专题02 一次函数与反比例函数、三角形的压轴（七大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题02 一次函数与反比例函数、三角形的压轴 目录 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数与反比例函数图象的综合判断 1 类型二、一次函数与反比例函数的交点问题 4 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 11 类型四、一次函数中的三角形面积问题 17 类型五、一次函数中等腰三角形的存在性问题 24 类型六、一次函数中直角三角形的存在性问题 32 类型七、一次函数中等腰直角三角形的存在性问题 42 压轴能力测评 56 类型一、一次函数与反比例函数图象的综合判断 【例1】在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例2】一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 类型二、一次函数与反比例函数的交点问题 【例3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【例4】如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于，两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)______，并求反比例函数的解析式． (2)求的面积． (3)已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点． ①当时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【变式2-2】已知双曲线与直线交于点，．若时，，则 0， 0（填“>”、“=”或“<”）． 【变式2-3】如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限．若点是线段上横坐标为整数的点（不与点A、B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 【例5】数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【例6】智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【变式3-1】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【变式3-2】小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【变式3-3】当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时，图象是反比例函数的一部分． (1)求点对应的指标值． (2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段． 类型四、一次函数中的三角形面积问题 【例7】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连接，求的面积． 【例8】在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点， 与x轴交于点C． (1)求点A 的坐标和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集； (3)点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，求 的面积． 【变式4-2】已知：点在反比例函数的图像上，正比例函数的图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式和点坐标； (2)在轴上有一点，使，求点坐标． (3)在轴上有一点，使的面积等于18，直接写出点坐标． 【变式4-3】如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C． (1)求D点坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)在直线上是否存在异于点C的另一点P，使得的面积与的面积相等？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由． 类型五、一次函数中等腰三角形的存在性问题 【例9】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点，的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M． (1)求直线的解析式． (2)当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (3)过点Q作轴交直线于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值． 【例10】如图，已知直线是由正比例函数的图象沿着轴向上平移4个单位得到的， (1)请求出直线的表达式； (2)若直线与轴、轴分别交于两点，点是线段上的一个动点，连接 ①线段将的面积分成的两部分，请求出此时点的坐标； ②当点运动到线段的中点时，在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-1】已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 【变式5-2】如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 【变式5-3】如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求点C的坐标以及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 类型六、一次函数中直角三角形的存在性问题 【例11】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式： (2)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例12】如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集； (4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标． 【变式6-1】如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时，x的取值范围． (4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集________； (3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________． 类型七、一次函数中等腰直角三角形的存在性问题 【例13】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线经过点，与直线交于点D． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接、，求的面积； (3)如图2，当点D在直线上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【例14】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)的长为______，的长为______，直线的表达式为______； (2)若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A． (1)求这个一次函数的表达式； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 【变式7-2】建立模型： （1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：； （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)点A的坐标是___________，点B的坐标是___________，的长为___________； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．正比例函数与反比例函数的图象交于点，数学小组在探究时得到以下结论：①点关于原点对称；②若点，则的解集是或；③k的值可以为；④当时， k的值是1．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 6．平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点、点，直线经过点，且恰好将平均分成面积相等的两个部分，则k的值是 ． 7．