第1讲 实数及其运算（讲义）-备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第1讲 实数及其运算 ( 课标要求 ) 1.了解有理数、无理数和实数的概念，了解近似数、科学记数法以及平方根、算术平方根、立方根及相关概念. 2.掌握用数轴上的点表示实数，学会实数的大小比较，会求相反数和绝对值，会用有理数估计一个无理数的大致范围. 3.掌握实数的四则运算以及乘方、开方运算法则，会利用实数的运算法则熟练地进行数的运算. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 实数的相关概念 ☆☆☆ 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 考点2 科学记数法与近似数 ☆☆☆ 考点3数轴、相反数、绝对值、倒数 ☆ 考点4 平方根、算术平方根、立方根 ☆☆☆ 考点5实数的大小比较 ☆☆☆ 考点6实数的运算 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．实数的分类： （1）按实数的定义分类： （2） 按实数的性质分类： 2.实数的有关概念 (1)数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴． 实数与数轴上的点一一对应． (2)相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是__0 ．若a，b互为相反数，则a＋b＝ 0 ．在数轴上，表示相反数的两个数的点位于原点左右两侧，且到原点的距离相等 (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．若a，b互为倒数，则ab＝1． 0 没有倒数．倒数等于本身的数是1或－1 (4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． |a|是一个非负数，即|a|≥0． (5)平方根、算术平方根、立方根： 若x2＝a(a≥0)，则x是a的平方根，正数a有两个平方根，记做±，0的平方根是0，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0． 若x3＝a，则x是a的立方根，任何数都有立方根，a的立方根是3，正数有一个正立方根；0的立方根是0；负数有一个负立方根. 3.科学记数法与近似数 (1)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 (1≤|a|＜10)的形式． 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1； 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. (2)近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位． 注：近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 4.实数的运算 (1)运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac． (2)实数的运算顺序： 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行． (3)零指数幂、负整数指数幂： 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)．任何不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即a－p＝(a≠0，p是正整数)． 5.实数的大小比较 (1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 大 ． (2)作差比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b． ( 深度讲练 ) ■考点一　实数的相关概念► ◇典例1：（2024•泸州）下列各数中，无理数是（　　） A． B．3.14 C．0 D．π 【思路点拨】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解析】解：﹣是分数，3.14是有限小数，0是整数，它们都不是无理数； π是无限不循环小数，它是无理数； 故选：D． 【点睛】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式训练】 1.（2024•云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作+100米，则向南运动100米可记作（　　） A．100米 B．﹣100米 C．200米 D．﹣200米 【思路点拨】正和负具有相对性，向北运动用“+”表示，那么向南运动就用“﹣”表示，据此求解即可． 【解析】解：∵向北运动100米记作+100米， ∴向南运动100米可记作﹣100米， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，掌握正和负具有相对性，向北运动用“+”表示，那么向南运动就用“﹣”表示是关键． 2.（2024•凉山州）下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解析】解：5＞0，是正数； ，是负数； ﹣3＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣25.8＜0，是负数； +2＞0，是正数； ∴负数有，﹣3，﹣25.8，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 3．（2024•鼓楼区校级三模）在下列实数中，属于无理数的是（　　） A．0 B． C． D． 【思路点拨】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解析】解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．，3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 4．（2024•重庆模拟）在，﹣4，0，这四个数中，属于负整数的是（　　） A． B． C．0 D．﹣4 【思路点拨】根据实数分类的相关概念，可辨别此题结果． 【解析】解：∵﹣，都是分数， ∴选项A，B不符合题意； ∵0既不是正数，也不是负数， ∴选项C不符合题意； ∵﹣4是负整数， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了利用实数概念解决问题的能力，关键是能准确理解相关知识并进行正确辨别． ■考点二 科学记数法与近似数► ◇典例2：（2024•广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（　　） A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105 【思路点拨】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解析】解：384000＝3.84×105． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法﹣﹣表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•大荔县一模）1079.34精确到个位，则近似值为（　　） A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070 【思路点拨】把十分位上的十字3进行四舍五入即可． 【解析】解：1079.34≈1079（精确到个位）． 故选：C． 【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式． 2．（2023•长沙县二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（　　） A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位 【思路点拨】根据近似数的精确度求解． 【解析】解：数据53.278亿精确到的位数是十万位． 故选：B． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 3．（2024•江西）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（　　） A．0.25×106 B．2.5×105 C．2.5×104 D．25×103 【思路点拨】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解析】解：25000＝2.5×104， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024•大庆）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　） A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5 C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7 【思路点拨】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解析】解：0.00000156＝1.56×10﹣6， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． ■考点三 数轴、相反数、绝对值、倒数► ◇典例3：1.（2024•九台区三模）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1） C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1 【思路点拨】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可． 【解析】解：A、﹣（+1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意； B、﹣（﹣1）＝1，+（﹣1）＝﹣1，是相反数，故此选项符合题意； C、﹣（+1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意； D、+（﹣1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数．先化简再求值是解题的关键． 2.（2024•大连模拟）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且|a|＜|b|，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系为（　　） A．﹣b＜a＜﹣a＜b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣b＜﹣a＜a＜b D．b＜a＜﹣a＜﹣b 【思路点拨】根据相反数的意义，把﹣a、﹣b先表示在数轴上，然后再比较它们的大小关系 【解析】解：根据相反数的意义，把﹣a、﹣b表示在数轴上 所以﹣b＜a＜﹣a＜b． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，把﹣a、﹣b表示在数轴上，利用数形结合是解决本题比较简单的方法． 【变式训练】 1.（2024•河南）如图，数轴上点P表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【思路点拨】根据数轴所示即可得出结果． 【解析】解：根据数轴可知，点P表示的数为：﹣1， 故选：A． 【点睛】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键． 2.（2024•达州）有理数2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【思路点拨】根据相反数的定义解题． 【解析】解：2024的相反数是﹣2024， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 3.（2024•成都）﹣5的绝对值是（　　） A．5 B．﹣5 C． D．﹣ 【思路点拨】根据绝对值的性质求解． 【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5． 故选：A． 【点睛】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 4.（2024•无锡）4的倒数是（　　） A． B．﹣4 C．2 D．±2 【思路点拨】根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【解析】解：4的倒数是， 故选：A． 【点睛】本题考查倒数，熟练掌握倒数的相关的知识点是解题的关键． 5．（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】根据|﹣3|＝3，|1|＝1，|2|＝2，|3|＝3，而3＜2＜1，可知1与原点距离最近． 【解析】解：∵|﹣3|＝3，|1|＝1，|2|＝2，|3|＝3， 而3＜2＜1， ∴1与原点距离最近， 故选：B． 【点睛】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键． 6．（2024•巴中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a+b＜0 C．|a|＞|b| D．a﹣b＜0 【思路点拨】由数轴得出﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，根据两数相乘，异号得负即可得出ab＜0；根据绝对值的意义得出|a|＜|b|；根据异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号得出a+b＞0；根据数轴上左边的数总比右边的数小得出a﹣b＜0；从而作出判断． 【解析】解：由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3， ∴ab＜0，a+b＞0，|a|＜|b|，a﹣b＜0， 故选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质，有理数的乘法，有理数的加减法，绝对值的意义是解题的关键． ■考点四　 平方根、立方根及实数的估算► ◇典例4：（2024•内江）16的平方根是（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．±4 【思路点拨】根据平方根的定义即可求得答案． 【解析】解：16的平方根是±4， 故选：D． 【点睛】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•常州）16的算术平方根是 　4　． 【思路点拨】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，据此即可求得答案． 【解析】解：16的算术平方根是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2024•青海）﹣8的立方根是 　﹣2　． 【思路点拨】根据立方根的定义进行计算即可． 【解析】解：∵（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣8的立方根是＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 3．（2024•宣化区模拟）的算术平方根是（　　） A．±9 B．±3 C．9 D．3 【思路点拨】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根． 【解析】解：∵＝9， 又∵（±3）2＝9， ∴9的平方根是±3， ∴9的算术平方根是3． 即的算术平方根是3． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道实际上这个题是求9的算术平方根是3．注意这里的双重概念． 4．（2024•重庆）已知m＝﹣，则实数m的范围是（　　） A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 【思路点拨】先化简m的值，再运用算术平方根知识进行估算、求解． 【解析】解：m＝﹣＝3﹣＝2＝， ∵＜， ∴3＜＜4， 即实数m的范围是3＜m＜4， 故选：B． 【点睛】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识． ■考点五　 实数的大小比较► ◇典例5：（2024•德阳）下列四个数中，比﹣2小的数是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3 【思路点拨】四个数比较即可求解． 【解析】解：∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜﹣＜0， ∴比﹣2小的数是﹣3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟知各个数之间的大小关系即可求解． 【变式训练】 1．（2024•辽宁）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40 其中最低海拔最小的大洲是（　　） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 【思路点拨】根据有理数大小比较方法解答即可． 【解析】解：∵﹣415＜﹣156＜﹣40＜﹣28， ∴海拔最低的是亚洲． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较以及正数和负数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 2．（2024•重庆）下列四个数中，最小的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【思路点拨】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ﹣1＜0＜1＜2， ∴四个数中，最小的数是﹣1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 3．（2024•浙江）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 太原 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 【思路点拨】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解析】解：|﹣1|＝1，|﹣2|＝2， ∵1＜2， ∴﹣1＞﹣2； ∵3℃＞0℃＞﹣1℃＞﹣2℃， ∴所给的四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 4．（2024•长沙模拟）比较大小： 　＞　． 【思路点拨】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行判断即可． 【解析】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，＜， ∴﹣＞﹣， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键． 5．（2024•德州）在0，，﹣2，这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B． C．﹣2 D． 【思路点拨】利用实数大小的比较方法：按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解析】解：∵﹣2＜0＜＜， ∴最小的数是：﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． ■考点六　 实数的运算► ◇典例5：（2024•深圳）计算：﹣2×（﹣3）﹣+|﹣2|﹣（1﹣π）0． 【思路点拨】按照混合运算法则，先算乘方、开方和去绝对值符号，然后算乘法，最后算加减即可． 【解析】解：原式＝﹣2×（﹣3）﹣3+2﹣1 ＝6+2﹣3﹣1 ＝4． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则和零指数幂的性质． 【变式训练】 1．（2024•吉林）若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【思路点拨】将选项代入，得出运算结果即可． 【解析】解：（﹣3）×2＝﹣6，故A选项错误； （﹣3）×1＝﹣3，故B选项错误； （﹣3）×0＝0，故C选项错误； （﹣3）×（﹣1）＝3，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 2．（2023•常德）下面算法正确的是（　　） A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5） B．7﹣（﹣10）＝7﹣10 C．（﹣5）×0＝﹣5 D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4 【思路点拨】根据有理数的加法法则可以判断A；根据有理数的减法法则可以判断B；根据任何数和零相乘都得零可以判断C；根据有理数的除法可以判断D． 【解析】解：（﹣5）+9＝﹣5+9＝﹣（5﹣9），故选项A错误，不符合题意； 7﹣（﹣10）＝7+10，故选项B错误，不符合题意； （﹣5）×0＝0≠﹣5，故选项C错误，不符合题意； （﹣8）÷（﹣4）＝8÷4，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（2024•广西模拟）计算：． 【思路点拨】先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法，最后算加法即可． 【解析】解： ＝1+×（﹣8+3） ＝1+×（﹣5） ＝1+（﹣） ＝﹣． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．（2024•利川市校级模拟）计算：． 【思路点拨】利用绝对值的性质，算术平方根的定义，立方根的定义，有理数的乘方法则计算即可． 【解析】解：原式＝2﹣﹣3+4﹣2＝1﹣． 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2024•广东）计算：20×|﹣|+﹣3﹣1． 