精品解析： 北京丰台第二中学 2024-2025学年北师大版九年级上册数学期末模拟测试卷

2024-2025学年初中数学九年级第一学期期末模拟测试卷 一、单选题（每题2分，共20分） 1. 从1~9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ）． A. 顶点坐标为 B. 有最小值 C. 与x轴无交点 D. 开口向下 3. 由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（ ） A 18 B. 15 C. 12 D. 6 4. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 6. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，相似比为，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C D. 7. 如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数与坐标轴交点情况是（　　） A. 一个交点 B. 两个交点 C. 三个交点 D. 无交点 9. 某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（ ） A 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 10. 如图，边长为2的正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（ ） A. 左平移2个单位 B. 右平移1个单位，上平移个单位 C. 右平移2个单位 D. 右平移个单位，上平移1个单位 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上20等份处，那么小玻璃管口径是________． 12. 已知在△ABC中，∠A、∠B锐角，且sinA＝，cosB＝，∠C＝_____． 13. 已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为8cm ，则它的侧面积为_______cm2. 14. 如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为____． 15. 如图是一条水平铺设的直径为20米的通水管道横截面，其水面宽为16米，交圆与点D，垂足为点C，则这条管道中此时水深为______米． 16. 在中，，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，点的对应点落在边上时，旋转角的度数为__________． 17. 如图所示的阴影部分是由抛物线y＝﹣x2+4的像与x轴所围而成．现将背面完全相同，正面分别标有数﹣2，﹣1，0，1，2的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的相反数作为点P的纵坐标，则点P落在该阴影部分内（包含边界）的概率为_____． 18. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作轴于点B，，连接，若的面积为2，则k的值为 _____． 三、解答题（共76分） 19. （1）计算： （2）解方程: 20. 如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图中标出与的位似中心点的位置； （2）若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； （3）在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 21. 某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）． （1）图中的立体图形的名称是：_________． （2）请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 22. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： （1）如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，求该抛物线的解析式； （2）若需要开一个截面为矩形的门（如图所示），已知门的高度为米，那么门的宽度最大是多少米（不考虑材料厚度）?（结果保留根号） 23. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 24. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化满足；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． （1）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ （2）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 26. [证明体验]（1）如图1，在△ABC和△BDE中，点A，B、D在同一直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求证：△ABC∽△DEB． （2）如图2，图3，AD＝20，点B是线段AD上的点，AC⊥AD，AC＝4，连结BC，M为BC中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE，连结DE． [思考探究]（1）如图2，当时，求AB的长． [拓展延伸]（2）如图3，点G过CA延长线上一点，且AG＝8，连结GE，∠G＝∠D，求ED长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年初中数学九年级第一学期期末模拟测试卷 一、单选题（每题2分，共20分） 1. 从1~9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，其中是2的倍数或是3的倍数的有2，3，4，6，8，9共计6个． 【详解】解：从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，是2的倍数或是3的倍数的有6个结果，因而概率是． 故选：C． 【点睛】用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．正确写出是2的倍数或是3的倍数的数有哪些是本题解决的关键． 2. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ）． A. 顶点坐标为 B. 有最小值 C. 与x轴无交点 D. 开口向下 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断A，B，D，根据二次函数与一元二次方程的关系可判断C． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，故A不正确； ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，故B不正确，D正确； ∵对于方程，， ∴抛物线与x轴有2个交点，故C不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 3. 由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（ ） A. 18 B. 15 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍． 【详解】解：正视图中正方形有3个； 左视图中正方形有3个； 俯视图中正方形有3个． 则这个几何体表面正方形的个数是：2×（3+3+3）=18． 则几何体的表面积为18． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，这个几何体的表面积为露在外边的面积和底面积之和． 4. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到点D，连接，根据题意可得，，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图：延长到点D，连接 由题意得∶， ， ∴ 故选：B． 5. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解． 【详解】设反比例函数的解析式为， 把点坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，，故C不正确； 当时，，当时，， 图象表明当时，则，故D正确； 故选：D． 6. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，相似比为，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，利用位似的性质判断解答即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∴， ∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； ∴， ∴． ∴， 故ACD正确，B错误， 故选：B． 7. 如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线性质、圆周角定理，连接，由切线的性质得出，求出所对的圆心角度数，再由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：连接，如解图所示，则． ． ． 点在劣弧上， 所对的圆心角为． ， 故选：A． 8. 二次函数与坐标轴交点情况是（　　） A. 一个交点 B. 两个交点 C. 三个交点 D. 无交点 【答案】C 【解析】 【分析】令求得与的交点，令，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【详解】解：当x＝0时，y＝1， 当y＝0时，0＝， ∴＝8＞0． ∴与x轴有两个交点 ∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，求得方程的判别式是解题的关键． 9. 某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（ ） A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 10. 如图，边长为2正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（ ） A. 左平移2个单位 B. 右平移1个单位，上平移个单位 C. 右平移2个单位 D. 右平移个单位，上平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可得，因为点P在函数的图象上，因此可求出函数解析式，利用正六边形平移设，，根据平移后点B、C恰好都落在该函数的图象上，将这两个点代入函数解析式即可求出m、n的值，即可得出答案． 【详解】过点P作轴于点G，连接， 由题意可知，G是的中点， ， ， 点P在函数的图象上， ， ， 正六边形中， ， 在中，， ，， ，， 设正六边形向右平移m个单位，向上平移n各单位，则， 使点B、C恰好都落在该函数的图象上， ， 解得或， 又， ， 即正六边形右平移1个单位，上平移个单位， 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正六边形的性质，反比例函数的图像和性质，将正六边形的边角关系和反比例函数上点的坐标结合起来是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上20等份处，那么小玻璃管口径是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：8． 12. 已知在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，∠C＝_____． 【答案】75° 【解析】 【分析】分别根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠C的度数． 【详解】∵sinA＝，cosB＝，∠A、∠B为锐角， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， 则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°． 故答案为75°． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 13. 已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为8cm ，则它的侧面积为_______cm2. 【答案】40π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】圆锥侧面积S=2π×5×8÷2=40π（cm2） 故答案为40π. 【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 14. 如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为____． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】证明，推出，设，则，，求出四边形的面积，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 15. 如图是一条水平铺设的直径为20米的通水管道横截面，其水面宽为16米，交圆与点D，垂足为点C，则这条管道中此时水深为______米． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，如下图所示， ∵的直径为20米， ∴， 又∵交圆与点D，垂足为点C，为16米， ∴， 在中，， 则水深， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了垂径定理的运用、勾股定理；通过作辅助线运用垂径定理和勾股定理是解决问题的关键． 16. 在中，，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，点的对应点落在边上时，旋转角的度数为__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出，分为点C的对应点落在边和边两种情况讨论，①当点C的对应点落在边，根据旋转的性质和等腰三角形的性质可得，再次利用三角形的内角和定理求出即可；②当点C的对应点落在边，直接可得到旋转角的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ①当点C的对应点落在边，如图所示， ∴， ∴， ∴； ②当点C的对应点落在边，如图所示， ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确理解题意、熟练掌握上述知识、明确即为旋转角是解题的关键． 17. 如图所示的阴影部分是由抛物线y＝﹣x2+4的像与x轴所围而成．现将背面完全相同，正面分别标有数﹣2，﹣1，0，1，2的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的相反数作为点P的纵坐标，则点P落在该阴影部分内（包含边界）的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意求得所有点的坐标，由阴影部分是抛物线y＝﹣x2+4在x轴上的部分与x轴所围而成，可得（1，﹣1），（2，﹣2）不在阴影部分内部，然后分析剩余3个点即可求得答案． 【详解】由题意知，点P的坐标为（﹣2，2），（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），（2，﹣2）， ∵阴影部分在x轴上方， ∴（1，﹣1），（2，﹣2）不在阴影部分内部， 当x＝﹣2时，y＝﹣x2+4＝0＜2，点（﹣2，2）不在阴影部分内； 当x＝﹣1时，y＝﹣x2+4＝3＞1，点（﹣1，1）在阴影部分内； 当x＝0时，y＝﹣x2+4＝4＞0，点（0，0）在阴影部分内； ∴点P落在该阴影部分内（包含边界）的概率为， 故答案为． 【点睛】此题考查了抛物线中点与抛物线的关系与古典概率的知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用． 18. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作轴于点B，，连接，若的面积为2，则k的值为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是利用图形面积求解反比例函数中的，相似三角形的判定与性质，设，证明，可得，，再利用三角形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，． ∵轴，轴， ∴． ∴， ∴． ∴，． 又∵， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（共76分） 19 （1）计算： （2）解方程: 【答案】（1）；（2）x1=x2=−1. 【解析】 【分析】（1）将特殊锐角三角函数值代入、计算绝对值、零指数幂、化简二次根式，再进一步计算可得； （2）方程左边利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）原式= = =. （2）方程变形得：(x+1)2=0， 开方得：x+1=0， 解得：x1=x2=−1. 【点睛】本题考查锐角三角函数，零指数幂，绝对值，化简二次根式，配方法解一元二次方程.解答本题的关键是（1）熟记特殊角的三角函数和任何非0数的零指数幂等于1，会化简二次根式和会求绝对值.