5.4 正方形的性质与判定-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·辽宁数学 　 第 五 章 四 边 形 命题点 4　 正方形的性质与判定 考向 1　 正方形的性质及相关计算 1. [2024 辽宁月考]正方形具有而菱形不一定具有 的性质是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 四条边都相等 B. 对角线互相垂直且平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 2. [2024 葫芦岛期中]如图,在正方形 ABCD 的内侧 作等边三角形 ADE,连接 BE,则∠AEB 为 ( C ) A. 55° B. 65° C. 75° D. 80° 第 2 题图 　 　 第 2 题变式图 变式 如图,在正方形 ABCD 的外侧作等边三 角形 ADE,连接 BE,CE,则∠BEC= 　 30　 °. 第 3 题图 3. [2024 常州]如图,在平面直角坐 标系 xOy 中,正方形 ABCD 的 对角线 AC,BD 相交于原点 O. 若点 A的坐标是(2,1),则点 C 的坐标是　 (-2,-1)　 . 4. 如图①,将边长为 2 cm 的正方形 ABCD 沿其 对角线 AC 剪开,再把△ABC 沿着 AD 方向平 移,得到△A′B′C′(如图②),若两个三角形重 叠部分的面积是 1 cm2,则移动的距离 AA′等 于 ( B ) 第 4 题图 A. 0. 5 cm B. 1 cm C. 1. 5 cm D. 2 cm 5. [北师九上 P25 第 2 题改编]如图,正方形 ABCD 的 边长为 4,E,F 是对角线 BD 上的两点,且 BE= DF= 2 ,则四边形 AECF 的面积是 ( B ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 4 2 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 组合练 如图,四边形 ABCD 和 BGFE 均为正 方形,连接 AE,CG,已知 AE= 2. (1)CG= 　 2　 ; (2) 若点 E 为 AD 的中点,其他条件不变,则 BG= 　 2 5 　 . 7. [2023 丹东 16 题 3 分]如图,在正方形 ABCD 中, AB= 12,点E,F 分别在边BC,CD上,AE 与BF 相 交于点 G,若 BE=CF=5,则 BG 的长为　 　 　 . 第 7 题图 　 　 第 7 题变式图 变式 如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别在正方形 ABCD 的边 AD,BC,AB,CD 上, 且 AG=BF=CH=DE,已知 AB = 12,AG = 1 3 AB, 则 EF 的长为　 4 10 　 . 考向 2　 正方形的判定及相关计算 8. [人教八下 P60 第 3 题改编]下列说法中,正确的 是　 ( C ) A. 有一组邻边相等的四边形是正方形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 有一个角是直角的菱形是正方形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57 班级: 　 姓名: 分层作业本·辽宁数学 　 第 五 章 四 边 形 9. [北师八上 P17 第 4 题改编·2023 大连 16 题 3 分] 如图,在正方形 ABCD 中,AB = 3,点 E 在 BC 的延长线上,且 CE = 2. 连接 AE,∠DCE 的平 分线与 AE 相交于点 F,连接 DF,则 DF 的长 为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 10. [2023 鞍山期末]如图,已知 BD 为矩形 ABCD 的对角线,完成如下操作,并解决问题: (1)作 BD 的垂直平分线 l;(不写作法,保留 作图痕迹) (2) 在直线 l 上确定两点 M,N,使四边形 BMDN 为正方形,简要阐述作法,并说明 理由. 解:(1)如解图①,直线 l 即为所作; (2)如解图②,正方形 BMDN 即为所作, 作法:设直线 l 与 BD 的交点为 O,以 O 为圆心,BO 的长度为半径画弧,交直线 l 于 M、N 两点,连接 BM,BN,DM,DN, 理由:∵BO=DO=MO=NO,且 BD⊥MN, ∴四边形 BMDN 是正方形. 11. [2023 阜新 23 题改编]如图,在正方形 ABCD 中,线段 CD 绕点 C 逆时针旋转到 CE 处,旋 转角为 α,点 F 在直线 DE 上,且 AD = AF,连 接 BF. 当 0°<α<90°时,∠BAF = 　 90°-α　 . (用含 α 的式子表示) 第 11 题图 拓展 EF 与 BF 之间的数量关系为　 　 　 　 . 12. 名师原创 如图,已知点 N 为正方形 ABCD 的 边 AB 上一点,AB= 2,将 DN 绕点 N 旋转 90° 至 EN,连接 AE,BE,M 为 BE 上一点,且 MN ∥AE,EN 与直线 AB 所夹锐角为 α, 若 tanα= 1 2 , 则 MN= 　 　 　 　 　 　 　 . 第 12 题图 13. [人教八下 P62 第 15 题改编]四边形 ABCD 为矩 形,G 是 BC 上任意一点,DE⊥AG 于点 E. 图① 　 　 图② 第 13 题图 (1)如图①,若 AB =BC,BF∥DE,且交 AG 于 点 F,求证:AF-BF=EF; (2)如图②,在(1)的条件下,若 AG = 5 BG, 求 GC EC 的值. (1)证明略; (2)解:GC EC = 1 2 . 【详解详析见参考答案 P】 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 1. 等面积法见专项培优练 P5;弦图模型、十字模型 见专项培优练 P21-24; 2. 第五章诊断卷(2 套)、特殊四边形的判定及计算 加练扫描目录首页二维码免费下载 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 67 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 4:如解图③,将菱形 ABCD 平均分成 9 格,菱形 AEGM 占其中一格,且 S四边形EHFG =S菱形AEGM,∴ S四边形EHFG S菱形ABCD = S菱形AEGM S菱形ABCD = 1 9 . 图① 　 图② 　 图③ 第 3 题解图 4. A　 【解析】如解图,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E,∴ ∠BEA = 90°,∵ 点 A 的坐标为( -2,0),∴ OA= 2,∵ 四边形 OABC 是菱形,∴ AB = OA = 2,AB∥OC,∴ ∠EAB = ∠AOC = 60°, ∴ ∠ABE= 30°,∴ AE= 1 2 AB= 1,∴ OE =AE+OA= 1+2 = 3, 由勾股定理得 BE= AB2 -AE2 = 22 -12 = 3,∴ 点 B 的坐 标是(-3, 3),将菱形 OABC 沿 x 轴向右平移 1 个单位长度, 再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度,得到菱形 O′A′B′C′,∴ 点 B′的坐标为(-2, 3-1). 第 4 题解图 变式 B　 【解析】如解图,过 B′作 B′D⊥y 轴于点 D,连接 OB′,∵ 将菱形 OABC 绕原点 O 逆时针方向旋转 60°,得到 菱形 OA′B′C′,∠AOC = 60°,菱形 OABC 的边长为 2 6 , ∴ OC′=C′B′ = 2 6 ,∠B′OB = ∠C′OC = 60°,B′C′∥OC, ∴ ∠DC′B′= ∠C′OC = 60°,∴ C′D = 1 2 C′B′ = 6 ,DB′ = 3 2 B′C′= 3 2 ,∴ OD = OC′ + C′D = 3 6 , ∴ B′的坐标是 (3 2 ,3 6 ) . 第 4 题变式解图 5. D　 6. AB=AD(答案不唯一) 7. C　 【解析】由步骤(1)(2)(3)可知四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB= AD,BC∥AD,∴ ∠ABD = ∠ADB = ∠CBD,∵ ∠A = 44°,∴ ∠ABD+∠ADB = 180° -∠A = 180° - 44° = 136°,∴ ∠CBD= ∠ABD= ∠ADB= 68°. 8. 证明:∵ AB=AC,AD 是 BC 边上的中线, ∴ AD 垂直平分 BC, ∴ DB=CD,EB=EC,FB=FC, ∵ CF∥BE, ∴ ∠BED= ∠CFD,∠EBD= ∠FCD, ∴ △EBD≌△FCD(AAS), ∴ BE=FC, ∴ EB=BF=FC=EC, ∴ 四边形 BECF 是菱形. 9. C　 【解析】如解图,过点 D 作 DH⊥BC 交 BC 的延长线于 点 H,在菱形 ABCD 中,AB = 6,AB∥CD,AB = CD = AD = 6, AD∥BC,∴ ∠ADF = ∠DEH,∠DCH = ∠B = 30°,∴ DH = 1 2 CD= 3,∵ AF⊥DE,∴ ∠AFD = ∠EHD = 90°,∴ △ADF ∽△DEH,∴ AD DE = AF DH ,∴ 6 x = y 3 ,∴ y= 18 x . 第 9 题解图 10. 解:(1)四边形 ABCD 是菱形,理由如下:如解图①,作 CH⊥AB,垂足为 H,作 AG⊥CB,垂足为 G, ∵ 两个纸条为矩形, ∴ AB∥CD,AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∵ S▱ ABCD =AB·CH=AG·BC,且 CH=AG, ∴ AB=BC, ∴ 四边形 ABCD 是菱形; 图① 　 　 图② 第 10 题解图 (2)如解图②,作 AM⊥CD,垂足为 M, ∵ S菱形ABCD =CD·AM= 8 cm2 ,且 AM= 2 cm, ∴ CD= 4 cm, ∵ 由(1)知四边形 ABCD 为菱形, ∴ AD=CD= 4 cm, 在 Rt△ADM 中,sin∠1 = AM AD = 1 2 , ∴ ∠1 = 30°. 命题点 4　 正方形的性质与判定 1. C 2. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB =AD,∠BAD= 90°,∵ △ADE 为等边三角形,∴ ∠DAE = 60°,AD = AE,∴ AB=AE,∠BAE= 30°,∴ ∠AEB= 1 2 ×(180°-30°)= 75°. 变式 30 　 【解析】 在正方形 ABCD 中,AB = AD = CD, ∠BAD= ∠CDA = 90°,∵ △ADE 为等边三角形, ∴ AD = AE= DE, ∠EAD = ∠AED = ∠ADE = 60°, ∴ AB = AE, ∠BAE= ∠BAD+ ∠EAD = 150°, ∴ ∠AEB = 1 2 × ( 180° - ∠BAE) = 15°; 同理, ∠DEC = 15°, ∴ ∠BEC = ∠AED - 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 　 ∠AEB-∠DEC= 60°-15°-15° = 30°. 3. ( -2,-1)　 【解析】由正方形性质可得,O 为 AC 的中点, ∵ A(2,1),∴ C( -2,-1) 4. B　 【解析】如解图,设 AC 交 A′B′于点 H,A′C′交 CD 于点 G,根据正方形的性质可得∠A = 45°,∠D = 90°,由题可 得,A′B′∥CD,A′C′=AC,∴ 四边形 A′HCG 为平行四边形, ∠AA′H= 90°,∴ △A′HA 是等腰直角三角形,设 AA′= x,则 A′H= x,A′D= 2-x,∴ x(2-x)= 1,解得 x= 1,即 AA′= 1 cm. 第 4 题解图 5. B　 【解析】∵ 正方形 ABCD 的边长为 4,∴ AB = AD = 4, ∠BAD= 90°,由勾股定理求得 BD = AB2 +AD2 = 4 2 ,∵ BE=DF = 2 , ∴ BE= DF = 1 4 BD,∴ S△ADF = 1 4 S△ABD, ∵ S△ABD = S△BCD = 1 2 × 4 × 4 = 8,∴ S△ADF = 2,同理得△ABE, △CDF,△CBE 的面积相等且等于△ABD 面积的 1 4 ,即为 2,∴ 四边形 AECF 的面积为 4×4-4×2 = 8. 