精品解析：湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024年秋季八年级期末限时检测试卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是做题的关键；“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，由此逐项判断即可． 【详解】解：、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、 是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是． 故选：B 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 5. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，1， B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. ，2， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案，熟记勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由可得1，1，能构成直角三角形，不符合题意； B、由可得6，8，10能构成直角三角形，不符合题意； C、由可得5，12，13能构成直角三角形，不符合题意； D、由可得，2，不能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，逐一验证各选项的运算是否正确，依据代数运算法则进行判断即可. 【详解】A、根据完全平方公式，，而选项A缺少项，故错误； B、单项式乘法：系数相乘，字母部分按同底数幂相乘法则计算； ，与选项B一致，故正确； C、与不是同类项，无法直接相减，故错误； D、同底数幂相除法则：，而选项D结果为，故错误； 故选B 7. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定可作出选择. 【详解】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． ∴AE是∠PRQ的平分线 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，则的周长为（　　） A. 14 B. 20 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：的垂直平分线交于点，交于点， ， 的周长， 故选：B． 9. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来的大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 10. 如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④动点M，N分别在线段，上，则的周长的最小值为，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由“筝形”的性质可得，可证是等边三角形，故①正确；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，故②正确；由面积关系可求，故③错误；作点D关于的对称点，连接，交于点，连接，根据轴对称的性质得出此时的周长的最小，最小值为，证明，等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出，得出，根据，即可得出，可判断结论④． 【详解】解：∵四边形是“筝形”， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，故结论①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵，故结论③错误； 作点D关于的对称点，连接，交于点，连接，如图： 此时四点共线， 故，则的周长的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则的周长的最小值为，结论④正确， ∴正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识点，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义可知，即可得出答案． 【详解】因为分式有意义， 所以， 可得． 故答案为：． 12. 如图，数轴上点表示的数为，化简的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．由数轴知，即可得，据此依据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴知， 则， ∴原式 ， 故答案为：5． 13. 如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解． 【详解】解：在中，为斜边， 米， 少走的距离为 （米）， 故答案为：4． 14. 定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若，则x的值为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据定义得到，由得到，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的根， 即x的值为1． 故答案为：． 【点睛】此题考查了新定义运算，根据新定义得到分式方程是解题的关键． 15. 如果，那么____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得， ， 故答案为：． 16. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用及非负数的性质，利用完全平方公式整理得到两整式的平方和是解题的关键． 先利用完全平方公式把多项式整理成两个整式平方和的形式，再根据平方数非负数列式求解出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共9个小题，共72分） 17. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解． （1）利用平方差公式法分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 掌握因式分解的步骤和方法，是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的混合运算和单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式，单项式乘多项式法则进行计算； （2）根据分式的运算法则进行计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练利用了转化的思想解分式方程是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 解：， 去分母，得，即， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中为使有意义的正整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的运算法则及利用二次根式的性质求得字母的值是解题的关键．先利用分式的混合运算的运算法则进行计算，再由二次根式的性质及分式的意义求得字母的值，最后将所求字母的值代入计算即可得解． 【详解】解： ， ，，， ，，，且， 故， 当时，原式． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED． （1）求证：BD=CD． （2）若∠A=150°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）80° 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，依据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由各角之间的数量关系得出，利用等边对等角及三角形内角和定理即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键． 22. 如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． （1）求 的长; （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定与折叠问题； （1）根据折叠得出，在中，根据勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是长方形， ，， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理可得 ； 【小问2详解】 由（1）得，则 设，则 在中，根据勾股定理可得 即 解得，即 23. 为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同． （1）求，两种文具的单价； （2）若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？ 【答案】（1）文具的单价为元，则B文具的单价为元； （2）年级组至少购买种文具件． 【解析】 【分析】（）设文具的单价为元，则文具的单价为元，由用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同列出方程即可； （）设设年级组购买种文具件，根据购买这两种文具的总费用不超过元，列出不等式即可； 此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【小问1详解】 解：设文具的单价为元，则文具的单价为元， 根据题意，得， 解得 ， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：文具的单价为元，则B文具的单价为元； 【小问2详解】 设年级组购买种文具件， 根据题意，得：， 解得， ∴年级组至少购买种文具件． 24. 设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题： （1）下列关于的代数式是“优美式”的有____________． ①；②；③． （2）设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由． （3）已知关于的代数式是“优美式”且，求的值． 【答案】（1）② （2） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴是“优美式”． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握新定义及整式的相关运算． （1）根据新定义把代入计算即可得出答案； （2）对已知等式变形整理得出，据此得出，进一步求解即可； （3）根据新定义得出，结合知，即，代入得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：当时： ①； ②； ③． ∴②是优美式． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵关于的代数式是“优美式”， ∴， ∴，可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵等边三角形和等边三角形， ，，， ， ， ； （2） （3）①和②均正确， 理由如下： 选①证明： 如图2，在上取一点，使，连接， ， ∴为等边三角形， ∴，且， ∴，又， ∴， ∴， ∴； 选②证明： 如图3，在上取一点，使，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，于是可证得，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，再利用角平分线的判定即可得出答案； （3）选①证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论；选②证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ， ， ， ， 如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， ， ， 平分， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，利用证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季八年级期末限时检测试卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A.   B.   C.   D.   2. 每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，1， B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. ，2， 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，则的周长为（　　） A. 14 B. 20 C. 28 D. 32 9. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来的大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 10. 如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④动点M，N分别在线段，上，则的周长的最小值为，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 12. 如图，数轴上点表示的数为，化简的值是______． 13. 如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了______米． 14. 定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若，则x的值为_________. 15. 如果，那么____． 16. 已知，则__________． 三、解答题（本题共9个小题，共72分） 17. 因式分解 （1） （2） 18. 计算下列各式： （1）； （2）． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中为使有意义的正整数． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED． （1）求证：BD=CD． （2）若∠A=150°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数． 22. 如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． （1）求 的长; （2）求阴影部分的面积． 23. 为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同． （1）求，两种文具的单价； （2）若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？ 24. 设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题： （1）下列关于的代数式是“优美式”的有____________． ①；②；③． （2）设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由． （3）已知关于的代数式是“优美式”且，求的值． 25. 的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $