3.10 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·辽宁数学 　 第 三 章 函 数 命题点 10　 二次函数的图象与性质(真卷 14,23 题;省样卷 22 题;省模考 23 题) 　 能力点通关 能力点 1　 根据已知条件画出草图(用 5 点法 画图) 1. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c 中 x,y 的几组对应 值如表所示,请在下面的直角坐标系中,描点 并画出这个二次函数的图象. x … -1 0 1 2 3 … y … -3 0 1 0 -3 … 画图区: 2. 请在如图所示的直角坐标系中,画出函数 y = x2 -2x-3 的图象. 画图区: 能力点 2　 根据二次函数解析式,写出基本 信息 3. 请写出下列二次函数的顶点坐标、对称轴、最 值、增减性等信息,看谁写得多. (1)y= x2 +2x+1; 解:顶点坐标为(-1,0);与 y 轴交于点(0,1); 对称轴为直线 x=-1; 当 x<-1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>-1 时,y 随 x 的增大而增大. (2)y= -2(x+2) 2 -1; 解:顶点坐标为(-2,-1);对称轴为直线 x=-2; 当 x=-2 时,y 有最大值-1; 当 x<-2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>-2 时,y 随 x 的增大而减小. (3)y= (x+1)(x+3); 解:顶点坐标为(-2,-1); 与 x 轴交于点(-1,0),(-3,0); 对称轴为直线 x=-2; 当 x=-2 时,y 有最小值-1; 当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>-2 时,y 随 x 的增大而增大. (4)y= -x2 +4x. 解:顶点坐标为(2,4);对称轴为直线 x=2; 当 x=2 时,y 有最大值 4; 当 x<2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>2 时,y 随 x 的 增大而减小. 能力点 3　 根据二次函数图象,写出基本信息 4. 已知二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象如图所示, 请结合图象,完成下列问题. 第 4 题图 (1)对称轴是直线 x=　 -1　 ,c 的值为　 -2　 ; (2)与 y 轴的交点坐标是　 (0,-2) 　 ,还必然 经过的点坐标是　 (-2,-2) 　 ; (3)用“ >”“ = ”或“ <”填空: ① a 　 > 　 0; ② 2a - b 　 = 　 0; ③ 4ac - b2　 <　 0;④a+b+c　 > 　 0;⑤a-b+c　 <　 -2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93 班级: 　 姓名: 分层作业本·辽宁数学 　 第 三 章 函 数 考向 1　 点的坐标特征(真卷 14 题) ◆y 轴交点与 c 1. 已知抛物线 L:y=ax2 +bx+c. (1)若 L 经过点(0,2),则 c= 　 2　 ; (2 ) 若 c = - 1, 则 L 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为　 (0,-1) 　 ; (3)若 L 与 y 轴的交点在 x 轴下方,则 c　 <　 0 (填“>”“<”或“ =”); (4) 若 L 与 y 轴交于点 C, 且 OC = 3, 则 c= 　 3 或-3　 . ◆顶点坐标与最值 2. [2023 沈阳 9 题改编]二次函数 y = -( x+1) 2 +2 图象的顶点坐标是　 (-1,2) 　 ,其顶点所在 的象限是 　 第二象限 　 ,该函数有最 　 大 　 值,最值为　 2　 ;二次函数y= -x2 +2x-5 图象 的顶点坐标是　 (1,-4) 　 ,当 0<x<3 时,y 的 取值范围为　 -8< y≤-4　 . ◆x 轴交点 3. [2024 沈阳和平区三模]如图,二次函数 y = ax2 + bx+c 的图象经过点(1,1)和点(3,0) . 下列关 于这个二次函数的描述,正确的是 ( C ) A. 函数图象与 x 轴另一交点为(1,0) B. 当 x= 0 时,y 的值等于 0 C. 当 x= 2 时,y 的值大于 1 D. 当 x= 3 时,y 的值小于 0 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. [2024 辽宁 14 题 3 分]如图,在平面直角坐标系 中,抛物线 y=ax2 +bx+3 与 x 轴相交于点 A,B, 点 B 的坐标为(3,0),若点 C(2,3)在抛物线 上,则 AB 的长为　 4　 . 考向 2　 对称轴的理解与计算 5. 已知二次函数 y=ax2 -2ax+3,则该二次函数图 象的对称轴为　 直线 x=1　 . 变式 1 二次函数 y = (x-3) (x+5)图象的对称轴 是 ( ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 直线 x= 3 B. 直线 x= -5 C. 直线 x= -1 D. 直线 x= 1 变式 2 已知 y 是 x 的二次函数,部分 y 与 x 的对 应值如表所示: x … -2 -1 0 1 2 … y … 1 -1 1 7 17 … 则该二次函数图象的对称轴是　 　 　 　 　 　 . 变式 3 已知抛物线 L:y= x2 +(2-m)x-2. (1)若对称轴是 y 轴,则 m= 　 　 　 ; (2)若当 x>3 时,y 随 x 的增大而增大,x<3 时,y 随 x 的增大而减小,则 L 的对称轴为　 　 　 　 　 　 , 则 m=　 　 　 ; (3)若当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大,则 m 的取 值范围是　 　 　 　 . 考向 3　 对称性的应用 考法 1　 与对称性有关的计算 6. [2020 大连 9 题改编]抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)与 x 轴的一个交点坐标为(-1,0),对称轴是直线 x= 1,其部分图象如图所示. 第 6 题图 (1)b　 >　 0,c　 >　 0; (2)a-b+c　 = 　 0; (3) 该抛物线与 x 轴的另一个交点坐标 为　 (3,0) 　 ; (4)该抛物线与 x 轴两交点之间的距离为　 4　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 分层作业本·辽宁数学 　 第 三 章 函 数 7. 如图,在平面直角坐标系中,有 P,Q,M,N 四 个点,其中恰有三点在二次函数 y = ax2 +bx+c (a>0) 的图象上,函数图象的对称轴为直线 x=m,根据图中四个点的位置,判断这四个点 中不在函数 y=ax2 +bx+c(a>0)的图象上的点 是 ( B ) 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 点 P B. 点 Q C. 点 M D. 点 N 考法 2　 与增减性有关的计算 8. [2024 大连西岗区月考]若二次函数 y = x2 -4x+k 的图象经过点( -1,y1 ),(3,y2 ),则 y1 与 y2 的 大小关系为 ( B ) A. y1 = y2 B. y1 >y2 C. y1 <y2 D. 不能确定 变式 [2024 凉山州]抛物线 y = 2 3 ( x- 1) 2 +c 经 过( -2,y1),(0,y2 ),( 5 2 ,y3 )三点,则 y1,y2,y3 的大小关系正确的是 ( D ) A. y1 >y2 >y3 B. y2 >y3 >y1 C. y3 >y1 >y2 D. y1 >y3 >y2 考法 3　 与最值有关的计算 9. [2023 大连 9 题改编]已知抛物线 y= x2 -2x-1. (1)当 x=　 1　 时,y 有最　 小　 值,为　 -2　 ; (2)当-2≤x≤0 时,y 的最大值为　 7　 ,最小 值为　 -1　 ; (3)当 0≤x≤3 时,y 的最大值为　 2　 ,最小 值为　 -2　 . 变式 名师原创 对于代数式 A,B,我们定义一 种新运算:AΦB= 2A2 -3AB-B2 . 若函数y= (x+ 1)Φ(x-2)在-4≤x≤a 内有最大值 18,则 a 的值为　 2　 . 10. 已知在二次函数 y= ax2 +bx+c 中,y 与 x 的部 分对应值如下表: x … -8 -6 -5 0 3 6 … y … 28 18 14 4 6 14 … 当-2≤x≤2 时,y 的最大值是 ( B ) A. 4 B. 6 C. 18 D. 28 考法 4　 利用对称性求参数的取值范围 11. 名师原创 点 Q(1,n)在二次函数 y=(x-a)(x+ a+1)的图象上. (1 ) 该 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 是 直 线 x= 　 　 　 　 ; (2)若点 M 与点 Q 是关于该二次函数图象的 对称轴对称的两个点,则点 M 的横坐标 为　 　 　 　 ; (3)若点 P( p,m) 在该二次函数图象上,且 m<n,则 p 的取值范围是　 -2<p<1　 . 12. 已知抛物线 y = x2 -2x+c 经过 A(2n+3,y1 ), B(n-1,y2)两点,若 A,B 分别位于抛物线对 称轴的两侧,且 y1 <y2,则 n 的取值范围是 ( A ) A. -1<n<0 B. -1<n<2 C. n>2 D. n<-1 13. 已知二次函数 y = (x+a) (x-a-1)的图象经 过点 P( t,m),Q(1,n) . 若 m≤n,则 t 的取值 范围是 ( C ) A. -1<t≤0 B. 0≤t<1 C. 0≤t≤1 D. -1≤t≤1 考向 4　 图象与 a,b,c 的关系 14. 