第2章 方程(组)与不等式(组)-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

教师备课尊享·辽宁数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第二章　 方程(组)与不等式(组) 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 一 知识思维导图串讲 9 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 二 2024 辽宁考情分析 1. 2024 辽宁中考真题、省模考卷、省样卷题型、题位、分值的分析与总结 　 　 　 年份 题型　 　 　 2024 年中考真题 省模考卷 省样卷 选择题 8 题 3 分 ——— 5 题 3 分 6 题 3 分 8 题 3 分 填空题 11 题 3 分 13 题 3 分 ——— 解答题 17 题 8 分 16(2)题 5 分 17 题 8 分 17 题 8 分 题量总计 3 道 3 道 4 道 分值总计 14 分 16 分 17 分 【考情总结】 (1)2024 中考真题考查 3 道,14 分;省模考卷 3 道,16 分;省样卷 4 道,17 分; (2)选择题和填空题共考查 1~ 3 道; (3)解答题必考 1 道,8 分. 2. 章内各版块考查频次、特点的分析与总结 　 　 　 年份 版块　 　 　 2024 年中考真题 省模考卷 省样卷 一次方程 (组)的解 法及应用 8 题 3 分 17(1)题 4 分 17(1)题 4 分 8 题 3 分 17(1)题 4 分 一元二次 方程的解 法及应用 ——— 16(2)题 5 分 5 题 3 分 分式方程的 解法及应用 11 题 3 分 13 题 3 分 6 题 3 分 一元一次不 等式(组)的 解法及应用 17(2)题 4 分 17(2)题 4 分 17(2)题 4 分 【考情总结】 (1)一次方程(组)的解法及应用在解答题中必考 1 道,在选择题中属于高频考点; (2)一元二次方程的解法及应用考查较少; (3)分式方程必考 1 道,多在填空题中考查; (4)一元一次不等式(组)的解法及应用在解答题中必考 1 道. 01 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 三 2024 辽宁中考真题、省模考卷、省样卷分类+好题类推 版块 1　 一次方程(组)的解法及应用 1. [2024 辽宁 8 题 3 分]我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题:“今有雉兔同笼,上有三 十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”其大意是:鸡兔同笼,共有 35 个头,94 条腿,问鸡兔各多 少只? 设鸡有 x 只,兔有 y 只,根据题意可列方程组为 ( D ) A. x+y= 94, 4x+2y= 35{ B. x+y= 94, 2x+4y= 35{ C. x+y= 35, 4x+2y= 94{ D. x+y= 35, 2x+4y= 94{ 2. [省样卷 8 题]我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题:“今有木,不知长短. 引绳度之,余绳 四尺五寸;屈绳量之,不足一尺. 木长几何?” 意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余 4. 5 尺. 将绳子对折再量长木,长木还剩余 1 尺,问木长多少尺? 设木长 x 尺,根据题意可列方程 为 ( C ) A. 1 2 (x-4. 5)= x-1 B. 2x-1 = x+4. 5 C. 1 2 (x+4. 5)= x-1 D. 1 2 (x+4. 5)= x+1 版块 2　 一元二次方程的解法及应用 1. [省样卷 5 题]关于一元二次方程 x2 -2x-1 = 0 的根的情况,下列说法正确的是 ( B ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋好 题 类 推 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1-1 关于 x 的一元二次方程 x2 +x-1 =m2 的根的情况,下列说法正确的是 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 无论 m 取何值,方程总有两个相等的实数根 B. 无论 m 取何值,方程总有两个不相等的实数根 C. 无论 m 取何值,方程总没有实数根 D. 方程的根的情况和 m 的取值有关 1-2 若 a,b 是方程 x2 -x-2 024 = 0 的两个根,则 a2 +b= ( B ) A. 2 024　 B. 2 025 C. 2 026 D. 2 027 2. [省模考 16(2)题]解方程:x2 -6x+4 = 0. 解:移项,得 x2-6x=-4, 配方,得 x2-6x+9=-4+9,即(x-3) 2 =5, ∴ x-3=± 5 , 解得 x1 =3+ 5 ,x2 =3- 5 . 版块 3　 分式方程的解法及应用 1. [2024 辽宁 11 题 3 分]方程 5 x+2 =1 的解为　 x=3　 . 2. [省模考 13 题]方程 4 x-1 = 2 的解为　 x=3　 . 11 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 3. [省样卷 6 题]解分式方程 2 x = 1 x-1 时,将方程两边都乘同一个整式,得到一个一元一次方程,这个整 式是 ( D ) A. x B. x-1 C. x(x+1) D. x(x-1) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋好 题 类 推 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　3-1 把分式方程 2 x-1 = 5 x+1 转化为一元一次方程时,方程两边需同乘 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x-1 B. x+1 C. x2 -1 D. x2 +x 3-2 分式 3 1-x 与 2 x 互为相反数,则 x 的值为 ( C ) A. 1 B. -1 C. -2 D. -3 3-3 解分式方程 2 x+1 + 3 x-1 = 6 x2 -1 ,分以下四步,其中错误的一步是 ( D ) A. 方程中各分母的最简公分母是(x-1)(x+1) B. 方程两边乘(x-1)(x+1),得整式方程 2(x-1) +3(x+1)= 6 C. 解这个整式方程,得 x= 1 D. 原方程的解为 x= 1 版块 4　 一元一次不等式(组)的解法及应用 1. [2024 辽宁 17 题 8 分]甲、乙两个水池注满水,蓄水量均为 36 m3 . 工作期间需同时排水,乙池的排水 速度是 8 m3 / h. 若排水 3 h,则甲池剩余水量是乙池剩余水量的 2 倍. (1)求甲池的排水速度; (2)工作期间,如果这两个水池剩余水量的和不少于 24 m3,那么最多可以排水几小时? 解:(1)设甲池的排水速度为 x m3 / h. 根据题意,得 36-3x=2×(36-8×3),解得 x=4. 答:甲池的排水速度为 4 m3 / h; (2)设排水 y 小时. 根据题意,得 36-4y+36-8y≥24,解得 y≤4. 答:最多可以排水 4 小时. 2. [省模考 17 题]文具店计划购进若干数量某品牌的圆规和笔袋. 如果购进 5 个圆规和 10 个笔袋,那 么需花费 130 元;如果购进 20 个圆规和 30 个笔袋,那么需花费 440 元. (1)求每个圆规和每个笔袋的进价; (2)该文具店决定购进圆规和笔袋共 100 个,且总费用不超过 920 元,那么该文具店最多可以购 进多少个圆规? 解:(1)设每个圆规的进价是 x 元,每个笔袋的进价是 y 元, 根据题意,得 5x+10y=130, 20x+30y=440,{ 解得 x=10, y=8.{ 答:每个圆规的进价是 10 元,每个笔袋的进价是 8 元; (2)设该文具店购进 m 个圆规,则购进(100-m)个笔袋, 根据题意,得 10m+8(100-m)≤920,解得 m≤60, ∴m 的最大值为 60. 答:该文具店最多可以购进 60 个圆规. 21 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 3. [省样卷 17 题]某中学开展跨学科综合实践活动,需要准备 A,B 两种吸管,学校计划前往某超市购 买. 通过调查,将获取的相关数据整理如下表: 购买数量(单位:包) A 种吸管 B 种吸管 总费用(单位:元) 12 15 171 24 28 332 (1)A 种吸管、B 种吸管每包各是多少元? (2)该中学决定购买 A,B 两种吸管共 100 包,且总费用不超过 600 元,那么该中学最多可以购买 A 种吸管多少包? 解:(1)设 A种吸管、B种吸管每包分别是 x元、y 元, 依题意可得 12x+15y=171, 24x+28y=332,{ 解得 x=8, y=5,{ 答:A 种吸管、B 种吸管每包各是 8 元、5 元; (2)设购买 A 种吸管 a 包,则购买 B 种吸管(100-a)包, 根据题意,得 8a+5(100-a)≤600,解得 a≤33 1 3 , ∵ a 为正整数,∴该中学最多可以购买 A 种吸管 33 包. 四 大单元结构化整合练 ★大单元整合练———实际应用题 类型 1　 购买问题 常用关系式 费用=单价×数量⇒ 单价= 费用 数量 数量= 费用 单价 ì î í ï ï ï ï ïï 总费用=甲的单价×甲的数量+乙的单价×乙的数量 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①若每捆菜苗的价格为 x 元,则购买 10 捆菜苗需要　 10x　 元. ②若学校准备用 200 元购买单价为 x 元的菜苗,则可购进菜苗　 200 x 　 捆. ③若每捆 A 种菜苗的价格比每捆 B 种菜苗的价格贵 10 元,设每捆 A 种菜苗的价格为 x 元,则 购买 5 捆 A 种菜苗和 10 捆 B 种菜苗共需　 (15x-100) 　 元. 31 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 1. 某超市纪念品 A 的单价比纪念品 B 的单价多 20 元,小王购买 8 个纪念品 A 的金额比购买 5 个纪 念品 B 的金额多 310 元. 求纪念品 A,B 的单价. 解:设纪念品 B 的单价为 x 元,则纪念品 A 的单价为(x+20)元. 根据题意,得 8(x+20)-5x=310,解得 x=50,∴ x+20=50+20=70. 答:纪念品 A 的单价为 70 元,纪念品 B 的单价为 50 元. 2. 端午节前夕,小明和小华相约一起去超市购买粽子. 小明购买 A 品牌和B 品牌的粽子各 1 袋,共 花费 55 元;小华购买 A 品牌粽子 3 袋和 B 品牌粽子 2 袋,共花费 135 元,则 A,B 两种品牌粽子每 袋各是多少元? 解:设 A 品牌粽子每袋是 m 元,B 品牌粽子每袋是 n 元, 根据题意,得 m+n=55, 3m+2n=135,{ 解得 m=25, n=30.{ 答:A 品牌粽子每袋是 25 元,B 品牌粽子每袋是 30 元. 3. 某文具店王老板用 240 元购进一批笔记本,之后又用 600 元购进第二批笔记本,所购本数是第一 批的 2 倍,但进价比第一批每本多了 2 元,则第一批笔记本每本进价为多少元? 解:设第一批笔记本每本进价为 x 元,则第二批笔记本每本进价为(x+2)元, 由题意,得240 x ×2= 600 x+2 ,解得 x=8, 经检验,x=8 是原分式方程的解,且符合题意. 答:第一批笔记本每本进价为 8 元. 4. 公仔“山侠”和“水仙”,以“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作. 某商店计划用不超过 10 200 元的 资金购进“山侠”和“水仙”两种公仔共 300 个,其中“山侠”公仔的单价是 36 元,“水仙”公仔的单 价是 30 元,则“山侠”公仔最多能购进多少个? 解:设购进 x 个“山侠”公仔,则购进(300-x)个“水仙”公仔, 根据题意,得 36x+30(300-x)≤10 200,解得 x≤200, ∴ x 的最大值为 200. 答:“山侠”公仔最多能购进 200 个. 5. 为响应国家“全民阅读,建设学习型社会”的倡议,营造读书好、好读书、读好书的氛围,某校图书 馆计划选购甲、乙两种图书. 已知甲图书的单价是 23 元,乙图书的单价是 20 元. 若学校计划购买 两种图书共 600 本,且要求甲图书的数量不少于乙图书数量的 3 倍,则学校应如何购买这两种图 书才能使总费用最少? 最少总费用是多少? 解:设购买甲图书 x 本,则购买乙图书(600-x)本. 根据题意,得 x≥3(600-x),解得 x≥450. 设购买这两种图书的总费用为 y 元,则 y=23x+20(600-x)= 3x+12 000, ∵3>0,∴ y 随 x 的增大而增大, ∵ x≥450,∴当 x=450 时,y 的值最小,y最小 =3×450+12 000=13 350,此时 600-x=600-450=150. 答:学校购买甲图书 450 本、乙图书 150 本才能使总费用最少,最少总费用是 13 350 元. 41 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 类型 2　 销售问题 常用关系式 利润=销量×(售价-成本) 售价=标价×折扣;销售额=售价×销量 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①若某商店销售了 50 件单价为 x 元的商品,则销售额为　 50x　 元. ②若某商店销售售价为 x 元 /件的衬衫所得的销售额为 2 100 元,则该商店销售衬衫的数量 为　 2 100 x 　 件. ③某商店准备将一款玩具降价销售. 调查发现售价每降低 1 元,平均每周可多卖出 20 件. 降 价前每周可卖出 200 件,若降价 x 元,则降价后每周可卖出　 (200+20x) 　 件. ④某短款传统服装的进价为 80 元 /件,售价为 100 元 /件,销售 x 件该服装可获得的利润 为　 20x　 元. 1. 某商场销售某种商品,若按原价销售,则每天可卖出 50 件,若每件商品降价 20 元,则每天的销售 量为 60 件,且每天的销售额与原来相同,则该商品的原价为多少元? 解:设该商品的原价为 x 元, 由题意,得 50x=60(x-20),解得 x=120. 答:该商品的原价为 120 元. 2. 已知某书店中文学类书籍的售价为 20 元 /本,科技类书籍的售价为 30 元 /本. 若该书店销售两类书 籍共 90 本,销售额为 2 100 元,则这两类书籍各销售了多少本? 解:设文学类书籍销售了 x 本,科技类书籍销售了 y 本, 根据题意,得 x+y=90, 20x+30y=2 100,{ 解得 x=60, y=30.{ 答:文学类书籍销售了 60 本,科技类书籍销售了 30 本. 3. 近年来,电商平台直播带货成了火热的一个新兴职业. 春节期间,某直播销售员销售一种童装. 若 按原标价销售,则每周销售额为 10 000 元;若按原标价的八五折销售,则每周多卖出 20 套,且销 售额增加 1 900 元,则每套童装的原标价为多少元? 解:设每套童装的原标价为 x 元, 根据题意,得10 000+1 900 85%x - 10 000 x =20,解得 x=200, 经检验,x=200 是原分式方程的解,且符合题意. 答:每套童装的原标价为 200 元. 51 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 4. 某服装店每天销售“某品牌衬衫” 20 件,每件衬衫盈利 40 元. 该服装店决定降价销售该品牌衬 衫,经过市场调查发现:如果衬衫每降价 1 元,则每天多售出 2 件. 如果该服装店销售该品牌衬衫 每天盈利1 250 元,那么该品牌衬衫每件降了多少元? 解:设该品牌衬衫每件降了 x 元, 根据题意,得(40-x)(2x+20)= 1 250, 整理,得 x2-30x+225=0,解得 x1 =x2 =15. 答:该品牌衬衫每件降了 15 元. 5. 航空航天技术是一个国家综合国力的反映. 我国航天事业的飞速发展引发了航空航天模型的热 销,某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型共 100 套. 已知这两种模型的进价与售价如 表所示: “神舟”模型 “天宫”模型 进价(元 / 套) 16 25 售价(元 / 套) 20 30 若购进“神舟”模型的套数不少于“天宫”模型套数的 4 倍,求销售完这两种模型该航模店所获得 的最大利润. 解:设购进“神舟”模型 x 套,销售完这两种模型,该航模店所获得的利润为 y 元, 则购进“天宫”模型(100-x)套,∴则 y=(20-16)x+(30-25)(100-x)= -x+500. 根据题意,得 x≥4(100-x),解得 x≥80. ∵-1<0,∴ y 随 x 的增大而减小, ∵ x≥80,∴当 x=80 时,y 的值最大,y最大 =-80+500=420. 答:销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润是 420 元. 6. [2024 广东省卷]广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023 年农产品进出口总额居 全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美. 某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每 吨 5 万元出售,平均每天可售出 100 吨. 市场调查反映:如果每吨降价 1 万元,每天销售量相应增 加 50 吨. 该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大? 并求出其最大值(题中“元” 为人民币) . 解:设该果商定价 x 万元 /吨时,每天的“利润”为 w 万元, 根据题意,得 w=(x-2)[100+50(5-x)] =-50(x-4. 5) 2+312. 5, ∵-50<0,且 2≤x≤5,∴当 x=4. 5 时,w 有最大值,最大值为 312. 5 万元. 答:该果商定价为 4. 5 万元 /吨时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大,其最大值为 312. 