第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（压轴专练）（十一大题型）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（压轴专练）（十一大题型） 目录： 题型1：新定义（一元一次不等式组） 题型2：新定义（二元一次方程组与一元一次不等式组） 题型3：新定义（含绝对值的一元一次不等式组） 题型4：数轴的最值问题 题型5：程序框图 题型6：新定义（一元一次不等式（组）在平面直角坐标系中的应用） 题型7：在平面直角坐标系中的几何问题 题型8：绝对值不等式与分段函数 题型9：一元一次不等式（组）的实际应用（含与一次函数结合） 题型10：分类讨论—几何图形中的行程问题 题型11：三角形证明中的取值范围问题 题型1：新定义（一元一次不等式组） 1．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 2．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型2：新定义（二元一次方程组与一元一次不等式组） 3．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 4．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围； (3)若（，是整数）是方程组与不等式组的一组“完美解”，求整数a的值． 5．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 题型3：新定义（含绝对值的一元一次不等式组） 6．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式： (2)已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； (3)已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 7．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“湘一代数式”．例如：关于x的代数式，当1x 1时，代数式在x1时有最大值，最大值为1；在x0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在1x1这个范围内，则称代数式是1x1的“湘一代数式”． （1）若关于的代数式，当时，取得的最大值为 ，最小值为 ，所以代数式 （填“是”或“不是”）的“湘一代数式”． （2）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值． （3）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求m的取值范围． 题型4：数轴的最值问题 8．对于数轴上两条线段，给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”． 已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为，1，2． (1)设点Q表示的数为m，若线段是线段的“限中距线段”， ①m的值可以是_________； A．1      B．6      C．14 ②m的最大值是_________； (2)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒． 当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求出的中点H所表示的数； (3)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段上任意一点Q，都有线段是线段的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________． 9．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 所以a到1和2的距离之和最小值是1． 【问题解决】 （1）的几何意义是_______；请你结合数轴探究：的最小值是_____； （2）请你结合图④探究：的最小值是______，此时a为______； （3）的最小值为_____； （4）的最小值为_____． 【拓展应用】 如图⑤，已知a到，2的距离之和小于4，请写出a的范围为_____． 题型5：程序框图 10．如图是一个“函数求值机”的示意图．其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 输出 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的的值为时，此时输出的的值为______； (2)当输出的的值满足时，求输入的的值的取值范围； (3)若输入的值分别为，，对应输出的值分别为，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型6：新定义（一元一次不等式（组）在平面直角坐标系中的应用） 11．在平面直角坐标系中，已知点 (点不与原点重合)，将点称为点关于点的“倍平移点”． (1)已知点的坐标是， ①若点，则点关于点的“倍平移点”Q的坐标是 ； ②点，，点在线段上，过点作直线轴，若直线l上存在点关于点的“2倍平移点”，求r的取值范围． (2)点，，，，以为边在直线的上方作正方形，点在正方形的边上，且，，对于正方形的边上任意一点，若线段上都不存在点关于点的“倍平移点”，直接写出k的取值范围． 12．已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点（，不重合），则称点为图形关于点的倍点．如图，在平面直角坐标系中，点，，，．    (1)若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是　　　　； (2)点的坐标为，若在第一，三象限的角平分线上存在正方形关于点的倍点，求的取值范围； (3)已知点，，若线段上的所有点均可成为正方形关于其边上某一点的倍点，直接写出点的取值范围． 题型7：在平面直角坐标系中的几何问题 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，若为直线上一点 (1)直接写出______，______，______． (2)①求与满足的数量关系为______． ②若的面积大于面积的，求的取值范围 (3)若，的面积为．若关于的不等式有4个正整数解，直接写出的取值范围 14．如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 15．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E．连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 题型8：绝对值不等式与分段函数 16．