如图,直线 l 为二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0) 图象的对称轴,则下列说法正确的是 ( C ) 第 14 题图 A. b 恒大于 0 B. a,b 同号 C. a,b 异号 D. 以上说法都不正确 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 班级: 　 姓名: 分层作业本·辽宁数学 　 第 三 章 函 数 15. [2023 阜新 9 题 3 分]如图,二次函数 y = ax2 + bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为(3,0),对 称轴是直线 x= 1,下列结论正确的是 ( B ) 第 15 题图 A. abc<0 B. 2a+b= 0 C. 4ac>b2 D. 点( -2,0)在函数图象上 16. [2024 甘孜州]二次函数 y = ax2 + bx+c(a>0)的图象如图所示,给出下列结论: ①c<0;②- b 2a >0;③当-1<x<3 时,y<0. 其中 所有正确结论的序号是 ( D ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第 16 题图 　 　 第 17 题图 17. 多解法 ∙∙∙ 二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的图象 如图所示,点 P 在 x 轴的正半轴上,且 OP = 1,设 M=ac(a+b+c),则 M 的取值范围为 ( D ) A. M<-1 B. -1<M<0C. M<0 D. M>0 18. [2024 贵州]如图,二次函数 y = ax2 +bx+c 的部 分图象与 x 轴的一个交点的横坐标是-3,顶 点坐标为( -1,4),则下列说法正确的是 ( D ) 第 18 题图 A. 二次函数图象的对称轴是直线 x= 1 B. 二次函数图象与 x 轴的另一个交点的横 坐标是 2 C. 当 x<-1 时,y 随 x 的增大而减小 D. 二次函数图象与 y 轴的交点的纵坐标 是 3 19. 新定义 在平面直角坐标系中,若点 P 的横坐 标和纵坐标相等,则称点 P 为“完美点” . 已 知二次函数 y = ax2 +6x- 25 4 (a≠0)的图象上 有且只有一个“完美点”,且当 0≤x≤m 时, 二次函数 y = ax2 + 6x- 5(a≠0) 的最小值为 -5,最大值为 4,则 m 的取值范围是 ( C ) A. 1≤m≤3 B. 3≤m≤5 C. 3≤m≤6 D. m≥3 20. [2023 营口 10 题 3 分]如图,抛物线 y=ax2 +bx+ c( a ≠ 0) 与 x 轴交于点 A ( - 3, 0 ) 和点 B(1,0),与 y 轴交于点 C. 下列说法:①abc< 0;②抛物线的对称轴为直线 x= -1;③当-3< x<0 时,ax2 +bx+c>0;④当 x>1 时,y 随 x 的增 大而增大; ⑤ am2 + bm≤ a - b (m 为任意实 数),其中正确的个数是 ( C ) 第 20 题图 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 21. [2024 鞍山月考]二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示,其对称轴为直线 x = - 1 2 ,且与 x 轴的一个交点坐标为( -2,0) . 下 列结论:①abc>0;②a = b;③2a+c = 0;④关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c-1 = 0 有两个相 等的实数根. 其中正确结论的个数是 ( B ) 第 21 题图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 　 图象上,∴ k = 2× 2 3 = 4 3 ,∴ 反比例函数的解析式为 y= 4 3 x . 如解图,连接 BC,交 OA 于点 P,由翻折的性质 知,BC⊥OA,∴ 设直线 BC 的解析式为 y = - 3 3 x+b,∵ 点 B 在 y 轴 上, ∴ B ( 0, b ), 联 立 y= - 3 3 x+b, y= 3 x, ì î í ïï ï 解 得 x= 3 4 b, y= 3 4 b. ì î í ï ï ï ï ∴ P( 3 4 b, 3 4 b),又∵ 点 B 与点 C 关于直线 OA 对称,且 B(0,b),∴ C( 3 2 b, 1 2 b),又∵ C 在反比例函数 y= 4 3 x 的图象上,∴ 3 2 b× 1 2 b= 4 3 ,∴ b= 4 或 b = -4(舍 去),∴ B(0,4) . 第 11 题解图 12. (1)1;(2)4 【解析】(1)把 x= 1 代入 y = x 中,得 y = 1,故直线与双曲 线的交点坐标为(1,1),则 k = 1×1 = 1;(2)如解图,延长 AC,DB 分别交 y 轴于点 E,F,由题意可知 △AOE 和 △BOF 都是等腰直角三角形,设 AE = OE = m,BF = OF = n,由(1) 知,双曲线的解析式为 y = 1 x ( x> 0),则 CE = 1 m ,DF= 1 n ,∴ AC =m- 1 m ,BD = 1 n -n,∵ BD = 3 AC,∴ 1 n -n= 3 (m- 1 m ),两边同时平方,得 n2 + 1 n2 -2 = 3(m2 + 1 m2 -2),即 3(m2 + 1 m2 ) -(n2 + 1 m2 )= 4. 在Rt△COE 中,OC2 =OE2 +CE2 = m2 + 1 m2 ,同理 OD2 = OF2 +DF2 = n2 + 1 n2 ,∴ 3OC2 -OD2 = 3(m2 + 1 m2 ) -(n2 + 1 n2 )= 4. 第 12 题解图 命题点 10　 二次函数的图象与性质 能力点通关 1. 第 1 题解图 2. 第 2 题解图 3. (1)解:顶点坐标为( -1,0);与 y 轴交于点(0,1); 对称轴为直线 x= -1; 当 x= -1 时,y 有最小值 0; 当 x<-1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>-1 时,y 随 x 的增大而增大. (2)解:顶点坐标为( -2,-1); 对称轴为直线 x= -2; 当 x= -2 时,y 有最大值-1; 当 x<-2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>-2 时,y 随 x 的增大而减小. (3)解:顶点坐标为( -2,-1); 与 x 轴交于点( -1,0),( -3,0); 对称轴为直线 x= -2; 当 x= -2 时,y 有最小值-1; 当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减小,当 x>-2 时,y 随 x 的增大而增大. (4)解:顶点坐标为(2,4); 对称轴为直线 x= 2; 当 x= 2 时,y 有最大值 4; 当 x<2 时,y 随 x 的增大而增大,当 x>2 时,y 随 x 的 增大而减小. 4. (1) -1,-2;(2)(0,-2),( -2,-2);(3) >; = ;<;>;< 1. (1)2;(2)(0,-1);(3) <;(4)3 或-3 2. ( -1,2);第二象限;大;2;(1,-4);-8<y≤-4 3. C 4. 4　 【解析】∵ 抛物线 y=ax2 +bx+3 过点 B(3,0),C(2,3), ∴ 9a+3b+3 = 0, 4a+2b+3 = 3,{ ∴ a= -1, b= 2,{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -x 2 + 2x+3,∴ 抛物线的对称轴是直线 x = - 2 2×( -1) = 1. ∵ 抛物 线与 x 轴的一交点为 B(3,0),∴ 另一交点为 A(1-2,0), 即 A( -1,0),∴ AB= 3-( -1)= 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 5. 直线 x= 1　 变式 1 C　 变式 2 直线 x= -1 变式 3 (1)2;(2)直线 x= 3,8;(3)m≤4 6. (1) >;>;(2)= ;(3)(3,0);(4)4 7. B　 8. B　 变式 D 9. (1)1,小,-2;(2)7,-1;(3)2,-2 变式 2 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 解 题 关 键 点 根据定义的新运算求出二次函数的表达式;已知 二次函数在不定区间内的最大值,要考虑在顶点 处二次函数的最大值,从而确定 a 的值. 【解析】由定义的新运算可得函数 y = ( x+ 1) Φ(x- 2) = 2(x+1) 2 -3(x+1)(x-2) -(x-2) 2 = -2x2 +11x+4 = -2( x- 11 4 ) 2 + 153 8 ,∴ 二次函数图象的顶点坐标为( 11 4 , 153 8 ),∵ 函数 y= (x+1)Φ( x-2)在-4≤x≤a 内有最大值 18,18< 153 8 ,∴ a< 11 4 ,在 y= -2x2 +11x+4 中,当 y= 18 时,x= 7 2 或 x= 2,∵ 2< 11 4 < 7 2 ,∴ a= 2. 10. B　 【解析】将(0,4),( 3,6),( 6,14) 代入 y = ax2 +bx+c 中,得 c= 4, 9a+3b+c= 6, 36a+6b+c= 14, { 解得 a= 1 3 , b= - 1 3 , c= 4, ì î í ï ï ïï ∴ 二次函数的表达 式为 y= 1 3 x2 - 1 3 x+4,∴ 二次函数图象开口向上,对称 轴为直线 x = - - 1 3 2× 1 3 = 1 2 ,当 x = - 2 时,y = 1 3 ×( - 2) 2 - 1 3 ×( -2) +4 = 6,当 x = 2 时,y = 1 3 × 22 - 1 3 × 2+ 4 = 14 3 , ∴ 当-2≤x≤2 时,y 的最大值是 6. 11. (1) - 1 2 ;(2) -2;(3) -2<p<1 12. A　 【解析】由题意得,抛物线的对称轴是直线 x = - -2 2 = 1,a= 1>0,∴ 抛物线开口向上,∴ 抛物线上的点离对称 轴越近函数值越小,又∵ y1 <y2 ,∴ | 2n+3-1 | < | n-1-1 | , 即 | 2n+2 | < | n-2 | . ∵ A,B 分别位于抛物线对称轴的两 侧,当点 A 在对称轴左侧,点 B 在对称轴右侧时,2n+3< 1<n-1;当点 A 在对称轴右侧,点 B 在对称轴左侧时,n- 1<1<2n+3;∴ -1<n<2,又 | 2n+2 | < | n-2 | ,∴ 2n+2<2-n, ∴ n<0,综上,-1<n<0. 13. C　 【解析】由二次函数 y= (x+a)(x-a-1)可知,二次函 数的对称轴是直线 x = -a+a+1 2 = 1 2 ,∵ 点 Q(1,n)在该 二次函数图象上,∴ 点(0,n)在该二次函数图象上,又∵ 二次函数图象开口向上,∴ 当 m≤n 时,t 的取值范围是 0≤t≤1. 14. C　 【解析】∵ 直线 l 为二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的 图象的对称轴,∴ 对称轴为直线 x = - b 2a > 0,当 a< 0 时, 则b>0,当 a>0 时,则 b<0,∴ a,b 异号. 15. B 16. D　 【解析】∵ 函数图象与 y 轴交于负半轴,∴ 当 x = 0 时,y= c< 0,故①正确;又根据函数的图象可得,对称轴 在 y 轴右侧,∴ -b 2a >0,故②正确;∵ x = -1 或 x = 3 时,y = 0,且抛物线 y=ax2 +bx+c 开口向上,∴ 当-1<x<3 时,y< 0,故③正确. 17. D　 【解析】解法 1:∵ OP= 1,P 不在抛物线上,∴ 当 x = 1 时,y= a+ b+ c< 0,当 y = 0 时,ax2 + bx+ c = 0,由图象知 x1x2 = c a <0,∴ ac<0,∴ ac(a+b+c) >0,即 M>0. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:∵ 抛物线开口向下,∴ a<0;∵ 抛物线与 y 轴的 交点在正半轴,∴ c> 0;由图象观察知,当 x = 1 时,函 数值为负,即 a+b+c<0,∴ M=ac(a+b+c) >0. 18. D　 【解析】∵ 顶点坐标为( -1,4),∴ 对称轴为直线 x = -1,故 A 错误;由对称性可知,( - 3,0) 关于直线 x = - 1 对称的点为(1,0),∴ 二次函数图象与 x 轴的另一个交 点的横坐标是 1,故 B 错误;∵ 二次函数图象开口向下, 对称轴为直线 x= -1,∴ 当 x<- 1 时,y 随 x 的增大而增 大,故 C 错误;设二次函数解析式为 y = a( x+1) 2 + 4,将 (-3,0)代入,得 a= -1,∴ y= -(x+1) 2 +4,令 x= 0,得 y = 3,∴ 二次函数图象与 y 轴的交点的纵坐标是 3,故 D 正确. 19. C　 【解析】∵ 二次函数 y= ax2 +6x- 25 4 (a≠0)的图象上 有且只有一个“完美点”,设“完美点”的坐标为(n,n), ∴ 方程 n=an2 +6n- 25 4 ,即 an2 +5n- 25 4 = 0 有两个相等的 实数根,∴ Δ= 52 -4a×( - 25 4 ) = 0,∴ a = -1,∴ 二次函数 y=ax2 +6x- 5 的表达式为 y = -x2 + 6x- 5 = -( x- 3) 2 + 4, ∵ -1<0,∴ 当 x = 3 时,函数有最大值为 4,又∵ 当 0≤x ≤m 时,函数最小值为-5,令-x2 +6x-5 = -5,则 x = 0 或 6,∴ 要使函数最小值为-5,最大值为 4,则 3≤m≤6. 20. C 21. B　 【解析】 ①由图象可得 a> 0,c< 0, - b 2a < 0,∴ b> 0, ∴ abc<0,故①错误,不符合题意;②∵ - b 2a = - 1 2 ,∴ a = b,故②正确,符合题意;③将( -2,0)代入 y=ax2 +bx+c(a ≠0),得 4a-2b+c = 0,∵ a = b,∴ 2a+c = 0,故③正确,符 合题意;④ax2 +bx+c-1 = 0 即为 y = ax2 +bx+c 与 y = 1 的 交点问题,由图象可得有两个交点,∴ 方程 ax2 +bx+c-1 = 0 有两个不相等的实数根,故④错误,不符合题意. 综 上所述,其中正确的结论有 2 个. 故选 B. 命题点 11　 二次函数解析式的确定 及图象的变换 1. 解:设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)= a(x2 -2x-3)= ax2 -2ax-3a, 则-3a= 3,解得 a= -1, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02