（2）熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤. 20. 如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图中标出与的位似中心点的位置； （2）若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； （3）在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了位似的性质． 连接、、，、、的交点就是位似中心； 连接、、，分别取、、的中点、、，连接、、得到，即为所求； 因为与的位似比为，点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接、、， 、、的交点就是位似中心； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接、、， 分别取、、的中点、、， 连接、、得到， 即为所求； 【小问3详解】 解：与的位似比为，点的坐标为， 则点在上的对应点的坐标为． 21. 某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）． （1）图中的立体图形的名称是：_________． （2）请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 【答案】（1）圆柱 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体，计算圆柱的表面积： （1）根据左视图和主视图是长方形，则该几何体是柱体，再由俯视图为圆可知该几何体是圆柱； （2）根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，则该立体图形是圆柱， 故答案为：圆柱； 【小问2详解】 解：， ， ∴制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为． 22. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： （1）如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，求该抛物线的解析式； （2）若需要开一个截面为矩形的门（如图所示），已知门的高度为米，那么门的宽度最大是多少米（不考虑材料厚度）?（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把实际问题抽象为数学问题，并正确求出函数解析式是关键． （1）根据题意设出二次函数的解析式，把图象上点的坐标代入即可求出二次函数的解析式； （2）令，求出x的值，即可确定门的最大宽度． 【小问1详解】 解：由图可设抛物线的解析式为：， 由图知抛物线与x轴正半轴的交点为，则：， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 所以门的宽度最大为（米）． 23. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】（1）米；（2）263米 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义即可求出AM的长； （2）过点B作BH⊥MD，根据三角函数求出DH的长，利用CD=DH-CH即可求解． 【详解】（1）由题意可得AF∥MD ∴∠ACM=∠FAC= 在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CM(米); （2）如图，过点B作BH⊥MD， 在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH= ∴DH=BH÷tan30°=÷=300米， ∵AM⊥DM，AM⊥AF ∴四边形ABHM是矩形 ∴MH=AB=50米 ∴CH=CM-MH=-50(米) ∴CD=DH-CH=300-（-50）=350-≈263（米） 故河流的宽度为263米． 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法． 24. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得，得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 25. 某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化满足；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元． （1）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ （2）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 【答案】（1），当销售价格50元/个时，最大利润为50万元；（2），40． 【解析】 【分析】（1）总净利润=单件利润×销售量-40，首先求出单件利润（x-20），然后乘以销售量y，将解析式化为顶点式即可求解； （2）令（1）中解析式的值为40，然后作出函数图像示意图，根据示意图即可求解x的取值范围，然后结合销售量和销售价的关系即可判断x的值． 【详解】（1）根据题意得： ＝ ＝ 将其化为顶点式： ＝ ＝ ＝ ∴销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元． （2）当公司要求净得利润为40万元时，即 解得：x1＝40，x2＝60 如图，通过观察函数y＝的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60 而y与x的函数关系式为：，y随x的增大而减少， 因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，在本类题型中，将二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 26. [证明体验]（1）如图1，在△ABC和△BDE中，点A，B、D在同一直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求证：△ABC∽△DEB． （2）如图2，图3，AD＝20，点B是线段AD上的点，AC⊥AD，AC＝4，连结BC，M为BC中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE，连结DE． [思考探究]（1）如图2，当时，求AB的长． [拓展延伸]（2）如图3，点G过CA延长线上一点，且AG＝8，连结GE，∠G＝∠D，求ED的长． 【答案】（1）见解析 （2）①AB＝16，② 【解析】 【分析】（1）、由同角的余角相等，即可证出两三角形相似． （2）、①由旋转性质和中点可以得到BE＝DE，再由等腰三角形三线合一及相似列方程求解即可，②过点M作AD垂线交AD于点H，过点E作AD的垂线交AD于点F，过D作DP⊥AD，过E作NP⊥DP，交AC的延长线于N，再由三角形全等和三角形相似列方程求出． 【详解】解：（1）证明 ∵∠A＝90°，∠CBE＝90°， ∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°， ∴∠C＝∠DBE（同角的余角相等）． 又∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABC∽△DEB； （2）①∵M绕点B顺时针旋转90°至点E，M为BC中点， ∴△BME为等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴BE＝DE． 如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F，则BF＝DF， ∵∠A＝∠CBE＝∠BFE＝90°， ∴由（1）得：△ABC∽△FEB， ∴， ∵AC＝4， ∴BF＝2， ∴AB＝AD－BF－FD＝20－2－2＝16； ②如图，过点M作AD的垂线交AD于点H，过点E作AD的垂线交AD于点F，过D作DP⊥AD，过E作NP⊥DP，交AC的延长线于N， ∵M为BC中点，MH∥AC， ， ∴，BH＝AH， ∵∠MHB＝∠MBE＝∠BFE＝90°， 由（1）得： ， ∵MB＝EB， ∴△MHB≌△BFE， ∴BF＝MH＝2，EF＝BH， 设EF＝x，则DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20－2－2x＝18－2x，GN＝x＋8，NE＝AF＝2x＋2， 由(1)得△NGE∽△PED， ∴即， 解得，（舍去）， ∴FD＝18－2x＝6， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等知识，牢固掌握所有知识点，并通过分析题目做出辅助线，通过三角形相似列出方程是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$