[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 17．[问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 题型9：一元一次不等式（组）的实际应用（含与一次函数结合） 18．【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 19．某段时间超市从产地批发A、两种产品，A产品的批发价为13元/kg，产品的批发价为16元/kg．其中A产品的销售单价始终为18元/kg，产品的销售情况如下：不超过130kg不优惠，超过130kg的部分给予一定的优惠，其中产品销售金额（元）与销量（kg）之间的函数关系如图． (1)求产品销售金额（元）与销量（kg）之间的函数关系式； (2)若每天A、两种产品共购进200kg，当天都能销售完（损耗不计），且超市购进A产品不低于50kg但又不超过80kg，设销售A、两种产品的总利润为（元），求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当购进产品不超过130kg时，超市决定对的产品按17元/kg销售让利顾客，A产品的售价不变，要保证A、两种产品的总利润每天不低于1060元，求的最大值． 20．如图，是某道路停车泊位收费公示牌．现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如下．    一 级 支 路 计 时 时段 车型 白天时段 夜间时段 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内 （分钟） 首小时后 （60分钟后） 系次日 小型车 2元/15分钟 2.5 元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1．白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为a分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10.5元，以此类推． 2．夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3．“连续停放6小时封顶”是指当年辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． (1)夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元． (2)白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元． 【综合应用】 (3)白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费25.5元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 (4)已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费时，随的变化而变化，请直接写出的范围及其相应的的范围． 21．【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 题型10：分类讨论—几何图形中的行程问题 22．如图，在长方形中，，，是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)点在运动的路线上和点之间的距离为4时，________秒． (2)若的面积为，用含的代数式表示． (3)若点从点出发3秒后，点以每秒6个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过4时，请直接写出相应的取值范围． 题型11：三角形证明中的取值范围问题 23．如图，在长方形中，，点是上一点，且． (1)如图1所示，若为等腰三角形，求的值； (2)如图2所示，若，点是长方形边上一点，且为等腰三角形，求的面积； (3)在长方形边上找一点，使得为等腰三角形，这样的点存在5个，请直接写出此时的范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（压轴专练）（十一大题型） 目录： 题型1：新定义（一元一次不等式组） 题型2：新定义（二元一次方程组与一元一次不等式组） 题型3：新定义（含绝对值的一元一次不等式组） 题型4：数轴的最值问题 题型5：程序框图 题型6：新定义（一元一次不等式（组）在平面直角坐标系中的应用） 题型7：在平面直角坐标系中的几何问题 题型8：绝对值不等式与分段函数 题型9：一元一次不等式（组）的实际应用（含与一次函数结合） 题型10：分类讨论—几何图形中的行程问题 题型11：三角形证明中的取值范围问题 题型1：新定义（一元一次不等式组） 1．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 2．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 题型2：新定义（二元一次方程组与一元一次不等式组） 3．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 4．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围； (3)若（，是整数）是方程组与不等式组的一组“完美解”，求整数a的值． 【答案】(1)③ (2)的取值范围为 (3)或7 【分析】（1）先解方程，再分别解三个不等式，再根据新定义的含义作判断即可； （2）依题意得，可得，可得，再建立不等式组可得，可得，从而可得答案； （3）先求解，将其代入不等式组得，可得．再确定a的整数值即可． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵①， ∴， ②， ∴， ③， ∴ ∴程的解是不等式③的“完美解”； （2）依题意得，即 ∴． 将代入不等式组得，解得． ∴． ∴的取值范围为． （3）∵是方程组的解， ∴ 将其代入不等式组得，解得． ∵a为整数， ∴，4，5，6，7． ∵为整数， ∴或7． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，二元一次方程组与一元一次不等式组的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 题型3：新定义（含绝对值的一元一次不等式组） 5．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 6．