5 万元. 类型 3　 工程问题 常用关系式 工作量=工作效率×工作时间⇒ 工作效率= 工作量 工作时间 工作时间= 工作量 工作效率 ì î í ï ï ï ï ïï 61 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 总工作量=甲的工作效率×甲的工作时间+乙的工作效率×乙的工作时间 工作总量不明确时,也可设工作总量为单位 1,则工作效率= 1 工作时间 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①甲工程队每天可完成 x 平方米的小区绿化,10 天可以完成　 10x　 平方米的小区绿化. ②某工程队计划以每天 x 米的速度完成 1 800 米的隧道掘进任务,按计划完成任务需 要　 1 800 x 　 天. ③某工程队计划每天铺设排污管道 x 米,实际施工时每天的工效比原计划增加 25%,则实际 每天的工效为　 1. 25x　 米. 1. 甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程,已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度 的 1. 5 倍,若甲、乙两工程队一起挖掘 200 米长的隧道,共用 4 天,则甲、乙两个工程队每天分别可 挖掘隧道多少米? 解:设乙工程队每天可挖掘隧道 x 米,则甲工程队每天可挖掘隧道 1. 5x 米, 由题意得 4(x+1. 5x)= 200,解得 x=20,∴1. 5x=1. 5×20=30. 答:甲工程队每天可挖掘隧道 30 米,乙工程队每天可挖掘隧道 20 米. 2. 近年来,城市更新行动速度在加快,保障和改善民生的步伐也在加快,人民群众获得感、幸福感、 安全感不断提升. 某社区在改造中,恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝 等标志性记忆点,新设计了系列文化景观,构建起一个“文化生态”空间. 第一期的改造工程面积 为 88 平方米,由甲、乙两人先后接力完成,若甲每天可完成 10 平方米,乙每天可完成 8 平方米, 共用 10 天完成,则甲、乙两人分别工作了多少天? 解:设甲工作了 x 天,乙工作了 y 天, 由题意,得 x+y=10, 10x+8y=88,{ 解得 x=4, y=6.{ 答:甲工作了 4 天,乙工作了 6 天. 3. 长春轨道交通 5 号线预计 2025 年全线通车. 2024 年 1 月硅谷广场站至硅谷大街站左线区间贯 通,线路全长约 1 300 米. 为民生计,此段工程实际每天完成比原计划多 30%,结果比原计划提前 3 天完成任务. 原计划每天完成多少米? 解:设原计划每天完成 x 米,则实际每天完成(1+30%)x 米, 由题意得 1 300 x - 1 300 (1+30%)x =3,解得 x=100, 经检验,x=100 是原分式方程的解,且符合题意. 答:原计划每天完成 100 米. 71 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 类型 4　 行程问题 常用关系式 路程=速度×时间⇒ 速度= 路程 时间 时间= 路程 速度 ì î í ï ïï ï ïï 相遇:总路程=甲的路程+乙的路程 追及:①同地不同时:甲的路程=乙的路程 ②同时不同地:甲乙之间的距离= | 甲的路程-乙的路程 | 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①若甲开车以 x 千米 /小时的速度行驶了 3 小时,则路程为　 3x　 千米. ②若甲开车从 A 地以 x 千米 /小时的速度前往 300 千米外的 B 地,则所需的时间为　 300 x 　 小时. ③若小船在静水中航行的速度为 x 千米 /小时,水流的速度为 6 千米 /小时,则小船顺流航行 的速度为　 (x+6) 　 千米 /小时,逆流航行的速度为　 (x-6) 　 千米 /小时. 1. 小华从 A 地步行到 B 地,然后从 B 地骑自行车返回 A 地,共用了 2 h. 已知小华骑自行车的速度 为 15 km / h,步行的速度为 5 km / h,则 A,B 两地之间的距离为　 15 2 　 km. 2. 甲、乙两人沿 400 米的环形跑道同时同地出发跑步. 如果同向而行,那么经过 200 秒两人相遇;如 果背向而行,那么经过 50 秒两人相遇. 求甲、乙两人的跑步速度(甲的速度快) . 解:设甲的跑步速度是 x 米 /秒,乙的跑步速度是 y 米 /秒, 依题意,得 200x-200y=400, 50x+50y=400,{ 解得 x=5, y=3.