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒个单位的速度向点匀速运动． (1)求出点、点、点坐标； (2)当直线平分的面积时，求直线的函数关系式； (3)若等腰三角形，求点运动时间． 8．如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 11．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 3 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次函数与反比例函数、三角形的压轴 目录 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数与反比例函数图象的综合判断 1 类型二、一次函数与反比例函数的交点问题 4 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 11 类型四、一次函数中的三角形面积问题 17 类型五、一次函数中等腰三角形的存在性问题 24 类型六、一次函数中直角三角形的存在性问题 32 类型七、一次函数中等腰直角三角形的存在性问题 42 压轴能力测评 56 类型一、一次函数与反比例函数图象的综合判断 【例1】在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴当时，的图象过一，三，四象限，的图象过一，三象限； 当时，的图象过一，二，四象限，的图象过二，四象限； 故只有选项D符合题意； 故选：D． 【例2】一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴，故A选项不符合； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴，故B选项不符合； C选项：一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴，一次函数的图象符合，反比例函数的图象在第二、四象限，也符合的情况，故C选项符合； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次项系数，常数项，则一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴，故D选项不符合； 故选：C． 【变式1-1】已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、由反比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，由一次函数在轴上的截距可知，即，与条件互相矛盾，故本选项错误； 、由反比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，结论互相矛盾，故本选项错误； 、由反比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，由一次函数在轴上的截距可知，即，与条件一致，故本选项正确； 、由反比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，由一次函数在轴上的截距可知，即，与条件互相矛盾，故本选项错误； 故选：． 【变式1-2】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由一次函数的图象知，，，则，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，不符合题意； B、由一次函数的图象知，，，则，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，不符合题意； C、由一次函数的图象知，，，则，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，不符合题意； D、由一次函数的图象知，，，则，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，，在一、二、四象限，在二、四象限，只有B符合， 当时，，在二、三、四象限，在一、三象限，无选项符合， 故选：B． 类型二、一次函数与反比例函数的交点问题 【例3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或； （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 【例4】如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设， 点在直线上，， ， 解得：， ， 点在反比例函数图象上， ， 将代入中， 整理，得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于，两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)______，并求反比例函数的解析式． (2)求的面积． (3)已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点． ①当时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，； (2)4； (3)①；②或． 【详解】（1）由题意得：把代入，解得：； 把代入得： ∴反比例函数的解析式为； （2）由（1）得：反比例函数的解析式为 当时， ∴ 由（1）得：， ∴ （3）①当时，即把代入得：，把代入得： ∴； ②当时，即在x正半轴，直线在函数的上方；在x负半轴，直线在函数的下方， ∵， ∴当时，或； 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． 【变式2-2】已知双曲线与直线交于点，．若时，，则 0， 0（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【详解】由题意得： ，且 两函数的交点为：，． 当时，， 且， ， 故答案为：． 【变式2-3】如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限．若点是线段上横坐标为整数的点（不与点A、B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 【答案】且 【详解】解： 的直角顶点C的坐标为，轴， 则轴， ∴设点， ∵顶点A，B在直线上， 将代入得， 点A的坐标为， 令，解得， 点B的坐标为，代入，得， 双曲线G的解析式为， 点是线段上横坐标为整数的点（不与点A，B重合）， 分别为、、、、、， 由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图象越远离x轴而越接近y轴，即开口越大， 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值； 当时，有，即； 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值； 当时，有，即； 但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，； 综上，k的取值范围为且， 故答案为：且． 类型三、一次函数与反比例函数的实际应用 【例5】数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，增大 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而增大， 故答案为：增大； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 【例6】智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 【变式3-1】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 【变式3-2】小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【详解】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 【变式3-3】当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时，图象是反比例函数的一部分． (1)求点对应的指标值． (2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段． 【答案】(1)点对应的指标值为20， (2)注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间， 【详解】（1）解：设反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴ 将代入得：点对应的指标值为 （2）（2）设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得 ∴直线的解析式为 ①当时， 解得：， ②当时，45>30,显然注意力指标高于30， ③当时，， 解得：， 综上所述： ∴注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间． 