精品解析：北京市丰台区2024—2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

丰台区2024~2025学年度第一学期期末练习 九年级数学 考生须知： 1．本试卷共7页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3，试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 8或 D. 4或 7. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 是关于x的一元二次方程的一个根 8. 勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（ ） A B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. “射击运动员射击一次，命中靶心”，这个事件是__________事件（填“必然”，“不可能”或“随机”） 10. 如图，A，B，C是上的点，如果，那么的度数是__________． 11. 如图，，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是__________． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线（）上部分点的横坐标x．纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 5 … 则该抛物线的对称轴是__________． 13. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为__________m． 14. 在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为__________． 15. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总效n 10 50 400 750 1500 3500 9000 14000 成活数m 8 47 369 662 1335 3203 8073 12628 成活的频率 （结果保留小数点后三位） 0.800 a 0923 0.883 0.890 0.915 0.897 0.902 根据表中信息，回答下列问题： （1）a值为__________； （2）估计幼树移植成活的概率为__________（结果保留小数点后一位） 16. 某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是__________． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 20. 下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点P在外． 求作：的切线，使它经过点． 作法：①作射线交于A、B两点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，； ③连接，分别交于点，； ④作直线，． 直线，为所作的切线． 根据小明设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：连接． 在中，点A，B，C在上， ， ， ． ， （ ）（填推理依据）． ∴直线是的切线（ ）（ 填推理依据）， 同理可证，直线是的切线． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根的积为3．求k的值． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G，直接写出抛物线G的解析式． 23. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 24. 鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （1）第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； （2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 25. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）对于，，都有，求m的取值范围． 26. P是正方形边上一点，连接，．将线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当点P为中点时，直接写出线段与线段的数量关系； （2）如图2，当点P为线段上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且是该菱形的对角线，则称点是弦的“伴随点”． （1）如图，点． ①在点中，弦“伴随点”是点 ； ②若点是弦的“伴随点”且，则长为 ； （2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2024~2025学年度第一学期期末练习 九年级数学 考生须知： 1．本试卷共7页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3，试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得出结果． 【详解】解：两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反， 点关于原点对称的点的坐标是． 故选：D． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：抛物线， 抛物线顶点为， 故选：C． 4. 如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，由勾股定理得出，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：是的弦，且于点， ，， ， 故选：B． 5. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率的知识．首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反， ∴两枚硬币全部正面向上的概率是： ． 故选A． 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 8或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，关于的一元二次方程，若，则原方程有两个不相等的实数根；若，则原方程有两个相等的实数根；若，则原方程没有实数根． 根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 是关于x的一元二次方程的一个根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向和顶点坐标判断A，根据对称轴和图像经过求得B，由，可得当时，，判断C，根据关于对称轴的对称点为：，判断D． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为，过点， ∴，，故A错误； ∴对称轴为， ∴； ∵经过点，， ∴ ∴，故B错误， ∵， ∴ 当时，，故C错误 ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵点在此抛物线上， ∴在此抛物线上，即， ∴即是关于x的一元二次方程的一个根，故D正确， 故选：D． 8. 勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解． 【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为， 图2所示的矩形面积为：，而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍 ∴， ∴ 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. “射击运动员射击一次，命中靶心”，这个事件是__________事件（填“必然”，“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件，又称随机事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案． 【详解】解：射击运动员随机射击一次，可能命中靶心，也可能不命中靶心，故该事件是随机事件， 故答案为随机． 10. 如图，A，B，C是上的点，如果，那么的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，先根据切线长定理，切线的性质，得出，，然后根据含角的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵，，是的切线，， ∴，， ∵， ∴， ∴直径， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线（）上部分点的横坐标x．纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 5 … 则该抛物线对称轴是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的特征，根据二次函数图象上对称点求得对称轴是解题的关键． 根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为，即可求解． 【详解】解：由表格可得，点和点是抛物线上关于对称轴对称的两个点， ∴对称轴为， 故答案为：． 13. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为__________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：如图， ∵，, ∴，即正六边形的边长为， ∴地基的周长为， 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，弧长公式等着知识，先根据点A的坐标求出的长度，然后根据旋转的性质和弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点绕原点O顺时针旋转得到点， ∴点A运动到的轨迹的长度为， 故答案为：． 15. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总效n 10 50 400 750 1500 3500 9000 14000 成活数m 8 47 369 662 1335 3203 8073 12628 成活的频率 （结果保留小数点后三位） 0.800 a 0.923 0.883 0.890 0.915 0.897 0.902 根据表中信息，回答下列问题： （1）a的值为__________； （2）估计幼树移植成活的概率为__________（结果保留小数点后一位） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据成活的频率公式，计算即可； （2）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，据此求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 故答案为：； （2）解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴所以这种幼树移植成活率的概率约为， 故答案为：． 16. 某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数解析式为，将，代入即可求出函数解析式，于是得解． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，羽毛球飞行的水平距离为时，达到最高，高度为，故抛物线的顶点的坐标为， 由题意可得：,, 设抛物线的函数解析式为， 代入点,，得： ， 解得：， 故抛物线的函数解析式为， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义、二次根式的性质、零指数幂的意义等化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先移项，再运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ，． 19. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 20. 下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点P在外． 求作：的切线，使它经过点． 作法：①作射线交于A、B两点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，； ③连接，分别交于点，； ④作直线，． 直线，为所作的切线． 根据小明设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：连接． 在中，点A，B，C在上， ， ， ． ， （ ）（填推理依据）． ∴直线是的切线（ ）（ 填推理依据）， 同理可证，直线是的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形三线合一，关键是通过作图构造等腰三角形和三线合一． （1）根据要求即可画出图形即可； （2）根据等腰三角形三线合一即可解决问题． 【小问1详解】 解：（1）如图所示； 【小问2详解】 证明：连接． 在中，点A，B，C在上， ， ， ． ， （在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）． ∴直线是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线） 同理可证，直线是的切线． 故答案为：在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根的积为3．求k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根； （2）用根与系数的关系列式求得的值即可． 【小问1详解】 证明：∵， 即， ∴该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、， 利用根与系数的关系得：， 解得：． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G，直接写出抛物线G的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟知以上知识是解题的关键． （1）把点，代入，求出、的值即可得出结论； （2）把（1）中抛物线的解析式化为顶点式的形式，再根据“左加右减”的法则即可得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ， 解得， 此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线的解析式为：， 即． 23. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以． 【详解】解：设彩色纸带的宽为， 根据题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去)． 答：彩色纸带的宽为． 24. 鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （1）第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； （2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】（1）11 （2）21，27 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （2）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （3）根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【小问1详解】 解：由图可知当第11天之后，， 【小问2详解】 由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性； 【小问3详解】 由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为， 25. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征等，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系， （1）把函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）求出点关于对称轴对称点为，然后分，，，讨论，根据抛物线开口向上及求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解∶∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称点为， 当时，则， ∵， ∴ ∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大， ∴， 这与相矛盾，故不符合题意，舍去； 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大， ∴ ， 与相矛盾，故不符合题意，舍去； 当时，则， ∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大， ∴， ∴， 当时， ∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大， ∴ ∴， ∴， 综上， 26. P是正方形边上一点，连接，．将线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当点P为中点时，直接写出线段与线段的数量关系； （2）如图2，当点P为线段上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，，结合旋转的性质可得出，，再根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）结合旋转的性质和可证明，得出，，结合三角形外角的性质可得出，根据正方形的性质得出，，结合三角形外角的性质可得出，根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ∵四边形正方形， ∴，， ∵点P为中点， ∴， ∴， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴，即，， 又， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 理由如下： 连接，相交点O，连接，相交于点G，与、相交点H、K， ∵旋转， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且是该菱形的对角线，则称点是弦的“伴随点”． （1）如图，点． ①在点中，弦的“伴随点”是点 ； ②若点是弦的“伴随点”且，则长为 ； （2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）且 【解析】 【分析】（1）①根据新定义，弦的“伴随点”在的垂直平分线上（除的中点外），且在上或其内部存在一点，且，结合坐标系，即可求解； ②根据圆周角定理，圆内接四边形对角互补得出，根据新定义得出点外，且只有1个，进而解直角三角形，即可求解； （2）分析新定义，结合（1）②可得弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而，根据新定义得出点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分）；根据对称性分别求得，进而根据且，得出的范围，根据与轴的夹角为，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，点关于对称的点分别为 只有在的垂直平分线上（除的中点外），且在内部存在一点， 故答案为：． ②如图所示，设为的中点，,为的垂直平分线与的交点， ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∴的垂直平分线为一三象限的平分线上即，点在一三象限的平分线上 ∵， ∴ 如图所示，则分别为关于的对称点，弦的“伴随点”是线段除点外上的点， 又∵点是弦的“伴随点”且 ∴点在外，且只有1个， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）②可得，弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而， ∵在上，且， 设，则 ∴，即， 同理，则 ∵，则，则 ∴，，， 当是直线上一点，且存在的弦，点是弦的伴随点． ∴点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分） ∴且 即且 又∵与轴的夹角为 ∴的横坐标为 ∴且． 【点睛】本题考查了几何新定义，圆周角定理，菱形的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识正确的分析新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $