第一讲 相交线与平行线 讲义2024-2025学年浙教版七年级数学下册

第一讲 相交线与平行线 知识梳理 知识点1：同位角、同旁内角、内错角的概念及特征 同位角 同旁内角 内错角 截线 EF 同侧 同侧 异侧 被截线AB、CD 同侧 之间 之间 结构特征 F U Z 列举 ∠1与∠5;∠2与∠6;∠3与∠7;∠4 与∠8。 ∠3 与∠6;∠4与∠5。 ∠3与∠5;∠4 与∠6。 知识点2：平行线的定义和平行线公理，及平行线作图步骤 平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。平行用符号“∥”表示。 平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 作图步骤：一放二靠三推四画。 注1：今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行。 2：在同一平面内，两条直线的关系有平行和相交。 知识点3：平行线的判定和平行线的性质 平行线的判定：判定方法一：平行线的定义； 判定方法二：同位角相等，两直线平行； 判定方法三：内错角相等，两直线平行； 判定方法四：同旁内角互补，两直线平行； 判定方法五：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 判定方法六：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 判定定理与性质定理的区别：从角的关系得到结论两直线平行，用平行线判定定理；从平行线得到角相等或互补关系，用平行线性质定理。填理由时，要防止把性质和判定定理相混淆。 【例1】如图2 所示，同位角一共有 对，分别是 ； 内错角一共有 对，分别是 ； 同旁内角一共有 对，分别是 。 【变式训练1】如图3，∠ABD 的同旁内角共有 ( )。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式训练2】如图4 所示，同位角共有 ( )。 A.6 对 B.8 对 C.10对 D.12 对 【例2】如图5，在下面的方格纸中经过点C画与线段AB 互相平行的直线l₁，再经过点 B 画一条与线段AB 垂直的直线l₂。 【变式训练3】画图题： (1)在如图6所示的方格纸中(单位长度为1)，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段 AB 的垂线EF 和平行线GH； (2)判断EF、GH 的位置关系是 ; (3)连接AC和BC,则三角形ABC的面积是 。 【变式训练4】如图7，已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图： (1)画直线OA; (2)过 B 点画直线OA 的垂线,垂足为 D; (3)取线段AB的中点E,过点 E画BD 的平行线,交AO于点F。 【例3】设a、b、c为平面上三条不同直线。 (1)若a∥b,b∥c,则a与c 的位置关系是 ; (2)若a⊥b,b⊥c,则a与c 的位置关系是 。 【变式训练5】已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么? 为什么? 【变式训练6】探索与发现： (1)若直线 ，则直线a₁ 与a₃的位置关系是 ，请说明理由； (2)若直线 ，则直线a₁ 与a₄ 的位置关系是 ；(直接填结论，不需要证明) (3)现在有2011条直线a₁,a₂,a₃,…,a₂₀₁₁,且有( 请你探索直线a₁与a₂₀₁₁的位置关系。 【例4】如图8，已知 ,CN 是 的平分线， 求 MCD的度数。 【变式训练7】如图9,已知CD∥AB,OE 平分∠BOD,OE⊥OF,∠CDO=62°,分别求出∠BOE 和∠DOF 的度数。 【变式训练8】如图 10, ,OM平分. ,射线 ON是 的平分线吗?请说明理由。 【例5】如图11,四边形 ABCD 中, ,BE、DF 分别是 的平分线。 (1)∠1与∠2有什么关系? 为什么? (2)BE与DF 有什么关系? 请说明理由。 【变式训练9】如图12,在三角形 ABC 中,( 于E, 于F, CE 是 的平分线，试比较∠EDF 与∠BDF的大小，并说明理由。 【变式训练10】如图13,在三角形 ABC中,CD 平分 交 BC 于E, 交AB 于F。求证:EF平分∠DEB。 【例6】平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4 条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点? 它们最多能把平面分成多少个部分? 【变式训练11】平面内有 10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们有31个交点，怎样才能办到? 【变式训练12】在同一平面内，若有4条直线，则最多有 个交点；若200条直线中恰好有且只有2m 条直线互相平行，则这200条直线最多有 个交点。(用含有m的式子表示) 【例7】求证：三角形内角之和等于180°。 【变式训练13】求证：四边形的内角和等于 360°。 【变式训练14】证明：五边形内角和等于540°。 【例8】已知，直线 点 P 为平面上一点,连接 AP 与CP。 (1)如图①,点 P 在直线AB、CD 之间,当 时，求 (2)如图②,点 P 在直线AB、CD 之间,∠BAP 与 的角平分线相交于点 K，写出 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③,点 P 落在CD 外,∠BAP与. 的角平分线相交于点K， 与 有何数量关系? 并说明理由。 【变式训练15】如图①，已知. (1)若 则 (2)请探索∠E与∠F 之间满足的数量关系并说明理由； (3)如图②,已知 EP平分∠BEF,FG平分. 反向延长FG交EP 于点 P，求 的度数。 【变式训练16】如图 16 所示,已知AB∥CD,BE平分∠ABD,DE 平分 的度数大于 小于120°) (1)求证: (2)若点 F 为射线BE 上一点, 的角平分线 BG 与 的角平分线DG 交于点G，试用含α的式子表示∠BGD 的大小； (3)延长 BE交CD 于点 H ,点 F 为线段BH 上一动点, 邻补角的角平分线与 邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论： 。(题中所有的角都是大于( 小于180°的角) 【例9】如图17,已知 求证： 【变式训练17】(1)如图①,已知 若 求证： (2)如图②,若 ，求证： (3)若 则∠AFC与. AEC 的数量关系是 。(用含有n的代数式表示，不证明) 【变式训练18】已知直线AB∥CD,E为直线AB、CD外的一点,连接AE、EC。 (1)E在直线AB 的上方(如图①),求证:∠AEC+∠EAB=∠ECD; (2)∠BAF=2∠EAF,∠DCF=2∠ECF(如图②),求证: (3)若E在直线AB、CD之间,在(2)条件下(如图③),且∠AFC比∠AEC的 倍少40°,则∠AEC 的度数为 。(不用写出解答过程) 【例10】(1)如图①,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明理由吗? (2)反之,在图①中,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD 有什么位置关系? (3)若将点 E 移至图②的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系? (4)在图③中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系? 【变式训练 19】探究： (1)如图a,若 则 你能说明为什么吗? (2)反之,若 直线 AB与CD 有什么位置关系? 请证明； (3)若将点 E 移至图b 所示位置，此时. 之间有什么关系? 请证明； (4)若将 E 点移至图c 所示位置，情况又如何? (5)在图d中, 与 又有何关系? 【变式训练20】已知： (1)在图③中,∠ 之间有什么数量关系? 请直接L写出结论； (2)若将E点移至图④位置， 之间有什么数量关系? 请直接写出结论。 参考答案 第一讲 平行线 【例1】解:同位角一共有6对,分别是∠1 和∠5,∠2 和∠6,∠3 和∠7,∠4 和∠8,∠7 和∠9,∠4 和∠9;内错角一共有4 对,分别是∠1 和∠7,∠4 和∠6,∠5 和∠9,∠2 和∠9;同旁内角一共有4对,分别是∠1和∠6,∠1 和∠9,∠4 和∠7,∠6 和∠9。 故答案为:6,∠1 和∠5,∠2 和∠6,∠3 和∠7,∠4 和∠8,∠7和∠9,∠4 和∠9;4,∠1 和∠7,∠4 和∠6,∠5 和∠9,∠2 和∠9;4,∠1 和∠6,∠1 和∠9,∠4 和∠7,∠6和∠9。 【变式训练1】解:∠ABD与∠ADB是直线AB、AD,被直线 BD所截而成的同旁内角， ∠ABD与∠AEB是直线AB、AC,被直线 BD所截而成的同旁内角,∠ABD与∠BAE是直线AC、BD,被直线AB所截而成的同旁内角,∠ABD与∠BAD是直线AD、BD,被直线AB所截而成的同旁内角,故选:D。 【变式训练2】解：如原题图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有4对， 射线GM 和直线CD 被直线EF 所截，形成2对同位角； 射线GM 和直线 HN 被直线EF 所截，形成2对同位角； 射线 HN 和直线AB 被直线EF 所截，形成2对同位角； 则总共10对。 故选:C。 【例2】解：如图所示， 【变式训练3】解：(1)如图 (2)EF与GH 的位置关系是:垂直; (3)设小方格的边长是1，则 【变式训练4】解:(1)作法:连接OA,②作直线 AO; (2)作法：过正方形 AHGB 的对角线 BH 的端点画直线交AG于点D； (3)作法:取线段 AD的中点F,过E、F画直线。 【例3】解:(1)∵a∥b,b∥c, ∴a∥c; (2)∵a、b、c为平面上三条不同直线,a⊥b,b⊥c,∴a∥c。 故答案为:(1)a∥c;(2)a∥c。 【变式训练5】解：a与d 平行，理由如下： 因为a∥b,b∥c, 所以a∥c, 因为c∥d, 所以a∥d, 即平行具有传递性。 【变式训练6】解:(1)a₁⊥a₃。理由如下:如图①,∵a₁⊥a₂, ∴∠1=90°, ∵a₂∥a₃, ∴∠2=∠1=90°, ∴a₁⊥a₃; (2)同(1)的解法,如图②,直线a₁与a₄ 的位置关系是:a₁∥a₄; (3)直线a₁与a₃的位置关系是:a₁⊥a₂⊥a₃,直线a₁与a₄的位置关系是:a₁∥a₄∥a₅,以四次为一个循环，⊥，⊥，∥，∥以此类推，a₁∥a₂009,a₁⊥a₂010,所以直线a₁与a₂011的位置关系是:a₁⊥a₂₀₁₁。 【例4】解:∵AB∥ED, ∵CN是∠BCE的平分线, ∵CM⊥CN, 【变式训练7】解:∵CD∥AB,∠CDO=62°, ∴∠CDO+∠DOB=180°, ∴∠DOB=118°, ∵OE平分∠BOD, ∴∠BOE=∠EOD=59°, ∵OE⊥OF,∠EOF=∠EOD+∠DOF, ∴∠EOF=90°, ∴∠DOF=31°, 即∠BOE=59°,∠DOF=31°。 【变式训练8】解:射线ON 是∠BOD 的平分线,理由:∵AB∥CD,OM⊥ON,OM平分∠BOC,∠B=40°,∴∠B+∠BOC=180°,∠B=∠BOD,∠MON=90°, ∴∠BOM=70°, ∴∠BON=20°, ∴∠BON=∠BOD, 即射线ON 是∠BOD的平分线。 【例5】解:(1)∠1+∠2=90°; ∵BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线, ∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF, ∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=180°, ∴2(∠1+∠2)=180°, (2)BE∥DF; 在△FCD中,∵∠C=90°, ∴∠DFC+∠2=90°, ∵∠1+∠2=90°, ∴∠1=∠DFC, ∴BE∥DF。 【变式训练9】解:∠EDF=∠BDF。理由如下: ∵AC∥ED, ∴∠ACE=∠DEC, ∵CE⊥AB,DF⊥AB, ∴∠AEC=∠AFD=90°, ∴DF∥CE, ∴∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC, ∴∠FDE=∠ACE, ∵CE平分∠ACB, ∴∠ECB=∠ACE, ∴∠EDF=∠BDF。 【变式训练10】解:证明:∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠DCE, 又∵DE∥AC, ∴∠ACD=∠CDE, ∴∠ACD=∠DCE=∠CDE, ∵CD∥EF, ∴∠CDE=∠DEF,∠DCE=∠FEB, ∴∠DEF=∠FEB,即 EF平分∠DEB。 【例6】解：如图，图中共有34个交点。 4条平行线5部分， 加一条线10部分， 再加一条16部分， 再加一条22部分， 可以看出规律5→10→16→22, 所以答案是5+5+6+6+6+9+10=47。 【变式训练11】解：如图所示： 【变式训练12】解：如图：2条直线相交有1个交点； 3条直线相交有1+2个交点； 4条直线相交有1+2+3个交点； 5条直线相交有1+2+3+4个交点； 6条直线相交有1+2+3+4+5个交点; … n条直线相交有 个交点； 则200条直线相交有 个交点， ∵200条直线中恰好有且只有2m条直线互相平行， ∴少m(2m-1)=2m²-m个交点， 则这200条直线最多有( 个交点。 故答案为：( 【例7】解:证明:如图所示,在△ABC中,过A引l∥BC, ∵l∥ BC, ∴∠B=∠1,∠C=∠2(内错角相等), ∵∠1+∠BAC+∠2=180°, ∴∠A+∠B+∠C=180°, 即三角形的内角和为 180°。 【变式训练13】解：证明：添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角。在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程。 如图所示,四边形ABCD中,过顶点 B引BE∥AD,BF∥CD,并延长AB,CB到H,G。则有∠A=∠2(同位角相等),∠D=∠1(内错角相等),∠1=∠3(同位角相等)。 ∠C=∠4(同位角相等), 又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)。 由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°, 所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°。 说明： (1)周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变。 (2)将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广： 三角形内角和 四边形内角和 人们不禁会猜想： 五边形内角和 n边形内角和 这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单。 (3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法。 【变式训练14】解:证明:如图,五边形ABCDE,连接AC,连接AD,形成三个三角形:△ABC,△ACD,△ADE,由于三角形内角 和是 180°，所以 五边形ABCDE的内角和等于 对于任意一个五边形都是如此。 【例8】解:(1)如图①,过 P作 PE∥AB, ∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD, ∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP, ∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°; 理由:如图②,过K作KE∥AB, ∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD, ∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK, ∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,过 P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP, ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点 K, 理由:如图③,过K作KE∥AB, ∵AB∥CD, ∴KE∥AB∥CD, ∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE, ∴∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK,过 P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP-∠DCP, ∵∠BAP与∠DCP 的角平分线相交于点K, 【变式训练15】解:(1)如图①,分别过点 E,F作EM∥AB,FN∥AB, ∴EM∥AB∥FN, ∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN, 又∵AB∥CD,AB∥FN, ∴CD∥FN, ∴∠D+∠DFN=180°, 又∵∠D=120°, ∴∠EFD=∠MEF+60°, 故答案为:90°。 (2)如图①,分别过点 E,F作EM∥AB,FN∥AB, ∴EM∥AB∥FN, ∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN, 又∵AB∥CD,AB∥FN, ∴CD∥FN, ∴∠D+∠DFN=180°, 又∵∠D=120°, ∴∠EFD=∠MEF+60°, ∴∠EFD=∠BEF+30°。 (3)如图②,过点 F作FH∥EP, 由(2)知,∠EFD=∠BEF+30°, 设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°, ∵EP平分∠BEF,GF平分∠EFD, ∵FH∥EP, ∴∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG, ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°, ∴∠P=15°。 【变式训练16】解:(1)证明:∵BE平分∠ABD, ∵DE平分∠BDC, ∵AB∥CD, ∴∠ABD+∠BDC=180°, ∴∠EBD+∠EDB=90°, (2)①当点G在AB、CD之间且点F 在BE 延长线上,如图①,由(1)知:∠EBD+∠EDB=90°,又∵∠ABD+∠BDC=180°, ∴∠ABE+∠EDC=90°, 即∠ABE+α+∠FDC=90°, ∵BG平分∠ABE,DG平分∠CDF, ∴∠ABE=2∠ABG,∠CDF=2∠CDG, ∴2∠ABG+2∠CDG=90°-α,过点G作GH∥AB, ∵AB∥CD, ∴GH∥AB∥CD, ∴∠ABG=∠BGH,∠HGD=∠CDG, ∴∠BGD=∠BGH+∠HGD=∠ABG+∠CDG=90°=α; ②当点G在AB、CD之间且点 F 在线段BE 上,如图②, 由(1)知:∠EBD+∠EDB=90°, 又∵∠ABD+∠BDC=180°, ∴∠ABE+∠EDC=90°, 即∠ABE+∠FDC-α=90°, ∵BG平分∠ABE,DG平分∠CDF, ∴∠ABE=2∠ABG, ∠CDF=2∠CDG, ∴2∠ABG+2∠CDG=90°+α,过点G作GH∥AB, ∵AB∥CD, ∴GH∥AB∥CD, ∴∠ABG=∠BGH,∠HGD=∠CDG, ∴∠BGD=∠BGH+∠HGD=∠ABE+∠CDG=90°+a; ③当点G在AB、CD下方时,如图③, 同理可得:∠ABE+∠EDC=90°, 即∠ABE+a-∠FDC=90°, ∵BG平分∠ABE,DG平分∠CDF, ∴∠ABE=2∠ABG,∠CDF=2∠CDG, ∴2∠ABG+2∠CDG=90°-α,过点G作GH∥AB, ∵AB∥CD, ∴GH∥AB∥CD, ∴∠ABG=∠BGH,∠HGD=∠CDG, ∴∠BGD=∠BGH+∠HGD=∠ABG+∠CDG=90°=a, 综上， 或 (3)如图④,过点 F、G分别作FM∥AB、GM∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥GM∥FN∥CD, ∴∠3=∠BFN,∠5=∠DFN, ∠4=∠BGM,∠6=∠DGM, ∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠3+∠5, ∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6, ∵BG平分∠FBP,DG平分∠FDQ, ∴∠4=∠FBP=(180°-∠3),∠6=∠FDQ=(180°-∠5), ∴∠BFD+∠BGD=∠3+∠5+∠4+∠6 =∠3+∠5+(180°-∠3)+(180°-∠5) =180°+(∠3+∠5)=180°+∠BFD, 整理得:2∠BGD+∠BFD=360°。 故答案为:2∠BGD+∠BFD=360°。 【例9】解:证明:如图,连接AC, 设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=4x°,∠ECD=4y°, ∵AB∥CD, ∴∠BAC+∠ACD=180°, ∠FAC+∠FCA=180°-(3x°+3y°), ∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE) =180°-[180°-(4x°+4y°)] =4x°+4y°=4(x°+y°), ∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA) 【变式训练17】解:(1)如图①,连接AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=2x°,∠ECD=2y°, ∵AB∥CD, ∴∠BAC+∠ACD=180°, ∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°=180°, ∴∠CAE+∠ACE=180°-(2x°+2y°), ∠FAC+∠FCA=180°-(x°+y°), ∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE) ∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA) =180°-[180°-(x°+y°)]=x°+y°, (2)如图②,连接 AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=3x°,∠ECD=3y°, ∵AB∥CD, ∴∠BAC+∠ACD=180°, ∴∠CAE+∠ACE = 180°-(3x°+ 2y°), ∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE) ∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA) (3)若 则∠AFC与∠AEC的数量关系是: 故答案为： 【变式训练18】解:(1)∵AB∥CD, ∴∠EBM=∠ECD, ∵∠AEC+∠EAB=∠EBM, ∴∠AEC+∠EAB=∠ECD; (2)如图②,设CE交AM 于G,∵∠BAF=2∠EAF,∠DCF=2∠ECF, ∠FCD=∠FBM=∠AFC+∠FAM, (3)如原题图③,∵∠AFC 比∠AEC 的 倍少40°, 解得:∠AEC=110°。 故答案为:110°。 【例10】解:(1)如图①,作 EF∥AB, ∵AB∥CD, ∴∠B=∠1, ∵AB∥CD,EF∥AB, ∴EF∥CD, ∴∠D=∠2, ∴∠B+∠D=∠1+∠2, 又∵∠1+∠2=∠E, ∴∠B+∠D=∠E。 (2)如图②,作 EF∥AB, ∵EF∥AB, ∴∠B=∠1, ∵∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D, A ∴∠D=∠2, ∴EF∥CD, 又∵EF∥AB, ∴AB∥CD。 (3)如图③,过E作EF∥AB, ∵EF∥AB, ∴∠BEF+∠B=180°, ∵EF∥CD, ∴∠D+∠DEF=180°, ∵∠BEF+∠DEF=∠E, ∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°。 (4)如图④,作EM∥AB,FN∥AB,GP∥AB,∵AB∥CD, ∴∠B=∠1,∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠D, ∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D; ∵∠1+∠2=∠E,∠5+∠6=∠G,∠3+∠4=∠F, ∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D。 【变式训练19】解:(1)如图①,过E作EF∥AB,则∠B=∠BEF, ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠D=∠DEF, ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D。 (2)若∠B+∠D=∠E,由 EF∥AB, ∴∠B=∠BEF, ∵∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, ∴∠D=∠DEF,∴EF∥CD, ∴AB∥CD; (3)若将点 E移至图②所示位置，过E作EF∥AB, ∴∠BEF+∠B=180°, ∵EF∥CD, ∴∠D+∠DEF=180°,∠E+∠B+∠D=360°; (4)如图③, ∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD, ∵∠D+∠E=∠BFD, ∴∠D+∠E=∠B; (5)∵AB∥CD, ∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D; 【变式训练20】解:(1)如图③中,可知: (2)如原题图④中，可知： 学科网（北京）股份有限公司 $$