6. (1)2;(2)2 5 【解法提示】∵ 四边形 ABCD 和 BGFE 均为 正方形, ∴ AB = BC,BE = BG, ∠ABC = ∠EBG = 90°, ∴ ∠ABE+ ∠EBC = 90°, ∠EBC + ∠CBG = 90°, ∴ ∠ABE = ∠CBG,∴ △ABE≌△CBG(SAS),∴ CG=AE= 2; (2)∵ 点 E 为 AD 的中点,AE = 2,∴ AB = AD = 4,∴ BE = AB2 +AE2 = 42 +22 = 2 5 ,∵ 四边形 BGFE 为正方形, ∴ BG=BE= 2 5 . 7. 60 13 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABE = ∠C = 90°,AB = BC, ∵ BE = CF, ∴ △ABE ≌ △BCF ( SAS ), ∴ ∠BAE = ∠CBF, ∵ ∠CBF + ∠ABG = 90°, ∴ ∠BAE + ∠ABG= 90°,∴ ∠BGE = ∠C = 90°,又∵ ∠EBG = ∠FBC, ∴ △EBG∽△FBC,∴ BG BC = BE BF ,∵ BC = AB = 12,CF = BE = 5, ∴ BF= BC2 +CF2 = 122 +52 =13,∴ BG 12 = 5 13 ,∴ BG= 60 13 . 变式 4 10 8. C 9. 3 10 4 　 【解析】如解图,过点 F 作 FM⊥BE 于点 M,FN⊥ CD 于点 N,则四边形 CMFN 是矩形,FM∥AB,∵ CF 平分 ∠DCE,∴ FN = FM,∴ 四边形 CMFN 是正方形,设 FM = CM=NF= CN = a,则 ME = 2-a,易得△EFM∽△EAB,∴ FM AB =ME BE ,即 a 3 = 2 -a 3+2 ,解得 a= 3 4 ,∴ DN=CD-CN = 9 4 ,由 勾股定理得 DF= DN2 +NF2 = 3 10 4 . 第 9 题解图 10. 解:(1)如解图①,直线 l 即为所求; 第 10 题解图① (2)如解图②,正方形 BMDN 即为所求. 作法:设直线 l 与 BD 的交点为 O,以 O 为圆心,BO 的长 度为半径画弧,交直线 l 于 M、N 两点,连接 BM,BN, DM,DN. 理由:∵ BO=DO=MO=NO,且 BD⊥MN, ∴ 四边形 BMDN 是正方形. 第 10 题解图② 11. 90°-α　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ADC = ∠DAB= 90°,由题意得 CD = CE,∠DCE = α,∴ ∠CDE = ∠CED= 1 2 ( 180° - α) = 90° - 1 2 α, ∴ ∠ADF = 90° - ∠CDE= 90°-(90°- 1 2 α) = 1 2 α,∵ AD = AF,∴ ∠ADF = ∠AFD= 1 2 α,∴ ∠FAD= 180°-∠ADF-∠AFD = 180°-α, ∴ ∠BAF= ∠FAD-∠BAD= 180°-α-90° = 90°-α. 拓展 EF= 2BF　 【解析】如解图,连接 BE. 由题意得 ∠DCE=α,∴ ∠BCE = 90°-α = ∠BAF,∵ CD = CE = AD = AF = AB = BC, ∴ △BCE ≌ △BAF ( SAS), ∴ BF = BE, ∠ABF = ∠CBE. ∵ ∠ABC = ∠CBE + ∠ABE = 90°, ∴ ∠EBF= ∠ABF+∠ABE= 90°,∴ △EBF 是等腰直角三角 形,∴ EF= 2BF. 第 11 题拓展解图 12. 