{ 答:甲的跑步速度是 5 米 /秒,乙的跑步速度是 3 米 /秒. 3. 甲、乙两船从相距 300 km 的 A,B 两地同时出发相向而行,甲船从 A 地顺流航行 180 km 时与从 B 地逆流航行的乙船相遇,水流速度为 6 km / h,若甲、乙两船在静水中的速度相同,求两船在静水中 的速度. 解:设两船在静水中的速度为 x km / h,根据题意得180 x+6 =300-180 x-6 ,解得 x=30, 经检验,x=30 是原分式方程的解,且符合题意. 答:两船在静水中的速度为 30 km / h. 4. 甲、乙两车从相距 210 千米的 A,B 两地相向而行,且均保持匀速行驶,甲的行驶速度为 60 千米 /小 时,乙的行驶速度为 30 千米 /小时. 若甲、乙两车同时出发,甲车行驶了 1 小时后发生故障,甲车 原地检修用了 30 分钟后继续按原速度行驶,此时,乙车提高速度,为了保证乙车不超过 1 小时与 甲车相遇,那么乙车的行驶速度至少要提高多少千米 /小时? 解:设乙车比原来的行驶速度提高 m 千米 /小时, 根据题意得 60×2+30×1. 5+(30+m)×1≥210,解得 m≥15,∴m 的最小值为 15. 答:乙车的行驶速度至少要提高 15 千米 /小时. 81 教师备课尊享·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 五 2022 年版课标内容梳理 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. 掌握等式的基本性质;能解一元一次方程; 2. 掌握消元法􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,能解二元一次方程组;(“掌握代入消元法和加减消元法”调整为“掌握消元法”) 3. ∗能解简单的三元一次方程组. 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. 能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(说法调整); 2. 理解方程解的意义􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增); 3. 能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. (“的解是否合理”调整为“解的合理性”) 命题点 3　 一元二次方程及其解法 1. 经历估计方程解的过程; 2. 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 3. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及􀪍两个实根是否相等;(“和”调整为“及”) 4. 了解一元二次方程的根与系数的关系(删除“∗”) . 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. 能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(说法调整); 2. 理解方程解的意义􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增); 3. 能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(“的解是否合理”调整为“解的合理性”) . 命题点 5　 分式方程及其应用 1. 能解可化为一元一次方程的分式方程; 2. 能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(说法调整); 3. 理解方程解的意义􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增); 4. 能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(“的解是否合理”调整为“解的合理性”) . 命题点 6　 一元一次不等式(组)的解法及其应用 1. 结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质; 2. 能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集; 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式 组的解集; 3. 能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题. 91