【点睛】本题考查，待定系数法，分段函数，反比例函数与一次函数综合，审清题意求出函数解析式和分类讨论是解题的关键． 类型四、一次函数中的三角形面积问题 【例7】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：把代入，得： ， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得： ， ∴， ∴， 把，代入，得： ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：由图象可得，当时，的取值范围为：或； （3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点，关于原点对称， ∴， ∴，，， ∴ ， 即：的面积为． 【例8】在平面直角坐标系中，点，，，的面积等于10，则a的值 ． 【答案】或2 【详解】解：如图， 点的坐标为， 点在直线上， 当点在的左侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 当点在的右侧且的面积等于10时，即点， ∵， ， 解得， 的面积等于10，则或． 故答案为：或2． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点， 与x轴交于点C． (1)求点A 的坐标和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集； (3)点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，求 的面积． 【答案】(1)， (2) (3)6 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时， 即为不等式 的解集， 根据函数图象可得不等式 的解集为：； （3）解：∵点是反比例函数图象上一点且纵坐标是， ∴， 作轴，交直线于点，则点的纵坐标为， 代入得，，解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，本题具有一定的代表性，是一道不错的题目，数形结合思想的运用． 【变式4-2】已知：点在反比例函数的图像上，正比例函数的图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式和点坐标； (2)在轴上有一点，使，求点坐标． (3)在轴上有一点，使的面积等于18，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴P的坐标为， ∵正比例函数图象经过点P， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为， ∵正比例函数的图像经过点， ∴， ∴点坐标为； （2）解：设点坐标为， ∵点的坐标为，点坐标为, ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）解：如图 ， ∵的面积等于18， ∴， 解得， 点M在原点左边时，点， 点M在原点右边时，点， 综上所述，点M的坐标为或． 【变式4-3】如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C． (1)求D点坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)在直线上是否存在异于点C的另一点P，使得的面积与的面积相等？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【详解】（1）解：对于直线：， 令，则， 解得：， 即D点坐标为； （2）设的解析式为：， 代入、两点得：， 解得：， 直线的解析式为：； （3）直线上存在点P使得面积与的面积相等， 设C点坐标为， 则， 解得：， ， ， 点P的纵坐标与点C的纵坐标的绝对值相等， 由图可知点在第一象限， 当时，， ， 即P点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二元一次方程组、一次函数的面积问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，学会根据图象已知点的坐标求出一次函数解析式，学会根据三角形的面积相等转化为点的坐标关系是解题的关键． 类型五、一次函数中等腰三角形的存在性问题 【例9】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点，的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M． (1)求直线的解析式． (2)当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (3)过点Q作轴交直线于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴点 将点、的坐标代入一次函数表达式： 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：∵v， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，时间为t， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由： ∵轴，， ∴也为等腰直角三角形， ∴， t秒时，点M、N、Q的坐标分别为、、， 则：，， 当时，即：，（负值已舍去）， 当时，同理可得：（负值已舍去）， 当时，同理可得：（舍去）， 故：当是等腰三角形时，或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的定义，两点之间距离公式，利用平方根解方程，解题的关键在于（3）对的三边情况分情况讨论． 【例10】如图，已知直线是由正比例函数的图象沿着轴向上平移4个单位得到的， (1)请求出直线的表达式； (2)若直线与轴、轴分别交于两点，点是线段上的一个动点，连接 ①线段将的面积分成的两部分，请求出此时点的坐标； ②当点运动到线段的中点时，在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，或或 【详解】（1）将的图象向上平移个单位，得到的直线， 则的表达式为， （2）解：∵点是线段上的一个动点，的表达式为， ∴设， ∵线段将的面积分成的两部分， ∴或 ∵，当时，，当时， ∴，，即， ∴， ∴或， ∴①或 解①得：或（舍去） 解②得：或（舍去） 所以或 ②当点运动到线段的中点时，则， ∴， ∵点在轴上，为等腰三角形 设， ∴， 当时， ∴，则 当时，，即， 解得：（舍去）或，则 当时，则， 解得：，则 综上所述，或或． 【变式5-1】已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：如图， 当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 在中，，，， ． 当为腰时，， 点的坐标为； 当为腰时，， 又点的坐标为， 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 故答案为：或或． 【变式5-2】如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或或或； (3)点坐标是或． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标是， 把点，代入得， 故答案为：，； （2）解：存在，理由， ∵，， ∴，， ∴， 当时，如图， 则点是， ∴点是或 ； 当时， ∴， ∴点是， 当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是， 即， 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 设， ∵点的坐标为，，的面积为， ∴， ∴或， ∴点坐标是或． 【变式5-3】如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求点C的坐标以及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点，直线AB的表达式为： (2)点或 (3)的坐标为或或或 【详解】（1）将点C的坐标代入得：则， ∴点， 将点C的坐标代入的表达式得：，则， 则直线的表达式为：； （2）如图，设点， 由题意知，的面积， 解得：或， 即点或； （3）设点， 由点B、C、Q的坐标得，，，， 当时，则， 解得：，即点Q的坐标为或， 当或时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或0或， 即点Q的坐标为或， 综上，的坐标为或或或． 