立体几何中球的切、接（第一课时）专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025年高三一轮复习 立体几何中球的切接问题（第一课时） 一、墙角模型（三条侧棱两两垂直） 1、正三棱锥的侧棱长为，为的中点，且，求三棱锥外接球的表面积． 2、 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，求此鳖臑外接球的表面积。 3、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，求球的半径。 二、麻花模型（对棱相等模型） 4.如图，在四面体中，，，求四面体外接球的表面积。 5.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ． 6.如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点，，，满足，，，则该“鞠”的表面积为　　 A． B． C． D． 三、垂面模型 7.在三棱锥中，面，且在中，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8.如图，在三棱推中，高（底面），． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥外接球的表面积． 9.在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 四、切瓜模型 10、三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为（ ） A． B． C． D． 11、四棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 12、在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，求该四棱锥外接球表面积。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三一轮复习 立体几何中球的切接问题（第一课时） 一、墙角模型（三条侧棱两两垂直） 1、正三棱锥的侧棱长为，为的中点，且，求三棱锥外接球的表面积． 【答案】 【解析】为中点，，，，， 又，平面，平面， 平面，， 又，，平面， 平面， 又三棱锥为正三棱锥， 侧面为全等的等腰直角三角形， 三棱锥为如图所示的棱长为的正方体的一角， 该正方体的外接球即为三棱锥的外接球， 正方体外接球半径， 所求外接球表面积. 故答案为：. 2、 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，求此鳖臑外接球的表面积。 【解析】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直， 该鳖臑如图所示： 图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球， 是长方体的体对角线，也是外接球的直径， 设外接球半径为R，则， 所以鳖臑的外接球表面积为. 3、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，求球的半径。 【分析】由题意可得三棱柱为直三棱柱，将直三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线即可为外接球的直径，即可得解. 【详解】∵三棱柱的6个顶点都在球O的球面上， 则三棱柱为直三棱柱， 又∵，则可将直三棱柱补成长方体， ∴直三棱柱的外接球即为长方体的外接球， 故球O的直径为 ∴球O的半径为. 二、麻花模型（对棱相等模型） 4.如图，在四面体中，，，求四面体外接球的表面积。 【详解】由题设，若是中点，又，故， 所以是四面体外接球的球心，且半径为， 所以外接球的表面积为. 5.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ． 【答案】 【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示： 则，则， 因为球的直径即为长方体的体对角线， 则球的半径为， 所以球的表面积是. 故答案为：. 6.如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点，，，满足，，，则该“鞠”的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】解：因为鞠表面上的四个点，，，满足， ，， 所以可以把，，，四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是鞠的直径， 设该长方体的长、宽、高分别为，，，鞠的半径为， 则， 由题意得，，， 所以，即， 所以该鞠的表面积为， 故选：． 三、垂面模型 7.在三棱锥中，面，且在中，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得出图形如右图： O为球心，N为底面截面圆的圆心，ON⊥面ABC， ∵在三棱锥P-ABC中，AP=2， ，PA⊥面ABC，且在中， ∴根据正弦定理得出： ，解得， ∵PA⊥面ABC，∴PA//ON， ∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R， ∴根据等腰三角形得出： ，解得 ∴三棱锥的外接球的表面积为.故选：B. 8.如图，在三棱推中，高（底面），． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥外接球的表面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意知，底面， 故, 故； （2）由，可得， 设的外接圆半径为r，则， 设的外接圆圆心为，过点作平面的垂线， 则，设的中点为D，过点D作的垂线交于O， 则四边形为矩形， O即为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R， 则, 故三棱锥外接球的表面积为. 9.在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设底面的外接圆的半径为r，， 则在中，，可得，所以， 设底面三角形的外心为，过作底面的垂线， 由于平面BCD， 故所作垂线与的中垂线的交点 即为三棱锥外接球的球心， 设外接球的半径为R，而， 则外接球的半径为， 即当即时，三棱锥的外接球的半径取得最小值， 此时三棱锥的外接球表面积取得最小值：,故选：B 四、切瓜模型 10、三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示：取BD的中点O， 因为则是直角三角形， 因为，所以是直角三角形， 所以和的外接圆的圆心都是， 又因为平面平面BCD，所以O为外接球的球心， 因为，， 所以外接球的半径为， 所以外接球的体积为，故选：A 11、四棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，，取中点，连接； 四边形为矩形，为四边形的外接圆圆心； 在线段上取， 为等边三角形，为外接圆圆心， 过分别作平面和平面的垂线，则两垂线交点即为球的球心， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，； 同理可得：，四边形为矩形； ，， ，即球的半径， 球的表面积.故选：B. 12、在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用面面垂直的性质证得面，面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为面面，面面，面， 所以面， 同理：面， 设等边△SDA的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则面，面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 方法1：等边△SDA的外接圆半径 方法2：在等边△SDA中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$