山东省潍坊市安丘市青云学府2024-2025学年高二上学期数学期末模拟试题

高二期末数学模拟试题 2025.1.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 直线经过两个定点，则直线倾斜角大小是（ ）． A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ）． A. B. C. D. 4．若a，b是异面直线，则下列结论一定正确的是（ ） A．存在与a，b都平行的直线 B．存在与a，b都垂直的平面 C．存在过a且与b垂直的平面 D．存在过a且与b平行的平面 5. 已知圆与圆外切，则（ ） A. B. C. D. 6..现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（   ） A．420 B．660 C．720 D．1200 7.的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点，若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的有（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 10. 已知圆：，直线：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 圆与圆恰有三条公切线 11. 已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（ ） A. 准线l的方程为 B. 矩形MQPF为正方形 C. 点M的坐标为 D. 点M到原点O的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 过点且与直线垂直的直线的方程是___________. 13. 已知双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为__________. 14．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 16．（15分）如图，在四棱锥中，，，． （1）求证：平面PAD⊥平面ABCD； （2）若，E，F分别为BD，PD的中点，求证：平面平面AEF． 17. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是上一点，且直线与直线的斜率之积为. （1）求的方程及其长轴长； （2）若圆的切线与交于、两点，求的最大值. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为， ①求长； ②求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分）已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求； (3)当时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末数学模拟试题 2025.1.10 1----5AACDB 6--8BAC 9BC 10ACD 11ABD 12． . 13. 14．4 15.【详解】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以.....4分 （2）由（1）知，的展开式中项为：，所以.．．8分 （3）由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以.．．．.............13分 16．证明：（1）因为，，所以． 又因为，，平面PAD，平面PAD， 所以CD⊥平面PAD． 4分 又平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD． 6分 （2）延长AE交CD于G， 因为E，F分别为BD，PD中点， 所以，又平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． 9分 因为，所以，又E为BD中点，所以， 注意到，所以，所以． 又因为，所以G为CD中点，所以． 12分 又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 13分 因为，平面AEF，平面AEF， 所以平面平面AEF． 15分 17.【小问1详解】 由椭圆可得，由题知，， 解得，，所以椭圆的方程为，其长轴长为4.．．.............6分 【小问2详解】①当轴时，，的横坐标为1或-1，代入椭圆方程可得，所以；．．.............8分 ②当不垂直轴时，设切线的方程为，所以圆心到切线的距离，得， 联立方程，整理得，．．.............10分 此时，即， 设，，则，， 所以， 设，则， ，所以，综上所述，.．．.............15分 18．解：（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则. 因为， 故，所以. 由已知，且，平面. 所以平面.．．.............5分 （2）①：设平面的法向量，因为， 所以，所以，令，得； 设平面的法向量，所以，所以，令，得； 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，所以， 解得（负值舍去），所以长为2.．．.............11分 ②：由（1）可知，故是直线与平面所成角的一个平面角， 在直角中，，又，则与互余， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为.．．........17分 19．解：（1）由圆与双曲线只有两个交点可知：， 又根据题意，双曲线过点，所以 ， 所以双曲线的标准方程为：.．．.............5分 （2）如图：因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 设直线的方程为：，即，由 ， 不妨令，则直线的方程为：， 代入得：，整理得：， 设，，则，， 所以 ， 所以 ， 若，亦可得，综上：.．．.............11分 （3）设直线的方程为，由 ， 不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，， 则，因为， 所以，， 将代入双曲线可得：， 整理得：， 设，，则，， 因为，所以， 所以 ， 所以 ， 又，所以， 因为，所以， 即的最小值为.．．.............17分 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末数学模拟试题解析 2025.1.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1. 直线经过两个定点，则直线倾斜角大小是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点式求斜率，结合斜率与倾斜角关系求角的大小即可. 【详解】令直线倾斜角为，则，又， 所以. 故选：A 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程直接得到焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 所以抛物线的焦点， 故选 ：A． 3. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的判定列方程求参数，注意验证，再应用平行线的距离公式求距离. 【详解】由题设，可得或， 当，，，即两线重合，不符； 当，，，满足； 所以它们的距离为. 故选：C 4．若a，b是异面直线，则下列结论一定正确的是（ ） A．存在与a，b都平行的直线 B．存在与a，b都垂直的平面 C．存在过a且与b垂直的平面 D．存在过a且与b平行的平面 5. 已知圆与圆外切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到两圆的圆心和半径，再利用两圆外切得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆可化为， 则圆圆心为，半径为， 因两圆外切，所以， 即，解得. 故选：B. 6.现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（   ） A．420 B．660 C．720 D．1200 【答案】B 【解析】当有2人选择去南昌时，剩余4人的分配方式为，选法种数为：， 当有3人选择去南昌时，剩余3人的分配方式为，选法种数为：， ∴至少有2人选择南昌的选法种数为.故选：B. 7.的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的项为 或， 令时，， 令时，， 所以的展开式的常数项为，故选：A. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点，若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形的性质，结合双曲线渐近线的方程和性质、双曲线离心率的性质进行求解即可. 【详解】如图所示： 由，则为直角三角形，又是的中点， 所以是斜边上的中线，故， 由点是线段的中点，为等腰三角形，故， 由双曲线渐近线的对称性知：， 所以， 由双曲线渐近线，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的有（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 10. 已知圆：，直线：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 圆与圆恰有三条公切线 10. ACD【详解】对于A，直线 ，所以， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线为：， 则圆心到直线的距离为，， 所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B错误； 对于C，因为直线过定点，所以， 所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确； 对于D，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为， 此时两圆圆心距为， 所以两圆位置关系为外切，则两圆恰有三条公切线，故D正确.故选：ACD. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（ ） A. 准线l的方程为 B. 矩形MQPF为正方形 C. 点M的坐标为 D. 点M到原点O的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】各选项根据抛物线的定义和性质可以得出结论. 【详解】由抛物线C：，得其准线l的方程为，A正确； 由抛物线的定义可知，又因为四边形MQPF为矩形，所以四边形MQPF为正方形，B正确； 所以，点M的坐标为，所以，C错误，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 过点且与直线垂直的直线的方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入即可求得结果. 【详解】设与直线垂直的直线为：， 代入得：，解得：，所求直线方程为：. 故答案为：. 13. 已知双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用共渐近线设出所求双曲线的方程，再代入点即可得解. 【详解】因为双曲线与具有相同的渐近线， 所以设双曲线的方程为， 又双曲线经过点，所以，解得， 所以双曲线的方程为，则其标准方程为. 故答案为：. 14．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为 . 【答案】4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由项的系数确定参数、奇次项与偶次项的系数和、二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【详解】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. （2）由（1）知，的展开式中项为：，所以. （3）由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 16．（15分）如图，在四棱锥中，，，． （1）求证：平面PAD⊥平面ABCD； （2）若，E，F分别为BD，PD的中点，求证：平面平面AEF． 16．证明：（1）因为，，所以． 又因为，，平面PAD，平面PAD， 所以CD⊥平面PAD． 4分 又平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD． （2）延长AE交CD于G， 因为E，F分别为BD，PD中点， 所以，又平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． 因为，所以，又E为BD中点，所以， 注意到，所以，所以． 又因为，所以G为CD中点，所以． 又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 因为，平面AEF，平面AEF， 所以平面平面AEF． 17. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是上一点，且直线与直线的斜率之积为. （1）求的方程及其长轴长； （2）若圆的切线与交于、两点，求的最大值. 【答案】（1）方程为，其长轴长为4. （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出，再利用算出直接写出椭圆方程即可； （2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长，当斜率存在时，切线方程为 与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值即可求解. 【小问1详解】 由椭圆可得， 由题知，， 解得，， 所以椭圆的方程为，其长轴长为4. 【小问2详解】 ①当轴时，，的横坐标为1或-1， 代入椭圆方程可得，所以； ②当不垂直轴时，设切线的方程为， 所以圆心到切线的距离，得， 联立方程，整理得， 此时，即， 设，，则，， 所以， 设，则， ， 所以， 综上所述，. 【点睛】思路点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为， ①求长； ②求直线与平面所成角的正弦值. 18．（本题满分17分，第一小题5分，第二小题①小题6分，第二小题②小题6分） 解：（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则. 因为， 故，所以. 由已知，且，平面. 所以平面. （2）①：设平面的法向量，因为， 所以，所以，令，得； 设平面的法向量，所以，所以，令，得； 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，所以， 解得（负值舍去），所以长为2. ②：由（1）可知，故是直线与平面所成角的一个平面角， 在直角中，， 又，则与互余， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为. 19．（17分）已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求； (3)当时，求的最小值． 19．（本题满分17分，第一小题5分，第二小题6分，第三小题6分） 解：（1）由圆与双曲线只有两个交点可知：， 又根据题意，双曲线过点，所以 ， 所以双曲线的标准方程为：. （2）如图：因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 设直线的方程为：，即，由 ， 不妨令，则直线的方程为：， 代入得：，整理得：， 设，，则，， 所以 ， 所以 ， 若，亦可得，综上：. （3）设直线的方程为，由 ， 不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，， 则，因为， 所以，， 将代入双曲线可得：， 整理得：， 设，，则，， 因为，所以， 所以 ， 所以 ， 又，所以， 因为，所以， 即的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$