类型六、一次函数中直角三角形的存在性问题 【例11】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式： (2)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数的表达式； （2）解：如图所示， 设直线交y轴于点， ∵，， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把和分别代入， 得 ∴可得直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【例12】如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集； (4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵都在一次函数的图像上, ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：设直线与y轴交于点C， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由图象可知：的解集为：或； （4）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时，， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 【变式6-1】如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时，x的取值范围． (4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)或 (4)点M的坐标为或 【详解】（1）解：把代入得：， 即一次函数的表达式为， 把，代入得：，， 解得，， 即，， 把C的坐标代入得：， 解得：； （2）解：由可知：当时，，解得，即， ∴， ∴的面积为； （3）解：由图象可知：时，x的取值范围是或； （4）解：设， 则，，， ∵点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边， ∴当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时， 综上，点M的坐标为或． 【变式6-2】如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 【答案】(1)B点坐标为，C点坐标为 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据折叠可知：， ∴，， ∵，， 设的坐标为， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的坐标为， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ， ①当为直角时，， 故， 解得，则； ②当为直角时，， 即 此时无解； ③当为直角时，， 即， 解得，则； 综上可得，P为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，两点间距离公式，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集________； (3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________． 【答案】(1)， (2)或 (3)，，， 【详解】（1）解：点在上， ， ∴反比例函数解析式为； 又点在上， ， ∴点的坐标为， 把和两点的坐标代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析为． （2）解：、， 观察图象可知：不等式的解集为或； （3）解：设， ∵、， 则， 当时，， 解得：， 故； 当时，， 解得：， 故； 当时，， 解得：或， 故，； 综上，，，，． 类型七、一次函数中等腰直角三角形的存在性问题 【例13】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线经过点，与直线交于点D． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接、，求的面积； (3)如图2，当点D在直线上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是或或或 【详解】（1）解：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入：中得：， ， ∴直线的解析式为：； （2）解：设交x轴于点H， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：，即点， 则， 则的面积； （3）解：存在，分四种情况： ①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作轴于M，过C作轴于N， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 即， ， ∴； ②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作轴于M，过C作轴于N， 同理得：， ∴，， 设，则， ∴， 即， ， ∴； ③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作轴于M，过C作轴于N， 同理得：， ∴，， 设，则， ∴， 即， ， ∴； ④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作轴于M，过C作轴于N， 同理得：， ∴， 设，则， ∴， 即， ， ∴； 综上，存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是或或或． 【例14】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)的长为______，的长为______，直线的表达式为______； (2)若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，2， (2)直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或 【详解】（1）解：直线交坐标轴于，两点，把代入得：， 点的坐标为， ， 把代入得：， 点的坐标为， ， ， ，， ，， 设直线对应的函数表达式为：， 把，代入得： ， 解得， 直线对应的函数表达式为， 故答案为：4，2，； （2）直线上存在点，使是以为直角顶点的等腰三角形．理由如下： 为直线上的点， ， ， ①当点在点下方时，如图2，连接，过点作，交的延长线于点， ， 轴，，点的纵坐标为2，， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 点的纵坐标为3， 把代入中得：， 点； ②当点在点上方时，如图3，过点作轴，过点作于点，过点作交的延长线于点． 则， 点的横坐标为1， 则， 是以为直角顶点的等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为1， 点的纵坐标为1， 把代入中得：， ； 综上所述，直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【变式7-1】如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A． (1)求这个一次函数的表达式； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 【答案】(1)； (2)6； (3)或或． 【详解】（1）∵一次函数的图象过点与点， 根据题意得，解得， 所以一次函数解析式为； （2）当时，， 解得，则， ∴； （3）如图，∵直线轴于点，交这个一次函数图象于点M， ∴， ∵以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形 ∴当，即， 则， 解得或， 此时M点坐标为或； 当，即， 则， 解得或， 此时M点坐标为或； 当时， ∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 过点P作于点Q， 则， ∴， 解得，此时M点坐标为， 综上所述，满足条件的M点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是分情况讨论． 【变式7-2】建立模型： （1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：； （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）由题意可知， 为等腰直角三角形 ∴ ， 在中 ． （2）由题意意可知点坐标为，点坐标为 过点作交于点， 过点C作轴交轴于点， 由（1）的证明可知 点坐标为， 设 过点 解得 ． （3）如图：作线段的中垂线记为，由等腰三角形的性质可知，若点存在， 则一定在上． ①当点在下方时 过点作轴交于点， 则交于点， 由（2）同理可得出， ， 即 解得， 则点与点位于第一象限相矛盾， 故舍去 ②当点在上方时 过点分别作轴交于点， 则的延长线交于点， 由（2）同理可得出， ， 即 解得， 则点符合题意． 综上，． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于的方程是解题关键． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)点A的坐标是___________，点B的坐标是___________，的长为___________； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【详解】（1）解：令得 ∴； ， 令得 解得 ∴， ， 在中，， 故答案为： ； （2）解：由折叠的性质可知 ， 设则 在中，，则， 解得： ， ； （3）解：存在，理由如下： ①若 ， 如图，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∴此时点的坐标为； ②若， 如图，过点作 交点， 同理可得，此时点的坐标为； ③若， 如图，过点作 交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， 解得：， ∴此时点的坐标为； 综上所述， 点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解答时求三角形全等是解题的关键． 1．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时图象经过第一、二、三象限；的图象在第一、三象限； 当时，图象经过第一、二、四象限；的图象在第二、四象限； 只有选项A符合条件. 故选：A 2．正比例函数与反比例函数的图象交于点，数学小组在探究时得到以下结论：①点关于原点对称；②若点，则的解集是或；③k的值可以为；④当时， k的值是1．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】如图所示，正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，故①正确； ， 若点，则点， 当，正比例函数图象在反比例函数图象上方， 此时或，故②正确； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， 且正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴，即k的值不可能为，故③错误； 如图，设点A在点B的左侧，过点B作轴， ∵， ∴， 设点B的横坐标为m，则， ∴， ∴， ∵点在的图象上 ， ∴，即， 则， ∴， 整理得， 解得，故④正确； ∴正确的有3个， 故选：B． 3．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：如图，过C作轴于D，交于E． ∵轴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 设，则，， ∵反比例函数的图象过点B，C， ∴， 解得，则， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点， 当的面积为定值时，相应的点有且只有个， 此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等）， 由图可知，当为的中点时，即为所求， 联立：， 解得：或， ，， 此时， 将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点， 直线的解析式为， 与反比例函数联立可得：， 整理得：， 反比例函数与直线只有一个交点， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 解得：， ， ， 故选：B． 5．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 6．平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点、点，直线经过点，且恰好将平均分成面积相等的两个部分，则k的值是 ． 【答案】 【详解】解：点，点O为坐标原点， 线段的中点坐标为，即， 点为线段的中点， 过点作轴于点， 点、点， ， ， ， ， 直线经过点， 将代入， 得， 解得， 的值为． ， 故答案为：． 7．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒个单位的速度向点匀速运动． (1)求出点、点、点坐标； (2)当直线平分的面积时，求直线的函数关系式； (3)若等腰三角形，求点运动时间． 【答案】(1)，， (2) (3)秒或秒或秒 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，, ∴， 由，解得， ∴； （2）解：∵直线平分的面积， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数关系式为； （3）解：∵直线交直线于点，点的坐标为， ∴，， ①当时，如图， 则， ∵点从点出发以每秒个单位长度的速度向点匀速运动， ∴点的运动时间为秒； ②当时，过点作轴于点，如图， 则，， ∴点的运动时间为秒； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， 即轴， ∴， ∴点的运动时间为秒； 综上，当为等腰三角形时，点的运动时间为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰三角形的定义及性质，勾股定理，掌握一次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 8．如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 【答案】(1)直线：，，； (2)P点坐标为或； (3)或 (4)或或或 【详解】（1）解：∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线：， 令，则， 解得， ∴， 同理； （2）解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴P点坐标为或； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴， ∴， 同理，解得或； ∴P点坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵，，， ∴，，， 分情况讨论， 当时，则， ∴， 解得或， ∴Q点坐标是或； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 综上，Q点坐标是或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【详解】（1）解：把代入得， ， 直线； （2）解：直线， 将代入得：， 点的坐标为， 直线与轴、轴、直线分别交于点、、， 当时，，当时，，解得， 、， 联立与得 ，解得， ， ， ， 的面积为； （3）解：如图2，当时，过点作轴于， 由翻折得， ， ， ，， ， ， ， ， 由翻折得， 点的坐标为； 如图3，当时， 由翻折得，， ，， ，，， ， 设，则， ， 解得：， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【点睛】此题为一次函数的综合题，考查了待定系数法，两直线的交点，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，解题的关键是数形结合以及分类思想的运用． 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 11．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点D． (1)求反比例函数的解析式和点D的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)点P是反比例函数上一点，轴交直线于且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)数的解析式为和点D的坐标为 (2) (3) (4)或 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：，， 经检验：，是此方程的根， ， ； 故反比例函数的解析式为、点D的坐标为； （2）解：由图象得 当时， ； （3）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，， ， ； （4）解：设， ， 轴， ， ， 解得：， ， ， ， 或， 当时， 解得：，， 经检验：，是此方程的根； 当时， 整理得：， 不存在； 当时， ； 当时， ； 的坐标为或． 5 / 73学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$