点数之和的变化规律是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$