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式： (2)已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； (3)已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或， 【分析】本题主要考查了绝对值方程的解法，绝对值的性质，解一元一次不等式，二元一次方程组； （1）仿照例题，分情况讨论，分别解一元一次不等式，即可求解； （2）根据方程组的特征得出，根据题意可得，进而按照（1）的方法解不等式，即可求解． （3）将方程组中两方程相减，进而用表示，再结合未知数的值为整数，系数也为整数且，便可得出结果； 【详解】（1）解：①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 （2） ①+②得， ∴ ∵， ∴， ①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即m时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为正整数， ∴或 （3）解： 得， ∴ ∴ ∵未知数的值为整数，系数也为整数且， ∴， ∴或， 7．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“湘一代数式”．例如：关于x的代数式，当1x 1时，代数式在x1时有最大值，最大值为1；在x0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在1x1这个范围内，则称代数式是1x1的“湘一代数式”． （1）若关于的代数式，当时，取得的最大值为 ，最小值为 ，所以代数式 （填“是”或“不是”）的“湘一代数式”． （2）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值． （3）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求m的取值范围． 【答案】（1）是．（2）a的最大值为，最小值为；（3） 【分析】（1）先求解当时，的最大值与最小值，再根据定义判断即可； （2）当时，得分 ＜，分别求解在内时的最大值与最小值，再列不等式组即可得到答案； （3）当时，分，两种情况分别求解的最大值与最小值，再列不等式（组）求解即可． 【详解】解：（1） 当时，取最大值， 当时，取最小值 所以代数式是的“湘一代数式”． 故答案为：是． （2）∵， ∴0≤|x|≤2， ∴ ①当a≥0时，x=0时， 有最大值为， x=2或-2时，有最小值为 所以可得不等式组， 由①得： 由②得： 所以： ②a＜0时，x=0时， 有最小值为， x=2或-2时， 的有大值为 所以可得不等式组， 由①得： 由②得： 所以：＜， 综上①②可得， 所以a的最大值为，最小值为． （3） 是的“湘一代数式”， 当时，的最大值是 最小值是 当时， 当时，取最小值 当时，取最大值， 解得： 综上：的取值范围是： 【点睛】本题考查的是新定义情境下的不等式或不等式组的应用，理解定义列不等式（组）是解题的关键． 题型4：数轴的最值问题 8．对于数轴上两条线段，给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”． 已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为，1，2． (1)设点Q表示的数为m，若线段是线段的“限中距线段”， ①m的值可以是_________； A．1      B．6      C．14 ②m的最大值是_________； (2)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒． 当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求出的中点H所表示的数； (3)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段上任意一点Q，都有线段是线段的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________． 【答案】(1)①B；②12 (2) (3)， 【分析】（1）的中点表示的数是，可得，故，①由可得答案；②由得的最大值为12； （2）设表示的数是，根据线段的“限中距线段” 的长度恰好与的值相等，且，有，可得，即可得的中点所表示的数是； （3）根据题意，表示的数是，表示的数是，表示的数是，设表示的数是，则，又线段是线段的“限中距线段”，有，从而，由得，由得，即可得答案． 【详解】（1）解：表示的数是，表示的数是， 的中点表示的数是， 根据题意得， ， ①由可知，当时，线段是线段的“限中距线段”， 故答案为：B； ②由可知，线段是线段的“限中距线段“，的最大值为12， 故答案为：12； （2）设表示的数是，根据题意知表示的数是， 的中点所表示的数是， 线段的“限中距线段” 的长度恰好与的值相等，且， ， ， ， 的中点所表示的数是； （3）根据题意，表示的数是，表示的数是，表示的数是， 设表示的数是，则， 线段是线段的“限中距线段”， ， 解得， 由得， 由得， ， 最小值为，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题教材一元一次方程和一元一次不等式组的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“限中距线段”的概念． 9．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 所以a到1和2的距离之和最小值是1． 【问题解决】 （1）的几何意义是_______；请你结合数轴探究：的最小值是_____； （2）请你结合图④探究：的最小值是______，此时a为______； （3）的最小值为_____； （4）的最小值为_____． 【拓展应用】 如图⑤，已知a到，2的距离之和小于4，请写出a的范围为_____． 【答案】【问题解决】（1）这个数在数轴上对应的点到2和4两个点的距离之和，2；（2）2，3；（3）9；（4）1023132；【拓展应用】 【分析】【问题解决】（1）根据题目提供的方法，说明即可； （2）根据题目提供的方法，当在2和4之间，且处于中点时，即当时，最小； （3）根据题目提供的方法，当在1和6之间，且处于中点时，所求式子最小； （4）根据题目提供的方法，当在1和2022之间，且处于中点时，即当时，所求式子最小； 【拓展应用】分①当时，②当时，③当时，求出的范围，再合并即可． 【详解】解：【问题解决】（1）根据题目提供的方法，可知：这个数在数轴上对应的点到表示2和4两个数的点的距离之和；此时最小值为2； 故答案为：这个数在数轴上对应的点到表示2和4两个数的点的距离之和；2； （2）根据题目提供的方法，可知：当处于2和4的中点，即时最小，最小值为：； 故答案为：2；3； （3）根据题目提供的方法，可知：当在1和6之间，取最小值， 当在2和5之间，取最小值， 当在3和4之间，取最小值， ∴当在3和4之间，所求式子最小； 不妨取，最小值为：； 故答案为：9； （4）总结规律可知，最中间一个数或者中间两个数之间取最小值. 