【思路点拨】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【解析】解：原式＝1×+2﹣ ＝+2﹣ ＝2． 【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•湖南）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（　　） A．+180元 B．+300元 C．﹣180元 D．﹣480元 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作﹣180元． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2．（2024•兰州）2024的绝对值是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【思路点拨】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解． 【解析】解：由题意得，|2024|＝2024． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 3．（2024•淄博）下列运算结果是正数的是（　　） A．3﹣1 B．﹣32 C．﹣|﹣3| D．﹣ 【思路点拨】先根据负整数指数幂、有理数的乘方、绝对值的运算法则计算，然后根据正数的定义判断即可． 【解析】解：A、＞0，故此选项符合题意； B、﹣32＝﹣9＜0，故此选项不符合题意； C、﹣|﹣3|＝﹣3＜0，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的运算，正数和负数，熟练掌握运算法则及定义是解题的关键． 4．（2024•广东）计算﹣5+3的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣8 C．2 D．8 【思路点拨】依据有理数的加法法则计算即可． 【解析】解：﹣5+3＝﹣（5﹣3）＝﹣2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 5．（2024•长春）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（　　） A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2） 【思路点拨】有理数加法法则： 1、同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加． 2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． 3、一个数同0相加，仍得这个数． 【解析】根据有理数加法法则第2条：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 2+（﹣3） ＝﹣（3﹣2） 故答案为D． 【点睛】本题考查有理数加法法则，熟练法则非常重要． 6．（2024•赤峰）央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（　　） A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×10﹣9 D．5.2×1010 【思路点拨】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解析】解：52000000000＝5.2×1010． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了科学记数法—表示较大的数，正确掌握科学记数法是解题关键． 7．（2024•自贡）在0，﹣2，，π四个数中，最大的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 【思路点拨】根据大小比较，选出最大的数． 【解析】解：∵﹣2＜＜0＜π， ∴最大的数为π， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握负数＜0＜正数是解题的关键． 8．（2024•康县模拟）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．2 【思路点拨】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【解析】解：＝4，4的平方根是±2． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 9．（2024•丹阳市二模）的倒数是 　2024　． 【思路点拨】乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案． 【解析】解：的倒数是2024， 故答案为：2024． 【点睛】本题考查倒数，熟练掌握其定义是解题的关键． 10．（2024•徐州）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 　5.146×109　． 【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解析】解：5146000000＝5.146×109． 故答案为：5.146×109． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11．（2024•资阳）若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则ab＝　2　． 【思路点拨】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解析】解：∵（a﹣1）2+|b﹣2|＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴ab＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 12．（2024•甘肃）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　8　． 【思路点拨】根据m*n＝mn﹣mn，可以求得所求式子的值． 【解析】解：∵m*n＝mn﹣mn， ∴（﹣2）*2 ＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2 ＝4+4 ＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 13．（2024•庐阳区校级模拟）计算：＝　3　． 【思路点拨】先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法则计算即可． 【解析】解： ＝1+2 ＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14．（2024•广西）计算：（﹣3）×4+（﹣2）2． 【思路点拨】根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解析】解：原式＝﹣12+4 ＝﹣8． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 15．（2024•南宁一模）计算：22×（1﹣3）﹣1÷． 【思路点拨】先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里，即可解答． 【解析】解：22×（1﹣3）﹣1÷ ＝4×（﹣2）﹣1×2 ＝﹣8﹣2 ＝﹣10． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（2024•广阳区一模）六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． （1）以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； （2）求淇淇家与学校之间的距离； （3）如果嘉嘉骑车的速度是300m/min，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ 【思路点拨】（1）先根据时间乘速度等于路程，以及结合在数轴上表示有理数，即可作答； （2）求两点间的距离，即运用有理数的减法列式进行计算，即可作答； （3）先得出路程9km＝9000m，再除以速度，即可作答． 【解析】解：（1）根据题意得： ∵以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，且向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家， 则1×2＝2，2+1.5＝3.5； ∴淇淇家的位置对应的数为2，小敏家的位置对应的数为3.5，学校的位置对应的数为﹣1，如图所示： ； （2）依题意，2﹣（﹣1）＝3（km）． 答：淇淇家与学校之间的距离是3km． （3）依题意2+1.5+|﹣4.5|+1＝9（km）， 则9km＝9000m， ∴9000÷300＝30（min）． 答：嘉嘉骑车一共用了30min． 【点睛】本题考查了正负数的应用以及在数轴上表示有理数，两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第一单元 数与式 第1讲 实数及其运算 ( 复习目标 ) 1.了解有理数、无理数和实数的概念，了解近似数、科学记数法以及平方根、算术平方根、立方根及相关概念. 2.掌握用数轴上的点表示实数，学会实数的大小比较，会求相反数和绝对值，会用有理数估计一个无理数的大致范围. 3.掌握实数的四则运算以及乘方、开方运算法则，会利用实数的运算法则熟练地进行数的运算. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 实数的相关概念 ☆☆☆ 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 考点2 科学记数法与近似数 ☆☆☆ 考点3数轴、相反数、绝对值、倒数 ☆ 考点4 平方根、算术平方根、立方根 ☆☆☆ 考点5实数的大小比较 ☆☆☆ 考点6实数的运算 ☆☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．实数的分类： （1）按实数的定义分类： （2） 按实数的性质分类： 2.实数的有关概念 (1)数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴． 与数轴上的点一一对应． (2)相反数：如果两个数只有 不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是 ．若a，b互为相反数，则a＋b＝ ．在数轴上，表示相反数的两个数的点位于原点左右两侧，且到原点的距离相等 (3)倒数：1 一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．若a，b互为倒数，则ab＝ ． 没有倒数．倒数等于本身的数是 (4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的 叫做这个数的绝对值． |a|是一个非负数，即|a| ． (5)平方根、算术平方根、立方根： 若x2＝a(a≥0)，则x是a的平方根，正数a有两个平方根，记做 ，0的平方根是 ，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0． 若x3＝a，则x是a的立方根，任何数都有立方根，a的立方根是3，正数有一个正立方根；0的立方根是0；负数有一个负立方根. 3.科学记数法与近似数 (1)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 的形式． 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1； 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. (2)近似数：一个近似数 到哪一位，就说这个数精确到哪一位． 注：近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 4.实数的运算 (1)运算律： 加法交换律：a＋b＝ ； 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ； 乘法交换律：ab＝ ； 乘法结合律：(ab)c＝ ； 分配律：a(b＋c)＝ ． (2)实数的运算顺序： 实数的运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算 ，同级运算应 依次进行． (3)零指数幂、负整数指数幂： 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝ (a≠0)．任何不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即a－p＝ (a≠0，p是正整数)． 5.实数的大小比较 (1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 ． (2)作差比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0⇔ ；a－b<0⇔ ；a－b＝0⇔ ． ( 深度讲练 ) ■考点一　实数的相关概念► ◇典例1：（2024•泸州）下列各数中，无理数是（　　） A． B．3.14 C．0 D．π 【变式训练】 1.（2024•云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作+100米，则向南运动100米可记作（　　） A．100米 B．﹣100米 C．200米 D．﹣200米 2.（2024•凉山州）下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024•鼓楼区校级三模）在下列实数中，属于无理数的是（　　） A．0 B． C． D． 4．（2024•重庆模拟）在，﹣4，0，这四个数中，属于负整数的是（　　） A． B． C．0 D．﹣4 ■考点二 科学记数法与近似数► ◇典例2：（2024•广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（　　） A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105 【变式训练】 1．（2024•大荔县一模）1079.34精确到个位，则近似值为（　　） A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070 2．（2023•长沙县二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（　　） A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位 3．（2024•江西）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（　　） A．0.25×106 B．2.5×105 C．2.5×104 D．25×103 4．（2024•大庆）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　） A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5 C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7 ■考点三 数轴、相反数、绝对值、倒数► ◇典例3：1.（2024•九台区三模）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1） C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1 2.（2024•大连模拟）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且|a|＜|b|，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系为（　　） A．﹣b＜a＜﹣a＜b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣b＜﹣a＜a＜b D．b＜a＜﹣a＜﹣b 【变式训练】 1.（2024•河南）如图，数轴上点P表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2.（2024•达州）有理数2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 3.（2024•成都）﹣5的绝对值是（　　） A．5 B．﹣5 C． D．﹣ 4.（2024•无锡）4的倒数是（　　） A． B．﹣4 C．2 D．±2 5．（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 6．（2024•巴中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a+b＜0 C．|a|＞|b| D．a﹣b＜0 ■考点四　 平方根、立方根及实数的估算► ◇典例4：（2024•内江）16的平方根是（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．±4 【变式训练】 1．（2024•常州）16的算术平方根是 　　． 2．（2024•青海）﹣8的立方根是 　　． 3．（2024•宣化区模拟）的算术平方根是（　　） A．±9 B．±3 C．9 D．3 4．（2024•重庆）已知m＝﹣，则实数m的范围是（　　） A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 ■考点五　 实数的大小比较► ◇典例5：（2024•德阳）下列四个数中，比﹣2小的数是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3 【变式训练】 1．（2024•辽宁）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40 其中最低海拔最小的大洲是（　　） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 2．（2024•重庆）下列四个数中，最小的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．（2024•浙江）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 太原 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 4．（2024•长沙模拟）比较大小： 　　． 5．（2024•德州）在0，，﹣2，这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B． C．﹣2 D． ■考点六　 实数的运算► ◇典例5：（2024•深圳）计算：﹣2×（﹣3）﹣+|﹣2|﹣（1﹣π）0． 【变式训练】 1．（2024•吉林）若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 2．（2023•常德）下面算法正确的是（　　） A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5） B．7﹣（﹣10）＝7﹣10 C．（﹣5）×0＝﹣5 D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4 3．（2024•广西模拟）计算：． 4．（2024•利川市校级模拟）计算：． 5．（2024•广东）计算：20×|﹣|+﹣3﹣1． ( 真题演练 ) 1．（2024•湖南）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（　　） A．+180元 B．+300元 C．﹣180元 D．﹣480元 2．（2024•兰州）2024的绝对值是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 3．（2024•淄博）下列运算结果是正数的是（　　） A．3﹣1 B．﹣32 C．﹣|﹣3| D．﹣ 4．（2024•广东）计算﹣5+3的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣8 C．2 D．8 5．（2024•长春）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（　　） A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2） 6．（2024•赤峰）央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（　　） A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×10﹣9 D．5.2×1010 7．（2024•自贡）在0，﹣2，，π四个数中，最大的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 8．（2024•康县模拟）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．2 9．（2024•丹阳市二模）的倒数是 　　． 10．（2024•徐州）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 　　． 11．（2024•资阳）若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则ab＝　　． 12．（2024•甘肃）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　　． 13．（2024•庐阳区校级模拟）计算：＝　　． 14．（2024•广西）计算：（﹣3）×4+（﹣2）2． 15．（2024•南宁一模）计算：22×（1﹣3）﹣1÷． 16．（2024•广阳区一模）六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． （1）以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； （2）求淇淇家与学校之间的距离； （3）如果嘉嘉骑车的速度是300m/min，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$