2 2 或 10 2 　 【解析】当 ND 逆时针旋转 90°至 NE 时,如 解图①,过点 E 作 EH⊥AB 交 BA 的延长线于点 H,则 ∠H= 90°,∵ tan∠ENA= EH HN = 1 2 ,设 EH = a,则 HN = 2a, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 53 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 ∵ DN 绕点 N 逆时针旋转 90°至 EN,∴ ∠DNA+∠ENA = 90°,DN=EN,∵ ∠BAD = ∠H = 90°,∴ ∠NDA+∠DNA = 90°,∴ ∠ENA = ∠NDA, ∴ △NDA ≌ △ENH ( AAS ), ∴ AN=EH=a,AD=NH= 2a= 2,∴ a= 1,∴ AN=EH= 1,AH =NH-AN= 2a-a=a= 1,∴ AE = AH2 +EH2 = 2 ,∵ AB = 2,∴ AN=BN= 1,∵ MN∥AE,∴ △BMN∽△BEA,∴ MN AE = BN AB = 1 2 ,∴ MN= 1 2 AE= 2 2 ;当 ND 顺时针旋转 90°到 NE 时,如解图②,过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G,同理可求 AE= 12 +32 = 10 ,∴ MN = 1 2 AE = 10 2 , 故答案为 2 2 或 10 2 . 图① 　 　 　 　 图② 第 12 题解图 13. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形,AB=BC, ∴ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ AD=AB,∠BAD= 90°, ∴ ∠BAF+∠DAE= 90°, 又∵ DE⊥AG,BF∥DE, ∴ ∠AED= ∠DEF= ∠AFB= 90°, ∴ ∠BAF+∠ABF= 90°, ∴ ∠DAE= ∠ABF, 在△AED 和△BFA 中, ∠AED= ∠BFA, ∠DAE= ∠ABF, AD=BA, { ∴ △AED≌△BFA(AAS), ∴ AE=BF, ∴ AF-BF=AF-AE=EF; (2)解:如解图,延长 AG 与 DC 的延长线交于点 H, 第 13 题解图 ∵ AG= 5BG,∴ 设 BG= t( t>0),则 AG= 5 t, 在 Rt△ABG 中,AB= AG2 -BG2 = 2t,∴ BC= 2t, ∴ G 为 BC 的中点,∴ BG=CG, 由(1)可得,四边形 ABCD 为正方形, ∴ ∠ABG= ∠HCG= 90°, 在△ABG 和△HCG 中, ∠ABG= ∠HCG, ∠AGB= ∠HGC, BG= ∠CG { ∴ △ABG≌△HCG, ∴ AB=HC=CD, 又∵ DE⊥AG, ∴ 在 Rt△DEH 中,C 为斜边 DH 的中点, ∴ EC=CD=CH=BC, ∴ GC EC =GC BC = 1 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六章　 圆 命题点 1　 圆的基本概念及性质 1. B　 2. C　 3. B　 4. D 5. D　 变式 1 3≤OP≤5 变式 2 D　 【解析】如解图,过点 O 作 OD⊥AB 于点 C, 交☉O 于点 D,连接 OA,则∠ACO = 90°,BC = AC,∵ 半径 为 6 cm,瓶内液体最大深度为 4 cm,∴ OA = OD = 6 cm, CD= 4 cm,∴ OC = OD-CD = 6- 4 = 2 ( cm),∴ BC = AC = OA2 -OC2 = 62 -22 = 4 2 (cm),∴ AB=BC+AC= 4 2 + 4 2 = 8 2 (cm) . 第 5 题变式 2 解图 6. A　 【解析】如解图,延长 DE 交☉O 于 G,连接 AG. 第 6 题解图 ∵ ∠ACB= 90°,∴ AB 是直径,∵ AB⊥DG,∴ BD ( =BG ( ,DE = EG,∵ AD 平分 ∠CAB, ∴ ∠CAD = ∠DAB, ∴ CD ( = BD ( , ∴ BC ( =DG ( ,∴ BC=DG= 2DE. 7. C 拓展 6 　 【解析】 ∵ ∠A = 45°,∴ ∠BOC = 2 ∠A = 90°, ∵ OB=OC,∴ △BOC 是等腰直角三角形, ∴ OB = BC· sin45° = 2 2 BC= 3,∴ ☉O 的直径为 6. 8. C 9. 40°或 140°　 【解析】如解图,∵ 弦 AB 把☉O 分成 2 ∶7的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63