1，2，3，4，的中间数为：1012 ； 故答案为：； 【拓展应用】使它到，2的距离之和小于4， ， ①当时，则有， 解得：． ； ②当时，则有， ； ③当时，则有， 解得：， ； 由①②③不得式得出：． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、绝对值的几何意义，简单的一元一次不等式的解法等知识，解题的关键是理解题目提供的方法，灵活运用这一方法解题． 题型5：程序框图 10．如图是一个“函数求值机”的示意图．其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 输出 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的的值为时，此时输出的的值为______； (2)当输出的的值满足时，求输入的的值的取值范围； (3)若输入的值分别为，，对应输出的值分别为，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)0； (2)，； (3)存在，． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质，解一元一次不等式以及一元一次不等式组． （1）因为，所以将其代入，即可解得的值； （2）当时观察表格可得答案，当时解不等式即可； （3）先求出时，与的关系式，然后分，且，时三种情况进行讨论，分析的取值范围． 【详解】（1）， 将代入，得：， 故答案为：0； （2）观察表格得，当时，当输出的的值满足时，； 当时，，当输出的的值满足时，得 ， 故答案为：或 ； （3），， 将，代入，得： 解得：，， ， 当时，和在上， 此时，随的增大而减小，，所以恒成立， 当，时，在上，在上， 所以当恒成立时， 即， 解得：， 又， ； 当时，和在上， 此时，随的增大而增大，，所以． 综上所述，当时，恒成立． 题型6：新定义（一元一次不等式（组）在平面直角坐标系中的应用） 11．在平面直角坐标系中，已知点 (点不与原点重合)，将点称为点关于点的“倍平移点”． (1)已知点的坐标是， ①若点，则点关于点的“倍平移点”Q的坐标是 ； ②点，，点在线段上，过点作直线轴，若直线l上存在点关于点的“2倍平移点”，求r的取值范围． (2)点，，，，以为边在直线的上方作正方形，点在正方形的边上，且，，对于正方形的边上任意一点，若线段上都不存在点关于点的“倍平移点”，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，新定义运算，坐标与图形，解题的关键是理解题意，数形结合，正确计算． （1）①根据题目中提供的定义进行解答即可； ②根据点，，点M在线段上，设点M的坐标为，根据“2倍平移点”的定义得出Q点的坐标为：，求出，得出； （2）先求出点C的坐标，点D的坐标为，根据点在正方形的边上，且，，得出，，先求出当点P的横坐标最小时，点P关于点的“k倍平移点”的横坐标为，当点P的纵坐标最小时，点P关于点的“k倍平移点”的纵坐标为，判断得出当点P的横坐标或纵坐标最小时，点向右或向上平移的最大距离为，结合点的坐标列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点P的坐标是，点， ∴点P关于点M的“2倍平移点”Q的坐标是：， 即点Q的坐标为； ②∵点，，点M在线段上， ∴设点M的坐标为， ∴点P关于点M的“2倍平移点”为：， 即Q点的坐标为：， ∵， ∴， ∵过点作直线轴，若直线l上存在点P关于点M的“2倍平移点”， ∴， ∴； （2）解：∵点，，以为边在直线的上方作正方形， ∴点C的坐标，点D的坐标为， ∵点在正方形的边上，且，， ∴，， 当点P的横坐标最小时，点P关于点的“k倍平移点”的横坐标为， 当点P的纵坐标最小时，点P关于点的“k倍平移点”的纵坐标为， ∵，， 即当点P的横坐标或纵坐标最小时，点向右或向上平移的最大距离为， 当点向右平移的距离大于时，点P关于点的“k倍平移点”一定不在线段上， 即， 解得：， 当点向上平移的距离小于时，点P关于点的“k倍平移点”一定不在线段上， 即， 解得：， 即当或时，线段上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”． 12．已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点（，不重合），则称点为图形关于点的倍点．如图，在平面直角坐标系中，点，，，．    (1)若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是　　　　； (2)点的坐标为，若在第一，三象限的角平分线上存在正方形关于点的倍点，求的取值范围； (3)已知点，，若线段上的所有点均可成为正方形关于其边上某一点的倍点，直接写出点的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）设是正方形上一点，根据“倍点”的定义，代入求得点的坐标，结合题意逐一判断即可； （2）先根据角平分线的性质求得第一，三象限的角平分线的解析式；设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，根据“倍点”的定义，和一次函数图象上点的特征，求得，根据正方形上点的坐标可得，即可求解； （3）先求得直线的解析式为；根据题意分析得出倍点所在的范围，结合题意即可得到答案． 【详解】（1）解：设是正方形上一点，点的坐标为，根据“倍点”定义， 若是图形关于点的倍点，则有： ， 解得：， ∵在正方形上， ∴是正方形关于点的倍点； 若是图形关于点的倍点，则有： ， 解得：， ∵不在正方形上， ∴不是正方形关于点的倍点； 若是图形关于点的倍点，则有： ， 解得：， ∵在正方形上， ∴是正方形关于点的倍点； 故答案为：，． （2）解：∵角平分线上的点到两边的距离相等， 故第一，三象限的角平分线经过点，， 设第一，三象限的角平分线的解析式为， 将代入， 解得：， 故第一，三象限的角平分线的解析式； 设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为， 则， 解得：， ∵点在直线上，则， ∴ 即， ∵正方形上的点的坐标为，且，，，， ∴， 即， 解得：． （3）解：设直线的解析式为， 将点，的坐标代入， ， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵线段上的所有点均可成为正方形关于其边上某一点的倍点， 当线段上的所有点是正方形关于其边上点的倍点时， 当点与点重合时，正方形上的点关于点的倍点在如图四边形上，    同理当点在正方形的顶点上时，对应的倍点图形为：    当点在正方形的边上时，正方形上的点关于点的倍点在如图四边形上，    同理，当点在正方形的四条边上时，对应的倍点图形为：    综上，正方形关于其边上某一点的倍点所在范围为如图阴影部分：    ∵直线的解析式为，故线段在图中，黑色区域时，线段上的所有点均可成为正方形关于其边上某一点的倍点，如图：    此时或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及“倍点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型7：在平面直角坐标系中的几何问题 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，若为直线上一点 (1)直接写出______，______，______． (2)①求与满足的数量关系为______． ②若的面积大于面积的，求的取值范围 (3)若，的面积为．若关于的不等式有4个正整数解，直接写出的取值范围 【答案】(1)，， (2)①；②或或 (3)或 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，坐标与图形，解不等式组； （1）根据算术平方根以及非负数的性质求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）①根据题意，分在三个象限分别画出图形，根据面积关系，即可求解； ②同①，分类讨论，列出不等式，解不等式，即可求解； （3）同（2）的方法，表示出，根据题意，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ （2）①如图所示，当在第三象限时，过点作轴于点，连接 ∵， ∴ ∴ 即 ∴ 当在第二象限时，过点作轴的垂线，垂足分别为，连接， ∵， ∴ ∴ 即 ∴ 当在第一象限时，过点作轴的垂线，垂足为，连接， ∵， ∴ ∴ 即 ∴ 综上所述， ②如图所示，当在第三象限时，即 ∵的面积大于面积的， ∴ ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 当在第二象限时， ∵的面积大于面积的， ∴ 即 又∵ ∴ 解得： ∴ 当在第一象限时，则，过点作轴的垂线，垂足为，连接， ∵的面积大于面积的， ∴ 即 又∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或 （3）解：∵， ∴轴， ①如图所示，，过点，作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵有4个正整数解， ∴ 解得： 又∵ ∴舍去 ②如图所示， ∴ ∵ ∴ ∵有4个正整数解， ∴ 解得： ∴ ③如图所示，，过点作轴，于点， ∴ ∵ ∴ ∵有4个正整数解， ∴ 解得： 综上所述，或 14．如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 【答案】(1)①；② (2)①点坐标为或；② 【分析】（1）①根据可得点坐标，即可得出坐标，待定系数法即可求直线的解析式；②联立两条直线解析式，即可得到点，将分别代入两条直线解析式即可求出点，点，再根据，即可求解． （2）①设点，根据轴，可得点，分别讨论当点在点上方，当点在点上方两种情况即可得出点坐标；②由上可得，分别讨论和两种情况下，的不等式解集，再将可取的整数分别代入点中，即可得符合要求点个数． 【详解】（1）解：①对于直线，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 将代入直线中，可得， 解得：， 故直线的解析式为． ②联立直线和直线，即， 解得， ∴点为， 将分别代入和中，即，， 解得：，， ∴点为，点为， ∴， ∴． （2）解：①设点坐标为， ∵轴， ∴点坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点坐标为或． ②由上可得， 当时，即时，， ∵ ∴ 解得： 当时，即时，， ∵， ∴， 解得：， ∴在和的范围内，可取的整数有， ∵点坐标为， ∴当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， ∴整点的坐标有，，，， ∴符合条件的整点的个数为个． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数与二元一次方程组，不等式组解集的整数解，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 15．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E．连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)或 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得：，，再结合算术平方根的含义可得； （2）由题意可得与是方程的解；可得这个方程为：，从而可得答案； （3）求解，，如图，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，再利用面积建立方程求解即可； （4）如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于，，如图，当在的右边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解题即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， 综上：，，； （2）解：∵，， ∴与是方程的解； ∴， 解得：， ∴这个方程为：， 由题意可得：是方程的解， ∴； （3）解：∵，， D为的中点． ∴， 把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E． ∴即， 如图，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为， ∴，，而， ∴，，，， ∴， ， ， ∵的面积为23， ∴， 解得：； （4）解：如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 如图，当在的右边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得：， 同理可得：，，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上：或； 【点睛】本题考查的是坐标与图形面积，整式的乘法运算的应用，二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的应用，平移的性质，本题难度大，计算量大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 题型8：绝对值不等式与分段函数 16．[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]（1）见解析；（2）或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：根据函数图象可得答案； [知识迁移]：先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（1）把函数化为，再画图即可； （2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （1）根据题意得： ， 画图如下： （2）再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 17．[问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]，；或 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出] 观察图象即可得出答案； [知识迁移] 由点在上，可求出m的值，观察图象即可； [问题解决] 由，求出与的两个交点坐标，画出图象即可解决问题． 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， 故答案为：； [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， 故答案为：； [问题解决]，如图， 设， 根据题意得： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为： ，； 故答案为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或， 故答案为：或． 题型9：一元一次不等式（组）的实际应用（含与一次函数结合） 18．【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 【答案】任务1：A奖品单价50元，B奖品单价为40元； 任务2：此次购买A奖品共有3种购买方案； 任务3：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，列出方程组或不等式． 任务1：设A奖品单价x元，B奖品单价y元．根据题意列方程组解答即可； 任务2：设获A奖品的人数为a人，则获B奖品的人数为人，根据题意列不等式组解答即可； 任务2：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品份，根据题意列出不等式组，解得关于m、n的不等式，由m、n都是正整数，即可得到答案． 【详解】任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得： 解得： 答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元． 任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得 解得：， a为正整数， a可取的值有11，12，13． 答：此次购买A奖品共有3种购买方案． 任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份， 则B奖品份数为：，依题意得： ， 解得：，即， m、n均为正整数， 可以取的值有：，，，，，，，，，，， 当时，，即，无解 当时，，即，所以 ，，此时奖品人数最多 方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意． 故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 19．某段时间超市从产地批发A、两种产品，A产品的批发价为13元/kg，产品的批发价为16元/kg．其中A产品的销售单价始终为18元/kg，产品的销售情况如下：不超过130kg不优惠，超过130kg的部分给予一定的优惠，其中产品销售金额（元）与销量（kg）之间的函数关系如图． (1)求产品销售金额（元）与销量（kg）之间的函数关系式； (2)若每天A、两种产品共购进200kg，当天都能销售完（损耗不计），且超市购进A产品不低于50kg但又不超过80kg，设销售A、两种产品的总利润为（元），求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当购进产品不超过130kg时，超市决定对的产品按17元/kg销售让利顾客，A产品的售价不变，要保证A、两种产品的总利润每天不低于1060元，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为：． 【分析】（1）对x的范围进行讨论，根据图象即可得到销售金额（元）与销量（kg）之间的函数关系式； （2）根据超市购进A产品不低于50kg但又不超过80kg，可知，即，对x的范围讨论即可求出利润与x的关系； （3）由题意可知此时的利润，解之得：，当时，m取最大值为：． 【详解】（1）解：由图可知： 当时，每千克的销售单价为：元； 当时，超过的部分每千克的销售单价为：元； ∴； （2）解：由题意可知：购进B产品xkg，购进A产品， ∵超市购进A产品不低于50kg但又不超过80kg， ∴，即， 当时，； 当时，； 综上所述：； （3）解：当购进产品不超过130kg时， 此时， ∴，当时，m取最大值为： 【点睛】本题考查一次函数的实际应用：销售问题，解题的关键是理解题意，从函数图象中获取信息，找出y与x 的关系；进一步可以找出利润与x的关系，重点要注意对x取值范围的讨论． 20．如图，是某道路停车泊位收费公示牌．现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如下．    一 级 支 路 计 时 时段 车型 白天时段 夜间时段 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内 （分钟） 首小时后 （60分钟后） 系次日 小型车 2元/15分钟 2.5 元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1．白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为a分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10.5元，以此类推． 2．夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3．“连续停放6小时封顶”是指当年辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． (1)夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元． (2)白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元． 【综合应用】 (3)白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费25.5元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 (4)已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费时，随的变化而变化，请直接写出的范围及其相应的的范围． 【答案】(1)6 (2)19 (3)该车最多停放了165分钟 (4)①当时，；②当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， 【分析】（1）根据表格中的信息进行解答即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）根据题意列出不等式，解不等式即可得出答案； （4）分5种情况：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时，分别求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵连续停放6小时封顶， ∴夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费：（元）； 故答案为：6． （2）解：， 白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费： ． 故答案为：19． （3）解：小型车连续停放分钟需要缴费（元）， ， 设小型车连续停放时间为a分钟，根据题意得： ， 解得：， 答：该车最多停放了165分钟． （4）解：∵， ∴大型车在夜间停车超过小时， ∴大型车夜间收费为（元）， ①当时，大型车停车费用为元， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ②当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ③当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ④当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ⑤当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴． 综上分析可知，①当时，；②当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， ． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． 21．【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 【答案】任务一：5，10任务二：31任务三：，，，图见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 任务一：直接解方程组即可； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可； 任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可． 【详解】解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积； 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2， 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： 题型10：分类讨论—几何图形中的行程问题 22．如图，在长方形中，，，是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)点在运动的路线上和点之间的距离为4时，________秒． (2)若的面积为，用含的代数式表示． (3)若点从点出发3秒后，点以每秒6个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过4时，请直接写出相应的取值范围． 【答案】(1)4或8 (2) (3)或或 【分析】（1）分点在和上两种情况进行讨论求解； （2）分点在上，在上和上，三种情况讨论求解即可； （3）分到达之前，到达之后返回未到达和返回到达，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）∵长方形， ∴； ①当点在上与点相距时，即：，解得：； ②当点在上与点相距4时，即：，解得； 综上：或； 故答案为：4或8； （2）∵是的中点，且， ∴； 当时，如图1，由得，，整理得，；    当时，如图2，由得，，整理得，；    当时，如图3，由得，，整理得，，    综上所述，． （3）由题意，可知：当点到达点时，所需时间为：秒； 如图4，点到达前：    由题意，得：，解得：； 当点到达点时，，解得：， 如图5，点返回，但未到达点，    由题意，得：，解得：； 当点回到点，则，解得：； ∵，此时点未到达点， 如图6，由题意，得：，解得：．    综上：或或． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，求函数表达式，一元一次不等式组的应用．解题的关键是理清题意，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 题型11：三角形证明中的取值范围问题 23．如图，在长方形中，，点是上一点，且． (1)如图1所示，若为等腰三角形，求的值； (2)如图2所示，若，点是长方形边上一点，且为等腰三角形，求的面积； (3)在长方形边上找一点，使得为等腰三角形，这样的点存在5个，请直接写出此时的范围． 【答案】(1)4 (2)10或12.5或20 (3)且 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理； （1）根据得到为等腰三角形时，再利用勾股定理求出的长即可； （2）分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质求解即可； （3）分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，作的垂直平分线与长方形的交点为点，此时为等腰三角形，然后左右移动，找到点存在5个的大致位置即可求解． 【详解】（1）解：∵在长方形， ∴，， ∵， ∴为钝角三角形， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别以、为圆心，为半径画圆，与正方形的交点为点，作的垂直平分线与正方形的交点为点，此时为等腰三角形， ∵， ∴， 当时，如图，此时，； 当时，如图，此时； 当时，如图，此时； （3）解：分别以、为圆心，为半径画圆，与长方形的交点为点，两个圆在右边交于点，此时或，即为等腰三角形， 作的垂直平分线与长方形的交点为点，交于，此时，即为等腰三角形， 左右移动，找到点存在5个的大致位置如下： 由（2）可得，， ∴，即， 由作图可得，， ∴， 当经过点时，只有3个符合条件的点，则 综上所述，且． 学科网（北京）股份有限公司2 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $$